人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题学案（无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 C （最短路径问题） C轴对称综合应用
授课日期及时段
教学内容
【问题1】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为A B＇． 【问题3】作法图形原理 在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小． 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN． 【问题6】 作法 图形 原理 在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小． 将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN． 【问题7】 作法 图形 原理 在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小． 作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长． 【问题8】 作法 图形 原理 A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． 【问题9】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最小． 连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0． 【问题10】作法图形原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．的最大值＝AB． 【问题11】作法图形原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．最大值＝AB＇． 【问题12】“费马点”作法图形原理 △ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD． 题型1 ：两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小。 2、如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 题型2 ：两点在一条直线同侧1.已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 2. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（　　）
A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米 3、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）． A．15° B．22.5° C．30° D．45° 4、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）． 3 B． 4 C． 5 D． 6 5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置． 题型3：一点在两相交直线内部1、如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由； (2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 2、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数． 3、如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（　　）． ?A． B． 6 C． D． 4、已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（　　）． A． 30° B． 45° C． 60° D． 90° 题型4：两点在两相交直线内部1、已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ． （1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小； （2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系． 2、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 题型5：造桥选址问题1、如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 2、在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？


C专题——最短路径



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