限时训练（一）
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ? ?2 2 0P x x x? ? ? ? ， ? ?? ?2log 1 1Q x x? ? ? ，则 ? ?P Q ?R ?? （ ）.
A. ? ?2,3 B. ? ? ? ?, 1 3,?? ? ??? C. ? ?2,3 D. ? ? ? ?, 1 3,?? ? ???
2.若 i 为虚数单位，则复数
3i 1
1 i
?
?
的模是（ ）.
A. 5 B. 2 2 C. 5 D. 2
3.设等差数列? ?na 的前n项和为 nS ，若 2 4 9 24a a a? ? ? ，则 9S ?（ ）.
A. 36 B. 72 C. 144 D. 70
4. 已知四棱锥P ABCD? 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD? 的四个侧面中的最大
面积为（ ）.
A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8
5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点 ? ?,P m n 在直线 4x y? ? 上的概率
是（ ）.
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
12
6.某程序框图如图所示，执行该程序.若输入 24P ? ，则输出 S的值为（ ）.
A. 30 B. 15 C. 45 D. 60
2
2
2
4
3 3
侧视图
俯视图
正视图
7.已知向量 ? ?1,2x?a ， ? ?4, x? ?b ，则“ 2x ? ”是“ ?a b ”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知圆 2 2 2 4 1 0x y x y? ? ? ? ? 关于直线 ? ?2 2 0 ,ax by a b? ? ? ?R 对称.则ab的取值
范围是（ ）.
A.
1
0,
4
? ?
? ?? ?
B.
1
,0
4
? ?
? ??? ?
C.
1
,
4
? ?
??? ?? ?
D.
1
,
4
? ?
? ????? ?
9.已知点 ? ?,P x y 满足
0
2 0
1
x y
x y
x
??
?
??
?
?
?
?
?
时，若不等式 2x y M? ? 恒成立，则M 的最小值为
（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.已知正四棱锥的侧棱与底面边长都为3 2 ，则这个四棱锥的外接球的表面积为
（ ）.
A. 12π B. 16π C. 32π D. 36π
11.已知数列? ?na 满足： 1
1
2
a ? ，前n项和 nS 为 ? ?2 *n nS n a n? ?N ，则 na 为（ ）.
A. ? ?1n n? B.
? ?
1
1n n ?
C. ? ?2n n ? D.
? ?
1
2n n ?
12.若函数 ? ?
? ?
? ?
2 1, 0,1
3 1, 1,
ax x
f x
ax x
? ? ??
? ?
? ? ????
和 ? ? 2logg x x? 使不等式 ? ? ? ? 0f x g x? ? ，
对 ? ?0,x? ?? 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.
A.
3
1,
2
? ?
? ?? ?
B.
1
0,
2
? ?
? ?? ?
C.
1 1
,
3 2
? ?
? ?? ?
D. ? ?0,1
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13.设 0a ? ， 0b ? .若 lg a与 lgb的等差中项为 0，则
1 1
a b
? 的最小值是 .
14.已知函数 ? ?
2
2
1
1
x x
f x
x
? ?
?
?
，若 ? ?
2
3
f a ? ，则 ? ?f a? ? .
15.已知双曲线
2 2
1
64 36
x y
? ? 的焦点为 1F， 2F ，点P在双曲线上，且 1 2 60FPF? ?
?
，则
1 2F PF△ 的面积为 .
16.给出下列四个命题：
①在频率分布直方图中，各个小矩形对应的纵坐标读数之和为 1.
②某商店售出甲种产品350件，乙种产品150件，为了了解产品的使用满意情况，用分层
抽样法从这两种产品中抽取一个容量为n的样本，已知甲种产品抽到 7 件，则样本容量n
为10 .
③学校随意安排甲、乙、丙 3 位老师在五一节假期间值班.每人值 1 天，则甲排在乙前的概
率为
1
3
.
④已知函数 ? ? 2
1
log , ,2
2
f x x x
? ?
? ?? ?? ?
，若在区间
1
, 2
2
? ?
? ?? ?
上随机取一点，则使 ? ?0 0f x ?
的概率为
2
3
.
其中正确的命题序号为 .
限时训练（一）
答案部分
一、选择题
二、填空题
13. 2 14.
4
3
15. 36 3 16. ②④
解析部分
1.解析 解法一：对于 P，解不等式 2 2 0x x? ? ? ，得 ? ?1 2P x x? ? ? ? .
对于Q，解不等式组
1 0
1 2
x
x
? ??
?
?? ?
，得 ? ?1 3Q x x? ? ? ，可得 ? ? ? ?2 3R ?P Q x x? ? ?? .
