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力学重点计算 专题突破
一、
(杭州5考，温州3考)
1. (2019泸州改编)庆祝中国人民解放军海军成立70周年海上阅兵活动在青岛附近海域举行，图中093改进型攻击核潜艇于2019年4月27日公开亮相，进行了战略巡航。该潜艇最大核动力功率为2.8×104 kW，完全下潜到海面下后的排水量为6.8×103 t(取海水密度ρ＝1×103 kg/m3，g取10 N/kg)。问：
(1)该潜艇悬浮时，其上一面积为0.05 m2的整流罩距海面深度为200 m，此时整流罩受到海水的压力为多少？
(2)该潜艇浮出海面处于漂浮时，露出海面的体积为1.5×103 m3，此时潜艇的总重量是多少？
2. (2019怀化)某容器放在水平桌面上，盛有足量的水。现将体积为1.25×10－4 m3、质量为0.4 kg的实心正方体放入水中，正方体不断下沉，直到沉底，如图所示。(已知ρ水＝1.0×103 kg/m3，g＝10 N/kg)求：
(1)正方体受到的重力的大小；
(2)正方体浸没在水中受到的浮力的大小F浮；
(3)容器底部对正方体的支持力的大小和正方体对容器底部的压强。
3. 如图所示，一实心正方体铝块浸没在密度为 0.9×103 kg/m3的油中，其质量为2.7 kg，上表面与液面相平行，上、下表面的深度分别为h1和h2，且2h1＝h2＝20 cm。(g取10 N/kg)求：
(1)铝块上表面处的液体压强；
(2)若使铝块在图示位置处于静止状态，还应使其在竖直方向受到一个多大的力；
(3)若图中正方体是由密度为3.6×103 kg/m3 的合金制成的一空心正方体，且处悬浮状态，则该正方体空心部分体积是多少。
4. 如图甲所示，在容器底部固定一轻质弹簧，弹簧上端连有一边长为0.1 m的实心正方体物块A，当容器中水的深度为20 cm时，物块A有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态(即没有发生形变)(已知水的密度为1.0×103 kg/m3)。求：
(1)物块A受到的浮力；(2)物块A的密度；
(3)往容器缓慢加水(水未溢出)至物块A恰好浸没时水对容器底部压强的增加量Δp(整个过程中弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量关系如图乙所示)。
5. 如图甲所示，弹簧测力计一端固定，另一端竖直悬挂一底面积为30 cm2的长方体合金块(不吸水)，浸没在装有水的容器中，静止后合金块上表面距水面5 cm。容器底部有一个由阀门控制的出水口，打开阀门，使水缓慢流出，放水过程中合金始终不与容器底部接触，弹簧测力计示数随放水时间变化的规律如图乙所示(已知ρ水＝1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg，水的流速对压强的影响忽略不计)。求：
(1)合金块浸没在水中所受浮力的大小；
(2)打开阀门前合金块下表面受到水的压力。
6. (2019重庆B卷改编)如图甲所示，将底面积为100 cm2、高为10 cm的柱形容器M置于电子秤上，逐渐倒入某液体至3 cm深；再将系有细绳的圆柱体A缓慢向下浸入液体中，液体未溢出，圆柱体不吸收液体，整个过程电子秤示数m随液体的深度h变化关系图像如图乙所示。若圆柱体A的质量为216 g，密度为0.9 g/cm3，底面积为40 cm2，g取10 N/kg，求：
(1)容器的重力和液体的密度；
(2)在圆柱体浸入液体的过程中，当电子秤示数不再变化时试判断A是否沉入容器底部并说明理由。
二、
(杭州4考，台州2考，含杠杆、滑轮模型)
考向1 杠杆类(杭州4考)
7. (2018淄博)骨骼、肌肉和关节构成了人体的运动系统，最基本的运动都是肌肉牵引骨骼绕关节转动产生的，其模型就是杠杆。如图所示是踮脚时的示意图，人体的重力为阻力，小腿肌肉施加的拉力为动力。重600 N的小明在1 min内完成50个双脚同时踮起动作，每次踮脚过程中脚跟离开地面的高度是9 cm。
求：(1)小腿肌肉对每只脚的拉力；
(2)小明踮脚过程中克服重力做功的功率。
