2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数学试题（Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题数学试题（Word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 525.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-31 09:44:06 | ||
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文档简介
2020年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟试题
数 学
全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟
一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5.已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A. B. C. 1 D.
6.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 重合 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 平行
7.袋内装的红?白?黑球分别有，，个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球
C. 至少一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少一个白球；红球?黑球各一个
8．在△ABC中，，则角C为（ ）
A．45°或135° B．60° C．120° D．30°
9.在等差数列中，，，则其前项和为（ ）
A. B. C. D.
10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A. y＝2x－2 B. y＝ (x2－1)
C. y＝log2x D. y＝
二?填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
12.已知，，，那么与的夹角为____________.
13.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________.
14．设为数列的前项和，且，，则________．
15．已知，则的最小值是___________.
三?解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）
16.已知函数.
（1）求最小正周期.
（2）等于多少时，有最大值?并求最大值.
17.已知甲?乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用如下茎叶图表示:
（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分；
（2）分别求甲?乙运动员得分的中位数；
（3）估计乙运动员在一场比赛中得分落在内的概率.
18.如图，在正方体中，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积和体积．
19.某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
数学答案及解析
一?选择题
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接应用正弦的二倍角公式可解.
【详解】由公式
.
故选：A
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，属于基础题.
2.已知集合，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，,可解除答案.
【详解】集合，.
,则.
所以.
故选：B
【点睛
本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题.
3.函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点的概念和函数的解析式，可求出函数的零点个数.
【详解】的零点即方程的根.
而方程的根为或
所以函数有2个零点.
故选：C
【点睛】本题考查求具体函数的零点个数.属于基础题.
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的定义域满足真数为正，可得可得函数的定义域.
【详解】函数的定义域满足.
解得：或.
所以函数的定义域为：
故选：B
【点睛】本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题.
5.已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
试题分析：(1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（1）错；（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（2）正确；（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（3）错；（4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面，（4）错.
考点：线面垂直的性质定理.
6.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 重合 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 平行
【答案】D
【解析】
∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.
7.袋内装的红?白?黑球分别有，，个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少一个白球；都是白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球
C. 至少一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少一个白球；红球?黑球各一个
【答案】D
【解析】
【分析】
由互斥事件与对立事件得定义，对4个选项逐个验证即可．
【详解】选项A，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“都是白球”不是互斥事件；
选项B，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个黑球”是指恰有1个黑球或都是黑球，故也不是互斥事件；
选项C，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“一个白球一个黑球”含在前面，故也不是互斥事件；
选项，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立．
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件，属基础题．
8．在△ABC中，，则角C为（ ）
A．45°或135° B．60° C．120° D．30°
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，cosC=1/2，所以选B。
9.在等差数列中，，，则其前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式求出，再用等差数列前项和求解答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为.
由，，则.
所以.
所以
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用和前项和求，属于基础题.
10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A. y＝2x－2 B. y＝ (x2－1)
C. y＝log2x D. y＝
【答案】B
【解析】
由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0,+∞)上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快；
∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，C.D答案；
∴B中函数y＝ (x2－1)符合题意．
故选B.
二?填空题
11.
12.已知，，，那么与夹角为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件结合向量数量积的运算法则可得，再由向量的夹角公式可求解答案.
【详解】由，.
则，即.
所以，即
所以.
又与的夹角在内.所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积的运算法则和向量的夹角，属于基础题.
13.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，所以角为异面直线与所成角.
【详解】由四边形是平行四边形，得
所以角为异面直线与所成角.
平面，平面
，又.
所以为等腰直角三角形，则
所以异面直线与所成角的大小为
故答案为：
【点睛】本题考查异面直线成角的问题，属于基础题.
14.
15.【答案】
三?解答题
16.已知函数.
（1）求最小正周期.
（2）等于多少时，有最大值?并求最大值.
【答案】（1）（2）时，有最大值，
【详解】(1) 的最小正周期为：. ----------------------------------5分
(2)当时，有最大值1.
即时，函数有最大值4. ----------------------------------10分
【点睛】本题考查正弦型函数的周期和最值，属于中档题.
17.已知甲?乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用如下茎叶图表示:
（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分；
（2）分别求甲?乙运动员得分的中位数；
（3）估计乙运动员在一场比赛中得分落在内的概率.
【答案】（1） ，，，，，，，，，，.（2）， （3）
【详解】（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分为：
8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51． -------------------------------2分
（2）甲运动员11次得分记录的中位数是26． ----------------------------------4分
乙运动员14次得分记录按从小到大排在7、8两位的数字都为36，-------------------------------6分
∴乙运动员得分的中位数是36．
（3）由茎叶图统计数字得到乙运动员有14次得分记录中有10次分落在[10，40]内，
∴乙运动员在一场比赛中得分落在[10，40]内的概率-------------------------------10分
18.如图，在正方体中，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积和体积．
【答案】（１）证明见解析；（２），．
详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接OM，
∵OM为△BDD1的中位线，
∴BD1∥OM，
则BD1∥平面ACM； -------------------------------5分
（2）解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝2，
∴MD＝1，AD＝DC＝2，且MD⊥AD，MD⊥DC，AD⊥DC，
∴三棱锥M﹣ADC的表面积为2×1×224；体积为2×2×1．
-------------------------------10分
19.某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
【答案】（1）;（2）12年.
【详解】（I
=
= -------------------------------5分
(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元,
则有仅当n=12时,等号成立.
汽车使用12年报废为宜. -------------------------------10分
【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中等题.
数 学
全卷共19小题，满分100分，考试时间为90分钟
一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5.已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A. B. C. 1 D.