故选 C.
解法二（特殊值检验法）：观察选项，因为 1 Q? ? ，所以排除 B，D选项.
又因为3 P? ，则3 P? R? ，且3 Q? ，所以排除 A选项.故选 C.
2.解析 解法一（模的性质）：
2 2
2 2
3i 13i 1 3 1 10
5
1 i 1 i 21 1
?? ?
? ? ? ?
? ? ?
.故选 A.
解法二（除法公式）：由
? ? ? ?
? ?? ?
3i 1 1 i3i 1 2 4i
1 2i
1 i 1 i 1 i 2
? ?? ?
? ? ? ?
? ? ?
，则模为
2 21 2 5? ? .
故选 A.
3.解析 解法一：设公差为 d，则由 2 4 9 24a a a? ? ? ，
得 ? ? ? ? ? ?1 1 13 8 24a d a d a d? ? ? ? ? ? ，即 13 12 24a d? ? .
所以 1 4 8a d? ? ，即 5 8a ? .所以
? ?1 9
9 5
9
9 72
2
a a
S a
? ?
? ? ? .故选 B.
解法二：因为 ? ?2 4 9 1 5 9 1 9 5 5 5 52 3 24a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 5 8a ? .
所以 9 59 72S a? ? . 故选 B.
4.解析 由几何体的三视图，画出其立体图形 P ABCD? ，如图所示.
由题可知，顶点 P 在底面上的投影是边CD的中点，底面是边长为 4AB ? ， 2BC ? 的矩
形. PCD△ 的高为 2 23 2 5? ? ，所以侧面 PCD△ 的面积为
1
4 5 2 5
2
? ? ? .
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B C D A A C D D B C
两个侧面 PAD△ ， PBC△ 的面积相等为
1
2 3 3
2
? ? ? .
侧面 PAB△ 的面积为 ? ?
2
21 4 5 2 6
2
? ? ? ? .
所以四个侧面中的最大面积为 6.故选 C.
5.解析 由题意知 ? ?,m n 的取值情况有 ? ?1,1 ，? ?1,2 ，…，? ?1,6 ；? ?2,1 ，? ?2,2 ，…，? ?2,6 ；…；
? ?6,1 ，? ?6,2 ，…，? ?6,6 ，共36种情况.而满足点 ? ?,P m n 在直线 4x y? ? 上的取值情况
有 ? ?1,3 ， ? ?2,2 ， ? ?3,1 共 3种情况.故所求概率 3 1
36 12
P ? ? .故选 D.
6.解析 由程序框图可知逐次循环结果分别为：
① 3S ? ， 2n ? ；② 9S ? ， 3n ? ；③ 18S ? ， 4n ? ；④ 30S ? ， 5n ? ；
当第④次循环后 30 24S P? ? ? ，此时结束循环.从而输出 30S ? .故选 A.
评注 如果P的值很大，则要找到 S与循环次数n的关系即
? ?3 1
2
n n
S
?
? .
7.解析 ?a b的充要条件是 0?a b = ，则有 24 2 0x? ? ，解得 2x ? ? .
故“ 2x ? ”是“ ?a b ”充分不必要条件.故选 A.
8.解析 由已知得圆的标准方程为 ? ? ? ?
2 2
1 2 4x y? ? ? ? ，
则圆心为 ? ?1,2? .又因为对称轴经过圆心，
所以把圆心坐标 ? ?1,2? 代入所给对称轴方程得 2 2 2 0a b? ? ? ? ，即 1a b? ? .
从而 ? ? ? ?21ab a a a a a? ? ? ? ? ?R ，由二次函数的性质，可得 1,
4
ab
? ?
? ??? ?
? ?
.故选 C.
9.解析 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线 0 : 2 0l x y? ? ，平
移 0l .由图可知，当直线 1 : 2l z x y? ? 经过点D时， z取得最大值为2 1 1 3? ? ? ，所以只
需要 3M ? ，所以M 的最小值为 3.故选 D.
D C
BA
P
2
4
33
22
10.解析 依题意作图，如图所示.
由 3 2AB BC CD DA PA PB PC PD? ? ? ? ? ? ? ? ，
可得 3PO DO CO AO BO? ? ? ? ? ，即底面的中心就是外接球的球心.
则球的半径为 3R ? ，可得该球的表面积为 2 24π 4π 3 36πS R? ? ? ? .故选 D.
11.解析 由已知，当 2n? 时， ? ?
22
1 11n n n n na S S n a n a? ?? ? ? ? ? ，
则 ? ? ? ?22 11 1n nn a n a ?? ? ? ，即 1 2
1 1 2
1 1
n n n
n n n
a a a
n n n
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ?
