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第三章 本章高效整合知能整合提升热点考点例析答案： C答案： B答案： A答案： A答案： 2 016阶段质量评估（五）
谢谢观看！阶段质量评估(三) 平面向量(A)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中的真命题是( )
A．单位向量都相等
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠b
D．若|a|＝|b|，则a∥b
解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．
答案： C
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
解析： a＋2b＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝－3.
答案： C
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析： 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
答案： B
4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B．
C. D．
解析： ＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.
答案： A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
解析： ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，
∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.
答案： C
6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析： ∵＝－＝(－2，－1)，
∴·＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴⊥.
又∵||≠||，
∴△ABC是直角非等腰三角形．
答案： C
7．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析： 由＋＝0即＝可得四边形ABCD为平行四边形．由(－)·＝0即·＝0可得⊥，所以四边形一定是菱形．故选C.
答案： C
8．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析： 因为A，B，C三点共线，所以∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，所以所以λμ＝1.
答案： D
9．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析： 由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
答案： B
10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于( )
A．－4 B．0
C．4 D．8
解析： ∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，即AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，
∴·＝||||cos 60°＝2×4×＝4.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝__________.
解析： 由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
答案： 5
12．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析： (a＋b)(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
13．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析： |5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案： 7
14．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析： ＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
解析： 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
∴k＝－.
16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解析： (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，
所以|＋|＝2 ，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2 ，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
17．(本小题满分12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
解析： (1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)，
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
18．(本小题满分14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解析： (1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．∵＝(－7，－2)，∴解得
即点A的坐标为(10,7)．
