2020年中考数学考点提分专题十七 反比例函数综合题（解析版）

2020年中考数学考点提分专题十七 反比例函数综合题（解析版）
考点分析
【例1】（2018·浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

【例2】 （2019·山东中考模拟）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．

考点集训
1．（2019·四川中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线的解析式及k的值；
（2）连结、，求的面积．

2．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标．

3．（2019·江苏中考真题）已知一次函数和反比例函数．

（1）如图1，若，且函数、的图象都经过点．
①求，的值；
②直接写出当时的范围；
（2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；
②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值．
4．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．

(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
6．（2019·山东中考真题）如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点．

（1）求和的值；
（2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接、．
①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；
②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三形，求所有满足条件的的值．
7．（2019·广西中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点．

（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标．
8．（2019·广西中考真题）在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，交于点．
（1）如图（1），双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；
（2）如图（2），双曲线与分别交于点，点关于的对称点在轴上．求证，并求点的坐标；
（3）如图（3），将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当为等腰三角形时，求的值．

9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．

10．（2019·广西中考真题）如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．

11．（2019·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，.
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．

12．（2019·山东中考真题）(1)阅读理解
如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若，则______．
(2)证明命题
小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明(1)中的命题．







2020年中考数学考点提分专题十七 反比例函数综合题（解析版）
考点分析
【例1】（2018·浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点D坐标为（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．
【解析】
（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．

∵∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=1，DE=，
∴OE=OB+BC+CE=5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a=（3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当∠PA1D=90°时．

∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，
∴AA1==4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，
∴PA=，
∴PB=，
设P（m，），则D1（m+7，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴m=（m+7），
解得m=3，
∴P（3，），
∴k=10．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．

∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴．
∴，
∵∠AKD=∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，
∴∠APD=∠ADP=30°，
∴AP=AD=2，AA1=6，
设P（m，4），则D1（m+9，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴4m=（m+9），
解得m=3，
∴P（3，4），
∴k=12．
点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

【例2】 （2019·山东中考模拟）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．

【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．
【解析】
（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.

考点集训
1．（2019·四川中考真题）如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求直线的解析式及k的值；
（2）连结、，求的面积．

【答案】（1）直线的解析式为，k=1；（2）2.
【解析】
解：（1）根据平移的性质，将直线向左平移一个单位后得到，
∴直线的解析式为，
∵直线与双曲线相交于点A，
∴A点的横坐标和纵坐标相等，
∵，
∴，
；
（2）作轴于E，轴于F，
解得或
∴，
∵，
∴．

【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
2．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点P的坐标为或或．
【解析】
解：（1）将代入一次函数中得：
∴
将代入反比例函数中得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图：

设点P的坐标为，则
∴，点O到直线的距离为m
∴的面积
解得：或或1或2
∵点P不与点A重合，且
∴
又∵
∴或1或2
∴点P的坐标为或或．
【点睛】
本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.
3．（2019·江苏中考真题）已知一次函数和反比例函数．

（1）如图1，若，且函数、的图象都经过点．
①求，的值；
②直接写出当时的范围；
（2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；
②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值．
【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，．
【解析】
（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：，
将点的坐标代入反比例函数得：；
②由图象可以看出时，；
（2）①当时，点、、的坐标分别为、、，
则，，，
则或或，
即：或或，
即：或0或2或4，
当时，与题意不符，
点不能在的下方，即也不存在，，故不成立，
故或4；
②点的横坐标为：，
当点在点左侧时，
，
的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，
当时，此时，从而．
当点在点右侧时，
同理，
当，时，（不合题意舍去）
故，．

【点睛】
本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．
4．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=（x＞0）
（2）OA=；C（5，）
（3）P1（ ，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．
【解析】
（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；
（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S△AOH=?aa=a2，
∵S△AOF=12，
∴S平行四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S△BMF=BM?FM=a?a=a2，
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S△AOH=k，
∴a2=6+a2，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S平行四边形AOBC=OB?AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；
（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（ ，），P2（﹣，）
当∠PAO=90°时， P3（，）
当∠POA=90°时，P4（﹣，）．

5．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．

(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
【答案】(1)的值为4或-1；；(2).
【解析】
解：(1)将点代入，得，，解得，，，
∴的值为4或-1；反比例函数解析式为：；
(2)∵轴，轴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
将，代入，
得：，解得，，，
∴，
设直线与轴交点为，
当时，；当时，∴，，则，
∴为等腰直角三角形，∴，
则当垂直于时，由垂线段最短可知，有最小值，
此时．

【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．
6．（2019·山东中考真题）如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点．

（1）求和的值；
（2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接、．
①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；
②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三形，求所有满足条件的的值．
【答案】（1），；（2）①；②是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5．
【解析】
（1）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
将点代入直线的解析式中，得，
∴，
∴，
将在反比例函数解析式（）中，得；
（2）①由（1）知，，，∴反比例函数解析式为，
当时，
∴将线段向右平移3个单位长度，得到对应线段，
∴，
即：，
∵轴于点，交反比例函数的图象于点，
∴，
∴，，
∴；
②如图，∵将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，
∴，，
∵，，
∴，，
∵是以腰的等腰三形，
∴Ⅰ、当时，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，
Ⅱ、当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5．

【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
7．（2019·广西中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点．

（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）将点，点，代入，
∴，
∴；
∵过点作轴，
∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴≌（），
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）设与平行的直线，
联立，
∴，
当时，，此时点到直线距离最短；
∴；

【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键．
8．（2019·广西中考真题）在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，交于点．
（1）如图（1），双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；
（2）如图（2），双曲线与分别交于点，点关于的对称点在轴上．求证，并求点的坐标；
（3）如图（3），将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当为等腰三角形时，求的值．

【答案】（1）， ；（2）证明见解析，；（3）满足条件的的值为3或12．
【解析】
解：（1）如图1中，

∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵双曲线过点，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
（2）如图2中，

∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∵关于对称，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
∴．
（3）如图3中，

①当时，∵，在反比例函数图象上，
∴，
∴．
②当时，点与点重合，∵，在反比例函数图象上，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为3或12．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了中点坐标公式，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．

【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，即
把点 代入的得，
∴反比例函数的解析式为：．
答：反比例函数的解析式为：．
（2）过点作垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，
设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点
答：点的坐标为．

【点睛】
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性.
10．（2019·广西中考真题）如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．

【答案】（1）k=2，直线OB解析式为；（2）四边形的周长为．
【解析】
(1)依题意有：点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
又轴，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
(2)作于点，
∵，
∴，
在平行四边形中，
，，
∴四边形的周长为：，
即四边形的周长为．

【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2019·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，.
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．

【答案】（1）;（2）;②．
【解析】
解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
故一次函数表达式为：，
（2）①过点作，

则，
则，
∵，则，则点，
设：，则，
在中，，
同理，
则，
则点，
，
②∵，∴有最小值，当时，
取得最小值，
而点，
故：．
【点睛】
本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2）①，确定点的坐标，是本题解题的关键．
12．（2019·山东中考真题）(1)阅读理解
如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若，则______．
(2)证明命题
小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明(1)中的命题．

【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
(1)∵,,,,,
∴.
(2)∵,
∵，
∴,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．