6.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 重合 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 平行
7.袋内装的红?白?黑球分别有，，个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少一个白球；都白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球
C. 至少一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少一个白球；红球?黑球各一个
8．在△ABC中，，则角C为（ ）
A．45°或135° B．60° C．120° D．30°
9.在等差数列中，，，则其前项和为（ ）
A. B. C. D.
10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A. y＝2x－2 B. y＝ (x2－1)
C. y＝log2x D. y＝
二?填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
12.已知，，，那么与的夹角为____________.
13.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________.
14．设为数列的前项和，且，，则________．
15．已知，则的最小值是___________.
三?解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）
16.已知函数.
（1）求最小正周期.
（2）等于多少时，有最大值?并求最大值.
17.已知甲?乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用如下茎叶图表示:
（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分；
（2）分别求甲?乙运动员得分的中位数；
（3）估计乙运动员在一场比赛中得分落在内的概率.
18.如图，在正方体中，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积和体积．
19.某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
数学答案及解析
一?选择题
1.的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接应用正弦的二倍角公式可解.
【详解】由公式
.
故选：A
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，属于基础题.
2.已知集合，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，,可解除答案.
【详解】集合，.
,则.
所以.
故选：B
【点睛
本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题.
3.函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点的概念和函数的解析式，可求出函数的零点个数.
【详解】的零点即方程的根.
而方程的根为或
所以函数有2个零点.
故选：C
【点睛】本题考查求具体函数的零点个数.属于基础题.
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的定义域满足真数为正，可得可得函数的定义域.
【详解】函数的定义域满足.
解得：或.
所以函数的定义域为：
故选：B
【点睛】本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题.
5.已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
试题分析：(1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（1）错；（2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（2）正确；（3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（3）错；（4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面，（4）错.
考点：线面垂直的性质定理.
6.已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 重合 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 平行
【答案】D
【解析】
∵直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,斜率k1=k2=2,∴l1∥l2.
7.袋内装的红?白?黑球分别有，，个，从中任取两个球，则互斥而不对立的事件是（ ）
A. 至少一个白球；都是白球 B. 至少一个白球；至少一个黑球
C. 至少一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少一个白球；红球?黑球各一个
【答案】D
【解析】
【分析】
由互斥事件与对立事件得定义，对4个选项逐个验证即可．
【详解】选项A，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“都是白球”不是互斥事件；
选项B，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个黑球”是指恰有1个黑球或都是黑球，故也不是互斥事件；
选项C，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“一个白球一个黑球”含在前面，故也不是互斥事件；
选项，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立．
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件与对立事件，属基础题．
8．在△ABC中，，则角C为（ ）
A．45°或135° B．60° C．120° D．30°
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，cosC=1/2，所以选B。
9.在等差数列中，，，则其前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式求出，再用等差数列前项和求解答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为.
由，，则.
所以.
所以
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用和前项和求，属于基础题.
10.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
A. y＝2x－2 B. y＝ (x2－1)
C. y＝log2x D. y＝
【答案】B
【解析】
由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0,+∞)上是增函数，
且y的变化随x的增大越来越快；
∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；
∴排除A，C.D答案；
∴B中函数y＝ (x2－1)符合题意．
故选B.
二?填空题
11.
12.已知，，，那么与夹角为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件结合向量数量积的运算法则可得，再由向量的夹角公式可求解答案.
【详解】由，.
则，即.
所以，即
所以.
又与的夹角在内.所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积的运算法则和向量的夹角，属于基础题.
13.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，所以角为异面直线与所成角.
【详解】由四边形是平行四边形，得
所以角为异面直线与所成角.
平面，平面
，又.
所以为等腰直角三角形，则
所以异面直线与所成角的大小为
故答案为：
【点睛】本题考查异面直线成角的问题，属于基础题.
14.
15.【答案】
三?解答题
16.已知函数.
（1）求最小正周期.
（2）等于多少时，有最大值?并求最大值.
【答案】（1）（2）时，有最大值，
【详解】(1) 的最小正周期为：. ----------------------------------5分
(2)当时，有最大值1.
即时，函数有最大值4. ----------------------------------10分
【点睛】本题考查正弦型函数的周期和最值，属于中档题.
17.已知甲?乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用如下茎叶图表示:
（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分；
（2）分别求甲?乙运动员得分的中位数；
（3）估计乙运动员在一场比赛中得分落在内的概率.
【答案】（1） ，，，，，，，，，，.（2）， （3）
【详解】（1）按从小到大的顺序写出甲运动员的得分为：
8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51． -------------------------------2分
（2）甲运动员11次得分记录的中位数是26． ----------------------------------4分
乙运动员14次得分记录按从小到大排在7、8两位的数字都为36，-------------------------------6分
∴乙运动员得分的中位数是36．
（3）由茎叶图统计数字得到乙运动员有14次得分记录中有10次分落在[10，40]内，
∴乙运动员在一场比赛中得分落在[10，40]内的概率-------------------------------10分
18.如图，在正方体中，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积和体积．
【答案】（１）证明见解析；（２），．
详解】（1）证明：连接BD交AC于O，连接OM，
∵OM为△BDD1的中位线，
∴BD1∥OM，
则BD1∥平面ACM； -------------------------------5分
（2）解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝2，
∴MD＝1，AD＝DC＝2，且MD⊥AD，MD⊥DC，AD⊥DC，
∴三棱锥M﹣ADC的表面积为2×1×224；体积为2×2×1．
-------------------------------10分
19.某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；
（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．
【答案】（1）;（2）12年.
【详解】（I
=
= -------------------------------5分
(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元,
则有仅当n=12时,等号成立.
汽车使用12年报废为宜. -------------------------------10分
【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中等题.
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