8. (2019杭州江南实验学校模拟)某科学兴趣小组利用硬棒(质量可忽略不计)、细线、若干已知重力的物体、刻度尺等器材来研究杠杆平衡的条件。如图所示，在C处挂一待测物体B，当重力为8牛的物体A挂在D处时，硬棒在水平位置平衡，用刻度尺测得OC为6厘米，OD为18厘米。
(1)此时物体B的重力是多少牛？
(2)保持O点位置和物体A的重力不变，在C处挂上不同重力的物体，移动A的位置，使硬棒在水平位置平衡，分别在OE上标出相应的重力值所对应的刻度，就制成了一根能直接读出待测物体重力的杠杆。问该杠杆的刻度是否均匀？请说明理由。
9. 小金制作了一支可以测定物体密度的杆秤。使用时，只要把被测物体挂在杆秤的挂钩上，移动秤锤，使秤杆平衡在水平位置，读出L1；再将被测物体浸没在水中，移动秤锤使秤杆再次水平平衡，读出L2，如图甲所示：
(1)试推导出被测物体的密度表达式；
(2)在测量水的密度时(如图乙所示)，秤锤在C位置密度秤水平平衡，现向水中逐渐加入少量食盐， 则应该________(选填“向左”或“向右”)移动秤锤才能保持密度秤水平平衡，并说明理由。
10. 如图所示，将重力不计的吸盘内部空气排尽后与水平地砖完全贴合，已知贴合的面积为30 cm2，大气压强为1×105 Pa，AB为轻质杠杆，O为转轴，OA与OB的长度之比为1∶3，保持杠杆水平，某人在B端用竖直向下的拉力F将吸盘沿竖直方向刚好拉离地砖。
(1)求吸盘所受的大气压力F0；
(2)求人所用拉力F；
(3)若人沿图中虚线方向施加拉力F′将吸盘拉离地砖，请分析拉力F′大小变化情况并请画出拉力F′的力臂。
11. (2019泰州)如图，使用杠杆提升重物，拉力F竖直向下，重物匀速缓慢上升，相关数据如下表
物重G/N 拉力F/N 时间t/s A端上升 的竖直 距离h/m B端下降 的竖直 距离s/m
200 500 0.5 0.4 0.2
求：
(1)拉力所做的功；
(2)拉力做功的功率；
(3)此过程中，该杠杆的机械效率。
12. (2019随州改编)科技人员为了研究“物品匀速投放下水的方法”建立如图模型：轻质杠杆AB两端用轻绳悬挂着两个完全相同的正方体物品甲和乙，甲、乙的边长均为a，密度均为ρ(ρ大于水的密度ρ水)，杠杆放在可移动支点P上，物品乙放在水平地面上。起初，物品甲下表面无限接近水面(刚好不被水打湿)。计时开始(t＝0)，上推活塞，使水面以速度v匀速上升直到物品甲刚好完全被水淹没，停止计时(不计物品甲在水中相对运动的阻力)。上述过程中通过移动支点P维持BD绳中拉力恒为乙重力的0.6倍，且杠杆始终水平。(g为已知量)
(1)t＝0时，BP∶PA为多少；
(2)物品甲完全被水淹没时，BP∶PA为多少；
(3)任意时刻t时，BP∶PA与t的关系式。
13. (2019杭州保俶塔实验学校模拟)如图所示，杠杆AD放在钢制水平凹槽BC中，杠杆AD能以B点或C点为支点在竖直平面内转动，BC＝0.2 m，细绳的一端系在杠杆的A端，另一端绕过动滑轮固定在天花板上，物体E挂在动滑轮的挂钩上，浸没在水中的物体H通过细绳挂在杠杆的D端。动滑轮的质量m＝3 kg，物体E的质量为15千克，物体H的密度ρ＝1.3×103 kg/m3，AD＝1.0 m，CD＝0.3 m，杠杆、圆盘、细绳的质量及摩擦均忽略不计，g取10 N/kg，为使杠杆AD保持水平平衡，求：
(1)杠杆A端受到细绳的拉力为多大？
(2)当AD杆水平平衡时，杠杆D端受到绳子拉力的最大值？
(3)要使AD杆水平平衡，浸没在水中的物体H的体积应满足什么条件？请推导说明。
考向2 滑轮类(台州2考)
14. (2019潍坊)一辆质量为1.5×103 kg的汽车陷入一泥泞路段，司机师傅利用滑轮组和周围条件，组装成了如图所示的拖车装置。已知汽车通过泥泞路段需移动8 m距离，汽车在泥泞路段受到的阻力为车重的0.1 倍，滑轮组的机械效率为80%，g取10 N/kg。在将车匀速拖离泥泞路段过程中，求：
(1)做的有用功；
(2)作用在绳子自由端的拉力。
15. (2019广东省卷)如图所示，质量为960 kg、底面积为0.5 m2的石材A放在水平地面上，利用滑轮组水平拉动A，使其在20 s的时间内匀速向墙靠近了4 m，水平拉力F＝500 N，不计绳、滑轮组的质量以及绳与滑轮组之间的摩擦，g取10 N/kg。求：
(1)A对水平地面的压强；