3
1 2 3
1 1
n
n n n
a
n n n
?
? ? ?
? ? ?
? ?
1
1 2 3 3 2 1
1 1 5 4 3
n n n
a
n n n
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ，
又因为 1
1
2
a ? ，则有
? ?
1
1
na
n n
?
?
.当 1n ? 时也符合上式，
所以
? ?
? ?*1
1
na n
n n
? ?
?
N .故选 B.
12.解析 ①当 ? ?0,1x? 时， ? ? 2log 0g x x? ? .
则由 ? ? ? ? 0f x g x? ? ，得 ? ? 2 1 0f x ax? ? ? ，所以 1
2
a
x
? .
3 2
3 2
3 2
O
D
C
BA
P
1
3
D
O
l1
l0
x-2y=0
x-y=0
x=1
y
x
又因为 ? ?0,1x? ，所以 1
2
a? .
②当 ? ?1,x? ?? 时， ? ? 2log 0g x x? ? .
则由 ? ? ? ? 0f x g x? ? ，得 ? ? 3 1 0f x ax? ? ? ，所以 1
3
a
x
? .
又因为 ? ?1,x? ?? ，所以
max
1 1
3 3x
? ?
?? ?
? ?
.
要使
1
3
a
x
? 恒成立，需
1
3
a? .
综合①②，得所求a的取值范围是
1 1
,
3 2
? ?
? ?? ?
.故选 C.
13.解析 依题意有 ? ? ? ?
1 1
lg lg lg 0
2 2
a b ab? ? ? ，
则 1ab ? .从而
1 1 1 1
2 2
a b a b
? ? ?? .
当且仅当 1a b? ? 时取等号.所以
1 1
a b
? 的最小值为 2.
14.解析 因为 ? ? 21 1
x
f x
x
? ?
?
，令 ? ? 2 1
x
g x
x
?
?
，则 ? ?g x 为奇函数.
所以当 ? ? ? ?
2
1
3
f a g a? ? ? 时， ? ?
1
3
g a ? ? ，
从而 ? ? ? ?1f a g a? ? ? ? ? ? ?1 g a? ?
1 4
1
3 3
? ?
? ? ?? ?
? ?
.
15.解析 由
2 2
1
64 36
x y
? ? ，可知 8a ? ， 6b ? ，所以 2 2 10c a b? ? ? .
解法一：由题意作图，如图所示.
由正弦定理得
1 2 1 2
1
sin 60
2
F PFS r r?
?
△ .
又由余弦定理得， ? ?
22 2
1 2 1 22 cos60 2r r r r c? ? ?
?
①
y
x
r2
r1
O F2F1
P
由双曲线的定义得， 1 2 2r r a? ? .
由 1 2 2 16r r a? ? ? ，得 ? ?
2 2
1 2 16r r? ? ，
2 2
1 2 1 22 256r r r r? ? ? ，
所以
2 2
1 2 1 2256 2r r r r? ? ? ②
联立式①，式②得 1 2 1 2
1
256 2 2 400
2
r r r r? ? ? ? ，则 1 2 144rr ? .
所以
1 2
1 3
144 36 3
2 2
F PFS ? ? ? ?△ .
解法二：设 2PF x? ，由双曲线的定义可得 1 16PF x? ? .
又 1 2 60F PF? ?
?，由余弦定理得
? ?
? ?
22 216 20 1
cos60
2 16 2
x x
x x
? ? ?
? ?
? ? ?
? ，解得 8 4 13x ? ? ? .
所以 ? ? ? ?
1 2
1
8 4 13 8 4 13 sin 60 36 3
2
PF FS ? ? ? ? ? ? ? ?
?
△ .
评注 本题作为填空题，可直接利用
1 2
2 36
36 3
3tan
2 3
F PF
b
S
?
? ? ?△ .
16.解析 对于①，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和为 1，而不是纵坐标读数之
和为 1，①错；
对于②，用分层抽样有
7
350 350 150
n
?
?
，解得 10n ? ,②对；
对于③，由于甲在乙前和乙在甲前的机会一样，则为
1
2
.
也可以列出所有可能情况共 6种，易知甲在乙前有 3种，则概率为
1
2
，③错；
对于④，由函数 ? ?0 0f x ? ，得 2 0log 0x ? ，解得 ? ?0 1,2x ? .
又由函数 ? ?f x 的定义域为 1 , 2
2
? ?
??? ?
，故 ? ?0 0f x ? 的概率为
2 1 2
1 32
2
?
?
?
，④对.
综上可知正确的命题为②④.
