2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第1章章末复习课Word版含解析

任意角的三角函数概念
　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝＋的定义域是________．
思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．
(2)利用三角函数线求解．
(1)或－　(2)
[(1)r＝|OP|＝＝5|m|.
当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝.
当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，∴2sin α＋cos α＝－.
故2sin α＋cos α的值是或－.
(2)由得
如图，结合三角函数线知：

解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为
.]
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
?1?任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
?2?任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.
1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值；
(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
[解]　(1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，∴sin α＝＝＝y.
∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝，
∴y＝±.
∴点P在第二或第三象限．
当点P在第二象限时，y＝，cos α＝＝－，tan α＝－.
当点P在第三象限时，y＝－，cos α＝＝－，
tan α＝.
(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝k.
∴sin α＝＝－，＝＝.
∴10sin α＋＝－3＋3＝0.
当k<0时，r＝－k.
∴sin α＝＝，＝＝－.
∴10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
同角三角函数的基本关系与诱导公式
　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：
(1)＋；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．
[解]　由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.
(1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，1＋2×＝1＋，m＝.
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根和.∴或
∵θ∈(0,2π)，
∴θ＝或.
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：?1?化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.?2?化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.?3?“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.
2．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos ·sin ＝×＝.
三角函数的图象与性质
　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1ω>0，A>0,0<φ<的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3.
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程及单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
思路点拨：(1)由T＝求ω，由f(x)的最大值为3求A，由f＝＋1，求φ.
(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x的单调区间与对称性求解．
(3)由x∈求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．
[解]　(1)∵T＝π，∴ω＝＝2.
∵f(x)的最大值为3，∴A＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
∵f＝＋1，
∴2sin＋1＝＋1，
∴cos φ＝.
∵0<φ<，
∴φ＝.
∴f(x)＝2sin＋1.
(2)由f(x)＝2sin＋1，
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)，
∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0.
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：
?1?用“五点法”作y＝Asin?ωx＋φ?的图象时，确定五个关键点的方法是分别令
?2?对于y＝Asin?ωx＋φ?的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.
?3?已知函数图象求函数y＝Asin?ωx＋φ??A＞0，ω＞0?的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.
3．函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1故<πx0＋<，由f(x0)＝得cos＝，所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos
＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos －sin πxsin －sin πx＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
数形结合思想
【例4】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x零点的个数．
思路点拨：→→
→
[解]　显然A＝2.
由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|＜，则φ＝.
又是图象上的点，则f＝0，
即sin＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin.
在同一坐标系中作函数y＝2sin和函数y＝lg x的示意图如图所示：
∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，
∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个，
∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个零点．
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.
4．若集合M＝，N＝，求M∩N.
[解]　首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y＝的图象，如图①②.结合图象得集合M，N分别为：
M＝，N＝.
得M∩N＝.