2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
类型一 向量数量积的计算及其几何意义
例1 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A.－ B. C. D.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．
跟踪训练1 本例1中，若DE的中点为G，求·.
类型二 向量模的有关计算
例2 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2 C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
跟踪训练2 (1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________；
(2)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
类型三 向量的夹角与垂直
例3 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
跟踪训练3 (1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________；
(2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，
①求向量a与b夹角的大小．
②求|a－2b|的值．
【巩固提升】
一、选择题
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3 C．6 D．3
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2 B．4 C．6 D．12
5．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
二、填空题
7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．
9．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________．
10．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中为正确命题的是________(填序号)．
三、解答题
11．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a2－b2；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
12．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
13．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
14．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
2.4.1答案
例1(1)B (2)－ －4
跟踪训练1. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
所以·＝·＋2＝×1×1×cos120°＋×12＝－.
例2. (1)B (2)B
跟踪训练2. (1)1 (2)
例3. (1)C
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为cosθ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
跟踪训练3. (1)
(2)①设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，所以|a－2b|＝.
巩固提升
1—6 BCCCAB
7.-1
8.
9.
10. ③
11. 解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
12. 解析：(1)a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
∴|a＋b|＝＝＝ ＝5，
|a－b|＝＝＝＝5，
|3a＋b|＝＝＝＝5.
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
又|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝.
∴AC＝，BD＝.
13. 解析：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，
|q|＝|a－b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝.
14. 解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ＝－1，
∴cos θ＝－，∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
类型一 数量积的坐标运算
例1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于( )
A. B．－ C. D．－
跟踪训练1 已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
类型二 平面向量的模
例2 (1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝( )
A. B. C．2 D．5
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
跟踪训练2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A. B. C. D.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，则a的坐标为______．
类型三 平面向量的夹角(垂直)
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A.30° B．60° C．120° D．150°
(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________．
跟踪训练3 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
【巩固提升】
一、选择题
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－ B. C．2 D．6
2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6 B．－1 C．1 D．6
5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B. C. D.
6．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
二、填空题
7．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
8．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.
9．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
10．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
三、解答题
11．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
12．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
13．在△PQR中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△PQR的一个内角为直角，求k的值．
14．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
2.4.2答案
例1 (1)C (2)D
跟踪训练1
例2. (1)B (2)2 4
跟踪训练2 (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
例3 (1)C (2)－1
跟踪训练3解析：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
巩固提升
1—6 DCCCCB
7. 44
8.-1
9.2
10.1
11. 解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
12. 解析：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得所以或
故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，
故cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
13. 解析：(1)当∠P为直角时，PQ⊥PR，
∴·＝0，即2＋3k＝0，∴k＝－.
(2)当∠Q为直角时，QP⊥QR，
易知＝(－2，－3)，＝－＝(－1，k－3)．
由·＝0，得2－3(k－3)＝0，∴k＝.
(3)当∠R为直角时，RP⊥RQ，
易知＝(－1，－k)，＝－＝(1,3－k)．
由·＝0，得－1－k(3－k)＝0，∴k＝.
综上所述，k的值为－或或或.
14．解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝，
又|c|＝2，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝，|b|＝代入，
得a·b＝－.
所以cos θ＝＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
