2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修5学案：第1章章末复习课Word版含解析

利用正、余弦定理解三角形
【例1】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0(2)由S＝，得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
解三角形的一般方法
?1?已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
?2?已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.
?3?已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
?4?已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sin cos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
判断三角形的形状
【例2】　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．
[解]　法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
得2sin B＝sin A＋sin C.
∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C.
展开整理得sin C＋cos C＝1.
∴sin(C＋30°)＝1.
∵0°∴C＋30°＝90°.
∴C＝60°，则A＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，b＝，
∴2＝a2＋c2－2accos 60°，
化简得(a－c)2＝0.
∴a＝c.
又B＝60°，
∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
根据已知条件?通常是含有三角形的边和角的等式或不等式?判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．
[解]　由已知＝＝＝，
得＝.
可有以下两种解法．
法一：(利用正弦定理，将边化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin Ccos C＝sin Bcos B，
即sin 2C＝sin 2B.
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.
即B＝C或B＋C＝90°.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
正、余弦定理的实际应用
【例3】　如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km)
(参考数据：≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
思路探究：(1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.
(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．
[解]　(1)设BD＝x km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos 30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中?目的是发现已知量与未知量之间的关系?，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.
3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
[解]　(1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.
与三角形有关的综合问题
[探究问题]
1．如图所示，向量与的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系？
[提示]　向量与的夹角是∠B的补角，大小为180°－∠B，
由于·＝||·||cos A＝bccos A.
所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
[提示]　用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．
【例4】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．
(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解]　(1)由·＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
1．(变条件，变结论)将本例中的条件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝3”变为“已知S△ABC＝30且cos A＝”求·的值．
[解]　在△ABC中，cos A＝，
∴A为锐角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos A
＝bccos A＝156×＝144.
2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c－b＝1”能否求a的值？
[解]　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.
?1?解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.
?2?解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.