人教版八年级上册13.3.2 等边三角形练习（无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T等边三角形
授课日期及时段
教学内容
一、同步知识梳理 知识点1：等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 知识点2：等边三角形的性质： （1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） （3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。 （4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高) 知识点3：等边三角形的判定： （1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 （4）两个内角为60度的三角形是等边三角形 说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。 等边三角形的性质与判定理解： 首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点4：30°角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立． 二、同步题型分析 1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ， 2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。er 题型1：性质 1．如图，等边三角形ABC的周长为18，则BC边上的高AD的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 2．图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a，矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（　　） A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b 3．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 4．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若∠1＝34°，则∠2等于（　　） A．84° B．86° C．94° D．96° 5．如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论错误的是（　　） A．BM＝3CM B．BM＝EM C．CM＝CE D．DM＝2CM 6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则B2018B2019的长为（　　） A．2017 B．2018 C． D． 7．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定 9.如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（　　） A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 10．如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0）．按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R，N分别在射线DA，PB，LC上． ①当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形是正六边形时，x＝　 　； ②当点D与点B重合时，EF，QR，MN所围成的三角形的周长为　 　． 11．如图，在边长为6的等边△ABC中，E为BC边上一点，且BE＝2，过E作EF⊥AC于F点，G为EF中点，D为AB边上一动点，连接DG，当D运动到AB边的三等分点时，则DG的长为　 　． 12．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°．梯子顶端距地面的垂直距离MA为5米，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的倾斜角为45°．则这间房子的宽AB是　 　米． 13．在边长为4的等边三角形ABC中，P是BC边上的一个动点，过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，连接PA，则下列说法正确的是　 　（填序号）． ①若PB＝1，则；②若PB＝2，则S△ABC＝8S△BMP； ③；④若0＜PB≤1，则S四边形AMPN最大值是． 14．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝a，则三角形AnBnAn+1的边长为　 　． 15.如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为　　　　　　．　　21*cnjy*com 　 题型2：判定 1.下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 2.如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　） A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形 3.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 4.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p，且|m﹣n|+（n﹣p）2＝0，则这个三角形为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝10．若点M，N分别在射线OA，OB上，且△PMN是边长为整数的等边三角形，则满足上述条件的点M有（参考数据：）（　　） A．4个以上 B．4个 C．3个 D．2个 6.等腰△ABC的底角若为顶角的，过底边上的一点D作底边BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则△AEF是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰但非等边三角形 7.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 8.如图，在四边形OAPB中，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2，若点M、N分别在直线OA、OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 9.如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　） A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a 10.如图，使中间部分形成一个小的等边△DEF．若△DEF的面积是△ABC的，则的值为　 　． 11.一只电子青蛙在如图的平面直角坐标系做如下运动：从坐标原点开始起跳记为A1，然后沿着边长为1的等边三角形跳跃即A1→A2→A3→A4→A5……已知A3的坐标为（1，0），则A2018的坐标是　 　． 12.下列三角形：（1）有两个角等于60°；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3）三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有　 　． 13.如图，P是正六边形ABCDEF的BC边上的一点，过点P作PM∥AB交AF于M，AD于S，作PN∥CD交DE于N，AD于T，点O是AD的中点，OG平分∠MON，则图中等边三角形有　 　个． 题型3：证明等边三角形 1.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　） A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形 2.下列说法：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 4．如图，△ADE是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ABC是等边三角形． 5．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：△CDE为等边三角形； （2）求EF的长． 6．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 题型4：构造等边三角形 1.如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120° 求证：AC＝BC＋DC． 2.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E （1）求证：∠1＝∠2； （2）求证：AD＝DE． 3.如图：△ABD是等边三角形，以BD为边向外作等边三角形△DBC，点E，F分别在AB，AD上且AE＝DF．连接BF于DE相交于点G，连接CG，证明下列结论： ①△AED≌△DFB； ②CG＝DG+BG． 题型5：含30°角的直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝2，则AC的长是（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 2．如图，△ABC是等腰三角形（AB＝AC，∠B＝30°），AD是底边BC上的高．BC＝12米，则AD的长是（　　） A．2米 B．2米 C．6米 D．4米 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边边上的高，∠A＝30°，那么下列说法中正确的是（　　） A．AD＝2BD B．AD＝BD C．AD＝3BD D．AD＝4BD 4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点D、E分别在边AC、AB上，若AD＝DC，AE＝CB+BE，则线段DE的长为（　　） A．2 B． C． D．2 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（　　） A．8 B．4 C．12 D．6 6．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D在BC上，AE平分∠BAD，∠ADB＝∠B+90°，下列结论正确的是（　　） EC＝2AE B．AC＝2AE C．EC＝AE D．AC＝AE 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，∠ABD＝15°．若BC＝6，则 AD的长为　 　． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AB上，∠ACD＝15°，则＝　 　． 9．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　． 10.图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
11.已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD． 12.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，点D为AC中点，点E为AB边上一动点，AE=DE，延长ED交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若AB=12，求DE的长． 13.如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB=2，求△AFD的面积． 14.一张展开后桌面平行于地面的折叠型方桌如图甲，从正面看如图乙，已知AO=BO=40cm，CO=DO=30cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？
15.如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：
（1）∠ADG的度数；
（2）线段DC的长度． 三、课堂达标检测 1.P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD=DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长． 2.已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE=AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ=3，PE=1，求AD的长． 3.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1． （1）求证：∠BPQ=60°； （2）求AD的长． 4.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°, 连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：CE平分∠ACF； （3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． 5.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE．求证： （1）点D在BE的垂直平分线上； （2）∠BEC=3∠ABE． 6.如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD 交于点D，连接CD． （1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线OB与∠ACB的角平分线OC相交于点O，过点O作MN BC，分别交AB、AC于点M、N． （1）请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明； （2）若AB+AC=14，求△AMN的周长． 8.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形： （1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； （2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是, 请说明理由（可用第一问结论）． 9.如图△ABC是等边三角形 （1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形； （2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线 段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由． 10.如图，△ABC中，AB=AC，AD、CE是高，连接DE． （1）求证：BC=2DE； （2）若∠BAC=50°，求∠ADE的度数． 11.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的 延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若AB=8，BC=10，且AG⊥CF于G，求AG的长． 12.如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点（P不与A重合），AP=t（t＞0），PH⊥AC于点H，则PH=t，连结DP并延长至点E，使得PE=PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH
（1）用t的代数式表示DH的长；
（2）求证：DF∥AB；
（3）若△DFH为等腰三角形，求t（0＜t≤5）的值．（提示：以∠A为较小锐角的直角三角形的三边比为3：4：5）


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