(2)A在运动过程中受到摩擦力的大小；
(3)拉力F的功率。
16. (2019德州改编)小强用如图所示装置在10 s内将重为450 N的货物匀速提升2 m，此过程中拉力F的功率为120 W。(其他摩擦不计)
求：
(1)提升装置所做的有用功；
(2)拉力F做的功；
(3)动滑轮重。
17. (2019连云港)如图甲所示，拉力F通过滑轮组，将正方体金属块从水中匀速拉出至水面上方一定高度处。图乙是拉力F随时间t变化的关系图像。不计动滑轮的重力、摩擦及水和空气对金属块的阻力，g＝10 N/kg，求：
(1)金属块完全浸没在水中时受到的浮力大小；
(2)金属块的密度；
(3)如果直接将金属块平放在水平地面上，它对地面的压强大小。
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答案解析部分
一、浮力相关计算类
1. 解：(1)整流罩受到海水的压强为：
p＝ρgh＝1×103 kg/m3×10 N/kg×200 m＝2×106 Pa
由p＝得，整流罩受到海水的压力为F＝pS＝2×106 Pa×0.05 m2＝1×105 N
(2) 由m排＝ρV排水得，潜艇的体积为：
V潜艇＝V排水＝＝＝6.8×103 m3
潜艇漂浮时，排开海水的体积V排′＝6.8×103 m3－1.5×103 m3＝5.3×103 m3
潜艇漂浮时，受到海水的浮力F浮′＝ρgV排′＝1×103 kg/m3×10 N/kg×5.3×103 m3＝5.3×107 N
因为潜艇漂浮时，浮力大小等于潜艇的重量，所以G潜艇＝ F浮′＝5.3×107 N
2. 解：(1)正方体受到的重力G＝mg＝0.4 kg×10 N/kg＝4 N
(2)正方体浸没在水中受到的浮力F浮＝ρ水gV排＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×1.25×10－4 m3＝1.25 N
(3)容器底部对正方体的支持力F支＝G－F浮＝4 N－1.25 N＝2.75 N
正方体对容器底部的压强p＝＝＝＝1 100 Pa
3. 解：(1)铝块上表面处的液体压强为
p＝ρ油gh1＝0.9×103 kg/m3×10 N/kg×0.1 m＝900 Pa
(2)正方体铝块的边长为
L＝h2－h1＝20 cm－10 cm＝10 cm＝0.1 m，铝块受到的浮力为
F浮＝ρ油gL3＝0.9×103 kg/m3×10 N/kg×(0.1 m)3＝9 N，由于铝块的重力G>F浮，若要使铝块在图示位置处于静止状态，则铝块还应受到一个向上的力，可得G＝F向上＋F浮，所以需要施加的力F向上＝G－F浮＝mg－F浮＝2.7 kg×10 N/kg－9 N＝18 N
(3)由于要使空心正方体处于悬浮状态，所以V排＝V物，F浮＝G′，空心正方体合金块的重力G′＝F浮＝9 N，设该正方体空心部分体积为V′，则有
G′＝ρ合金g(L3－V′)＝3.6×103 kg/m3×10 N/kg×[(0.1 m)3－V′]＝9 N，解得V′＝7.5×10－4 m3
4. 解：(1)因为物块A体积为V＝(0.1 m)3＝1.0×10－3 m3
则V排＝V－V露＝V－V＝V＝×1.0×10－3 m3＝4×10－4 m3
根据阿基米德原理，物块A受到的浮力：
F浮＝ρ水gV排＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×4×10－4 m3＝4 N
(2)因为弹簧恰好处于自然状态，没有发生形变，所以F浮＝G
即ρ水gV排＝ρ物gV，因此ρ物＝ρ水＝×1.0×103 kg/m3＝0.4×103 kg/m3
(3)物块A刚好完全浸没水中时，V排′＝V，物体受到弹簧向下的拉力，大小为
F1＝F浮′－G＝ρ水gV排′－ρ物gV＝(ρ水－ρ物)gV＝(1.0－0.4)×103 kg/m3×10 N/kg×0.001 m3＝6 N
由图乙可知，此时弹簧伸长了6 cm，当容器中水的深度为20 cm时，物块A有的体积露出水面，此时弹簧恰好处于原长，则弹簧原长为：L0＝h水－hA浸＝20 cm－(1－)×10 cm＝16 cm，则物块A刚好完全浸没水中时弹簧的长度：L′＝L0＋ΔL＝16 cm＋6 cm＝22 cm；则物块A浸没时水面的高度为h2＝L′＋LA＝22 cm＋10 cm＝32 cm，
