2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章3.13.1.1　两角和与差的余弦Word版含解析

3.1　两角和与差的三角函数
3.1.1　两角和与差的余弦
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
(2)两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
思考：cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？
[提示]　不成立．
1．思考辨析
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　)
(2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.(　　)
(3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　)
(4)coscos＋sinsin＝cos 2α.(　　)
[解析]　正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．cos 75°＝________；cos 15°＝________.
　　[cos 75°＝cos(30°＋45°)
＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝.
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝.]
3．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．
　[cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.]
两角和与差余弦公式的简单应用
【例1】　求下列各式的值：
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
(2)；
(3)cos 15°＋sin 15°；
(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．
思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．
[解]　(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝.
(2)原式＝＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝.
(3)∵cos 60°＝，sin 60°＝，
∴cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)
＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．
提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．
1．求下各式的值
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°.
[解]　(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°
＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝.
已知三角函数值求角
【例2】　已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．
思路点拨：先求出cos α，sin β，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．
[解]　因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝＝＝，sin β＝＝＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π.
因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，
所以α＋β＝.
已知三角函数值求角，一般分三步：
第一步：求角的某一三角函数值?该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数?；
第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；
第三步：根据角的范围写出所求的角.
2．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
[解]　由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
∴β＝.
给值求值问题
[探究问题]
1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？
提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.
2．已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？
提示：由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．
【例3】　已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．
思路点拨：由sin α求cos α；由sin β求cos β后套用公式求值．
[解]　∵sin α＝－，π<α<，
∴cos α＝－＝－.
又∵sin β＝，<β<π，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－，sin β＝，且π<α<2π，0<β<，求cos(α－β)．
[解]　∵sin β＝，0<β<，
∴cos β＝＝.
又sin α＝－，且π<α<2π，
①当π<α<时，
cos α＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－；
②当<α<2π时，
cos α＝＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
综上所述，cos(α－β)＝－或.
2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－，π<α<，cos(α－β)＝，<β<π.求sin β.
[解]　∵sin α＝－，且π<α<，
∴cos α＝－＝－.
又∵<β<π，
∴－π<－β<－，∴0<α－β<π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)
＝×＋×＝－，
∴sin β＝＝.
1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．
教师独具
1．本节课的重点是两角和与差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．
2．要掌握两角和与差的余弦公式的三个应用
(1)解决给角求值问题．
(2)解决给值(式)求值问题．
(3)解决给值求角问题．
3．本节课的易错点是：利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误．
1．cos 15°＝(　　)
A．cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
B．cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C．cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°
D．cos 45°sin 30°－sin 45°cos 30°
B　[cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°.]
2．cos 105°＋sin 195°＝________.
　[cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(105°＋90°)
＝cos 105°＋cos 105°
＝2cos(135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2＝.]
3．若sin α＝，α∈，则cos 的值为________．
－　[∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－.
∴cos＝coscos α＋sinsin α
＝×＋×
＝－.]
4．化简：.
[解]　原式＝
＝
＝
＝
＝.