2．1．1 平 面
课时分层训练
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
解析：选B 由题意知GH?平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．
4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )
A．六边形 B．五边形
C．菱形 D．直角三角形
解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.
5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．
答案：A∈l，l?α
7．如图，看图填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.
答案：A1B1 AC
8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．
解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图所示．
1．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α B．l?/ α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A ∵M∈a，a?α，∴M∈α，
同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.
2．下列命题正确的是( )
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
解析：选B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B.
3．下列命题中，正确的是( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
解析：选B 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选C 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C.
5．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
解析：因为m?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.
又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.
答案：P∈l
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
解析：作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
答案：5
7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
答案：共线
8．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC?β，BD?β，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
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2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系
课时分层训练
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
解析：选D 因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
解析：选A 我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
4．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，
∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
解析：如图所示，连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
答案：③④
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
答案：90°
9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.
2．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
解析：选B 如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：选C 设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
解析：选D 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
解析：连接BC1，AD1，AB1，
则EF为△BCC1的中位线，
∴EF∥BC1.
又∵AB綊CD綊C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，
PM＝BD＝3，∴MN＝5.
答案：5
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1
＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABCD中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
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(共33张PPT)
第二章 点、直线、平面
之间的位置关系
2．1 空间点、直线、
平面之间的位置关系
2．1．3 空间中直线与
平面之间的位置关系
2．1．4 平面与平面之间的位置关系
登高揽胜 拓界展怀
课前自主学习
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
×
×
×
×
剖析题型 总结归纳
课堂互动探究
知识归纳 自我测评
堂内归纳提升
2．1．3 空间中直线与平面之间的位置关系 2．1．4 平面与平面之间的位置关系
课时分层训练
1．正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选B 作出正方体观察可知，3对互相平行的平面．
2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选A 延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．
3．若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行或异面 B．平行或相交
C．相交或异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系可能是平行、相交或异面．
4．若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b?α B．b∥α
C．b与α相交 D．以上都有可能
解析：选D 首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内，故选D.
5．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选B ∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．
6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若a∥b，b?α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a?α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
解析：①中a∥b，b?α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．
答案：①③
7．若直线m不平行于平面α，且m?α，则m与α的位置关系是________．
答案：相交
8．空间中三个平面将空间分成________部分．
解析：①当三个平面两两平行时，将整个空间分成4部分；
②当三个平面中有两个互相平行，且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时，分成6部分；
③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时，分成7部分；
④当三个平面两两相交于共点的三条直线时，分成8部分．
答案：4或6或7或8
9．如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：
∵AB与l不平行，AB?α，l?α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．
而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
10．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．因为a，b都在平面γ内，所以a∥b，又c∥b，所以c∥a.
1．若直线a，b是异面直线，a?β，则b与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．b?β D．平行或相交
解析：选D ∵a，b异面，且a?β，∴b?β，∴b与β平行或相交．
2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D 如图所示：
故相交、平行、异面都有可能．
3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b; ②a∥c，c∥α?a∥α；
③a∥β，a∥α?α∥β； ④a?/ α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A 由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a?α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，∵a?α，∴a∥α或a与α相交．∵b?α，a∥b，故a∥α.
4．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，CD∥AB，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
5．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．
解析：以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．
答案：1或3
6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．
解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立，平行或直线在平面内都有可能．
答案：平行或直线在平面内
7．给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
其中正确的有________个．
解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确．
答案：1
8．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．
解：直线PQ与平面AA′B′B平行．
连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．
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