所以水面升高的高度
Δh＝h2－h水＝32 cm－20 cm＝12 cm＝0.12 m
故水对容器底部压强的增加量
Δp＝ρ水gΔh＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×0.12 m＝1 200 Pa
5. 解：(1)由乙图可知，当合金块全部露出水面后，测力计的示数即合金块的重力为F＝G＝9 N
合金块全部浸入水中时测力计的示数为F′＝6 N，则合金块所受的浮力为F浮＝G－F′＝9 N－6 N＝3 N
(2)合金块受到的浮力为6 N，合金块浸入水中，其排开的水的体积等于金属块的体积：
由阿基米德原理得：V＝V排＝＝
＝3×10－4 m3
合金块的质量为m＝＝＝0.9 kg
合金块的密度为ρ＝＝＝3×103 kg/m3
合金块的高度为h＝＝＝0.1 m
则合金块下表面距离水面的高度为：h′＝0.1 m＋0.05 m＝0.15 m
合金块底部受到的压强为p＝ρ水gh′＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×0.15 m＝1 500 Pa
则由p＝可得合金块下表面受到的压力为F＝pS＝1 500 Pa×30×10－4 m2＝4.5 N
6. 解：(1)由图乙可知，容器的质量m容＝100 g＝0.1 kg
容器的重力：
G容＝m容g＝0.1 kg×10 N/kg＝1 N
由图乙可知，当液体深度h＝3 cm时，电子秤示数为400 g，即容器和液体的总质量为400 g
所以液体质量：
m液＝m总－m容＝400 g－100 g＝300 g
液体体积：V液＝S容h＝100 cm2×3 cm＝300 cm3
液体密度：ρ液＝＝＝1 g/cm3＝1.0×103 kg/m3
(2)圆柱体重力为GA＝mAg＝0.216 kg×10 N/kg＝2.16 N
由于液体密度大于物体A的密度，无法判断物体是否沉底。假设物体最终沉底，则
水面最终高度 h′＝＝＝5 cm
相比A浸入前，液面上升的高度：
Δh＝h′－h＝5 cm－3 cm＝2 cm
此时V排＝SAh′＝40 cm2×5 cm＝200 cm3＝2×10－4 m3
A受到的浮力：
F浮＝ρ液gV排＝1.0×103 kg/m3×10 N/kg×2×10－4 m3＝2 N
因为F浮＜GA，所以A最终会沉入容器底部，假设成立。
二、简单机械计算类
考向1 杠杆类
7. 解：(1)根据杠杆的平衡条件有F1×12 cm＝600 N×8 cm
则小腿肌肉对每只脚的拉力F拉＝＝＝200 N
(2)小明踮脚过程重心上升的高度为h＝9 cm×＝6 cm
做50个时其克服重力做功的功率
P＝＝＝＝30 W
8. 解：(1)硬棒在水平位置平衡，有：GB×OC＝GA×OD，即：GB×6 cm＝8 N×18 cm，所以GB＝24 N
(2)均匀。设待测物体重为G，物体A距离O点为L，由杠杆平衡条件得，G×OC＝GA×L，即L＝×G，由于是定值，所以L与G成正比，由此可知刻度是均匀的。
9. 解：(1)设被测物体的密度为ρ，体积为V，挂物处离提纽的距离为L0，秤锤重为G0，
根据杠杆的平衡条件可得在空气中ρVgL0＝G0L1 ①
浸没在水中后(ρVg－ρ水Vg)L0＝G0L2 ②，由①、②两式得ρ＝ρ水。
(2)向左 理由：根据杠杆的平衡条件，提纽左侧为动力、动力臂；提纽右侧为阻力、阻力臂。提纽左侧动力减小、动力臂不变；提纽右侧阻力不变、阻力臂应减小；故应将秤锤向左移动。
10. 解：(1)由p＝可得：吸盘所受的大气压力
F0＝p0S＝1×105 Pa×30×10－4 m2＝300 N
(2)吸盘沿竖直方向刚好拉离地面，吸盘所受的拉力与大气对吸盘的压力是一对平衡力，即FA＝F0＝300 N
由杠杆原理FA×OA＝F×OB可得：F＝＝＝100 N
(3)当沿题图中虚线方向施加力F′将吸盘拉离地砖时，F′的力臂小于F的力臂，而A点所受的力与其力臂均不变，由杠杆平衡条件可知，拉力F′变大；拉力F′的力臂如答图所示。
11. 解：(1)拉力所做的功：W＝Fs＝500 N×0.2 m＝100 J
(2)拉力做功的功率：P＝＝＝200 W
(3)杠杆的机械效率：η＝×100%＝×100%＝×100%＝80%
