人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形练习（无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T等腰三角形
授课日期及时段
教学内容
一、同步知识梳理 知识点1：等腰三角形的性质 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 定理及推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。 知识点2：等腰三角形的判定 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重 要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。 二、同步题型分析 题型1：等边对等角 等边对等角：等腰三角形的两个底角____________，简称等边对____________. 在中，，则的度数为 A. B. C. D.
如图，中，，则 A. B. C. D. 如图，在中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且，那么等于 A. B. C. D. 如图，在中，F为BC延长线一点，D为AB上一点，且为AC上一点，且EC=EF，∠A=40°，∠DFE的度数为 A. 30 B. 35 C. 40 D. 50 如图，已知，则的度数为 A. B. C. D. 6.若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a-5|+=0，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．12 C．15或12 D．9或12 7.已知：△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞6
8. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9.如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D． 10．（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长． 题型2：三线合一 等腰三角形的_________线、_________线、__________线相互重合，简称__________。 1.在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝70°，BC＝10㎝，则BD＝ ，∠BAD＝ ° 2. 如图，在△ABC中，∠B=40°，AD为BC边上的高，E是AB上一点，且AD=AE， 则∠AED=_________. 3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD=BE，求∠ADE的度数．·世纪*教育网 4.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC． 题型3：等腰三角形的判定
1.下列能判定三角形是等腰三角形的是（　　） A．有两个角为30°、60°B．有两个角为40°、80°C．有两个角为50°、80°D．有两个角为100°、120°
2.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=_______. 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=1时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A.4个 B.5个 C.8个 D.9个 5.如图，线段CD垂直平分线段AB，垂足为H，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若AE=AB，∠E=22.5°，则直接写出图中内角含有45°等腰三角形（写出4个即可）． 6.下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（　　） A．1，1，2B．4，2，4C．2，3，4D．3，3，7
题型4：平行线+角平分线 1.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（　　） A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm
2.如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=3，AB=4，则DE的长为（　　） A．6B．7C．8D．9
3.如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E，若BC=10cm，则△ODE的周长为（　　） A．10cmB．8cmC．12cmD．20cm
4.已知△ABC中，AC+BC=16，AO、BO分别是∠CAB、∠ABC的角平分线．MN经过点O，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为　　　　　． 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB∥ED．若AC=5，CE=3，则DE=_______. 6.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形． 7.如图，已知CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，EF∥BC，EF交AC于D．
（1）判断△ECF是什么三角形，并说明理由；
（2）试说明CD是△ECF的中线；
（3）请探究∠ACB等于多少度时，CF=EF．-2-1-cnjy-com 题型5：求角度 1.等腰三角形的一个内角为70°， 则另两个角的度数为______　 2.等腰三角形的一个内角为100°，则另两个角的度数为___________　 3.如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为______ 4.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为_____ 5.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为_________° 6.等腰三角形的两角之比为2:5,则其底角为______ 7.等腰三角形两腰上的高所夹锐角为50°，则其顶角为______ 8.已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则其顶角为______ 9.等腰△ABC中，AD是BC边上的高，且，AD=BC，求等腰△ABC顶角的度数 题型6：求长度 1等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是_____； 如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是_______； 如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是____． 2.等腰三角形的周长为20cm
（1）求底边y（cm）与腰长x（cm）之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围．
（2）若底边长为4cm，求腰长． 3．等腰三角形的周长为8，边长是整数，则其腰长多少？ 4．等腰三角形一腰上的中线，把等腰三角形的周长分为15 cm和12 cm两部分，求等腰三角形的腰长 5．等腰三角形一腰上的中线，把等腰三角形分为两部分的周长差为3cm，且底长为5cm，求等腰三角形的腰长 题型7：构造等腰三角形 1、如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD. 2.如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF. 3.如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由． 题型8：动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．当t=_______时，△CBD是等腰三角形． 2、ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？2·1·c·n·j·y 三、课堂达标检测 一.选择题 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．70°B．20°C．70°或20°D．40°或140°
2.如图，已知等腰△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，则下列结论一定正确的是（　　） A．AD=CDB．AD=BDC．∠DBC=∠BACD．∠DBC=∠ABD
3.若等腰三角形的两边长分别是4和7，则其周长为（　　） A．15B．16C．15或18D．16或18
4.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．12或9B．12C．9D．7
5. 如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　） A. B. C. D. 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A．20°B．35°C．40°D．70°
7.已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A.20° B.120° C.20°或120° D.30° 8．如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长为（　　） A．随F点运动，其值不变 B．随F点运动而变化，最大值为 C．随F点运动而变化，最小值为 D．随F点运动而变化，最小值为 9.若等腰三角形的一个角是70°,则其底角为（）. A．70°???? B．55°??? C．70°或?55°??? D．30° 10.等腰三角形的顶角和一个底角的度数比是3：1，它的顶角是（　　）度． A．35???? B．45?? C．108??? D．135 11.一个等腰三角形的底角和顶角度数比是3：2，这个三角形的顶角是（　　）度． A.45 B.60 C.75 D.90 12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠DEC是（　 　） A．10° B．12.5° C．15° D．20° 二.填空题 1. 等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是 ； 2．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 ； 3.等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为 ； 4. 等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 ； 5.已知等腰△ABC的周长为12，设它的腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为________，自变量x的取值范围为_______________． 6.等腰三角形的周长为20，则底边长y与腰长x的函数关系式是____________________．其中x的取值范围是________________． 7.如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD，则∠ECD等于________________. 8.一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第____张． 三.解答题 1.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。 求证：△ABC是等腰三角形。 2.已知：如图，平分，．求证：是等腰三角形． 3.已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由． 5.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 6.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点，证明：EF=2PD． 7.如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．
（1）如图1，填空∠B=_____°，∠C=_____°；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
8.在△ABC中，AB=AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．
（1）如图①，若∠BAC=60°，则按边分类：△CEF是__________三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）． 9.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
10.如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABD和△ACE，且AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，连接DC，BE，点G，F分别是DC，BE的中点，连接AF，FG．
（1）求证：DC=BE；
（2）当∠BAD=80°时，连接AG，求∠AFG的度数；
（3）若∠BAD=α，请你直接写出∠AFG与α之间满足的数量关系． 11.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？


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