人教版九年级数学上册21.3实际问题和一元二次方程导学案

21.3实际问题与一元二次方程
【目标导航】
1、经历生活问题转化为数学问题的过程
2、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤
3、会建立数学模型以解决全面地比较几个对象的变化状况的问题．
4、掌握建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
名题诠释【例1】一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 妙 解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）， 那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s） （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）. （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s 所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 ， 解方程：得x= x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．方法总结：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀减速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可． （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．变式训练1.若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　　． 巧解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0， 解得a=1，b=2， ①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形， ②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5． 答案：D．方法总结：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 【例2】商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A、 B、 C、 D、巧解问题是降价所以选择中的“减”，故选A方法总结：本题运用基本关系式：.变式训练 2.上海甲商场七月份利润为100万元，九月 份的利率为121万元，乙商场七月份利率为 200万元，九月份的利润为288万元，那么哪 个商场利润的年平均上升率较大?知识整合运用要点1 列一元二次方程解决实际问题 【例3】在一块长16m，宽12m的矩形荒地 上，要建造一个花园，要求花园所占面积为 荒地面积的一半，图、图分别是小明和 小颖的设计方案． （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由． （2）请你帮助小颖求出图中的（精确到0．1m）．巧解：（1）小明的结果不对，设小路的宽为m， 则得方程（16－2）（12－2）＝×16×12， 解得＝2， ＝12． 而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故＝12m不符合题意，应舍去． （2）由题意得4×，∴x≈5.5m． 方法总结：列一元二次方程在实际生活中的有广泛的应用，要注意解的取舍。要点2.列一元二次方程解决利润问题【例4】（毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．巧解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．方法总结：首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．课后巩固拓展易错易混预警 忽略解的实际意义【例4】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°， AC＝8m，CB＝6m，点P、Q同时由A，B 两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移 动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB面积的一半．错解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：（8－x）（6－x）＝× HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn/" EMBED Equation.DSMT4 ×8×6 整理，得：x2－14x+24＝0 （x－7）2＝25即x1＝12，x2＝2答：12秒或2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 中考无缝对接解读中考本章在中考中，以选择题、填空和解答的形式出现，并且与实际问题相结合，题型多，是历年考试的重点和热点。考法1：列一元二次方程【例5】（丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程　 　．巧解：设道路的宽为xm，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）=6×78， 故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．方法总结：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．阶梯提升训练基础过关 1.(天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=282. 一台电视机成本价为a元，销售价比成本 价增加25%，因库存积压，所以就按销售价 的70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那 么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ） A．12% B．15% C．30% D．50% 能力挑战4.(牡丹江)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得　 　．5.一个产品原价为a元，受市场经济影响， 先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%． 6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为 7．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________． 知识聚焦：知识点一：建立一元二次方程数学模型解应用题1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设未知数，（设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种）； (2)“列”，即根据题中等量关系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的解； (4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。 知识点二：增长率问题、利润问题（1）平均增长（或降低）率问题： n为增长的次数，基数为a，增长（或降低）率为x，，b为增长（或降低）后的数量。 其基本关系式：。 （2）每件利润＝销售价—进价 总利润＝每件商品的利润×销售件数 变式训练3.（昆明）某果园2011年水果产量为100吨，年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 变式训练4.（南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　　万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率 正解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：（8－x）（6－x）＝× HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn/" EMBED Equation.DSMT4 ×8×6 整理，得：x2－14x+24＝0 （x－7）2＝25即x1＝12，x2＝2 x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．思路分析：解决运动问题时，要会用含有字母的代数式表示线段的长、图形的周长面积等，将代数式间存在的等量关系列出方程，求解即可。 变式训练（泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆 的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15 思维拓展在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形图画的 四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为厘米，那么满足的方程是 9.（?宜昌）在“文化宜昌?全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，年全校学生人数比2012年增加10%，年全校学生人数比年增加100人． （1）求年全校学生人数； （2）年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数） ①求2012年全校学生人均阅读量； ②2012年读书社人均阅读量是全校 (?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．





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