12. 解：(1)当t＝0时，甲对绳子拉力为物重G，乙对绳子拉力为0.6G，根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可得0.6 G×BP＝G×PA，解得BP∶PA＝5∶3
(2)物品甲被水完全浸没时对绳子的拉力F甲＝(ρ－ρ水)ga3，乙对绳子的拉力不变仍然为0.6G＝0.6 ρga3，杠杆始终保持平衡，根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可得0.6ρga3×BP＝(ρ－ρ水)ga3×PA，解得BP∶PA＝(ρ－ρ水)∶0.6ρ
(3)当时间为t时，物品甲拉绳子的力F甲＝ρga3－ρ水ga2vt，物品乙拉绳子的力仍为0.6ρga3，根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可得0.6ρga3×BP＝(ρga3－ρ水ga2vt)×PA，解得BP∶PA＝(ρa－ρ水vt)∶0.6ρa
13. 解：(1)物体E的重力为G1＝m1g＝15 kg×10 N/kg＝150 N
动滑轮的重力为G0＝m0g＝3 kg×10 N/kg＝30 N
则总重力为G＝G1＋G0＝150 N＋30 N＝180 N
根据动滑轮可省力一半，则A端的拉力为：FA＝G＝×180 N＝90 N
(2)当AD杆水平平衡时，因为A端的作用力是一定的，则以B为支点时动力臂AB与阻力臂BD相等，则根据杠杆平衡条件可以知道：FD＝FA＝90 N
若以C为支点时，动力臂AC＝AD－CD＝1.0 m－0.3 m＝0.7 m，大于阻力臂CD＝0.3 m，则FD>FA；
所以，以C为支点时杠杆D端受到绳子的拉力最大，
则根据杠杆平衡条件得：FA×AC＝FD×CD；所以FD＝＝＝210 N
(3)因为物体H浸没在水中，V排＝V，受力情况为：GH＝F浮＋FD
由G＝mg＝ρVg，F浮＝ρ液V 排g可得：ρHVg＝ρ水Vg＋FD；所以，V＝
当以B为支点时AD杆水平平衡，则FD′＝90 N，
所以，V′＝＝
＝
0．03 m3
当以C为支点时AD杆水平平衡，则FD″＝210 N，
所以，V″＝＝
＝
0．07 m3
则要使AD杆水平平衡，浸没在水中的物体H的体积应满足的条件是0.03 m3≤V≤0.07 m3
考向2 滑轮类
14. 解：(1)汽车所受的阻力
f＝0.1 mg＝0.1×1.5×103 kg×10 N/kg＝1.5×103 N
将车匀速拖离，由二力平衡得，牵引力F牵＝f＝1.5×103 N
所做的有用功
W有＝F牵s车＝1.5×103 N×8 m＝1.2×104 J
(2)绳子自由端移动距离s绳＝3s车＝3×8 m＝24 m
由η＝×100%得，W总＝＝＝1.5×104 J
由W总＝Fs绳得，拉力F＝＝＝625 N
15. 解：(1)A的重力G＝mg＝960 kg×10 N/kg＝9 600 N
地面水平，A对水平地面的压力F压＝G＝9 600 N
A对水平地面的压强p＝＝＝1.92×104 Pa
(2)A在运动过程中受到摩擦力的大小f＝2F＝2×500 N＝1 000 N
(3)绳子移动的距离s＝2sA＝2×4 m＝8 m
拉力F做的功W＝Fs＝500 N×8 m＝4 000 J
拉力F的功率P＝＝＝200 W
16. 解：(1)提升装置所做的有用功W有用＝Gh＝450 N×2 m＝900 J
(2)由P＝得，拉力做的总功W总＝Pt＝120 W×10 s＝1 200 J
(3)动滑轮做的额外功W额＝W总－W有＝1 200 J－900 J＝300 J
则动滑轮重为G＝＝＝150 N
17. 解：(1)在t2～t3时间内，2F3＝G，G＝2×108 N＝216 N
在0～t1时间内，2F1＋F浮＝G，F浮＝G－2F1＝216 N－136 N＝80 N
(2)根据F浮＝ρ水gV排得
V排＝＝＝8×10－3 m3
G＝ρ金gV，ρ金＝＝＝＝2.7×103 kg/m3
(3)V＝a3，a＝＝＝0.2 m
S＝a2＝0.2 m×0.2 m＝0.04 m2
p＝＝＝＝5 400 Pa＝5.4×103 Pa
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