材料力学（457张幻灯片）
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第一章绪论
本章主要介绍材料力学的研究对象、研究任务和研究方法。本章还介绍了变形固体的基本概念和变形固体的基本假设，以及杆件在荷载作用下的变形形式。
1-1 〓材料力学的研究对象、任 务和研究方法
1 材料力学的研究对象
结构就是建筑物中承受力而起骨架作用的部分。结构是由单个的部件按照一定的规则组合而成的，组成结构的部件称为构件。
构件都是由固体形态的工程材料制成的，并具有一定的外部形状和几何尺寸。在使用的过程中，所有的构件都要受到相邻构件或其他物体的作用，也就是说要受到外力。
例如房屋的外墙壁要受到风的压力、建筑物要受到地震的冲击力、公路桥梁要受到过往车辆的压力等等，此外它们都还要受到自身重力的作用。
作用在建筑物或结构上的外力，及它们自身的重力通称为荷载。?
结构是由构件组成的，作用于结构上的荷载，也要由组成结构的构件来共同承担，因而构件是承受荷载的基本单元。材料力学的研究对象就是由工程材料制成的、在荷载作用下的构件。
2 材料力学的研究任务
在荷载的作用下，构件的几何形状和尺寸大小都要发生一定程度的改变，这种改变，在材料力学中称为变形。一般来讲，变形要随着荷载的增大而增大，当荷载达到某一数值时，构件会因为变形过大或被破坏而失去效用，通常简称为失效。避免构件在使用时的失效是材料力学的主要研究任务。
构件的失效形式通常有三种：
一是构件在使用中因承受的荷载过大而发生破坏，如起重吊车的绳索被拉断、建筑物的基础被压坏等；
二是构件的变形超出了工程上所允许的范围，如工业厂房中吊车的横梁或建筑物的房梁在受载时发生过大的弯曲等；
三是构件在荷载的作用下其几何形状无法保持原有的状态而失去平衡，通常也称为失稳，如细长的支柱在受压时突然变弯等。
构件本身对各种失效具有抵抗的能力，简称为抗力。
在材料力学中，把构件抵抗破坏的能力称为强度，构件抵抗变形的能力称为刚度。
构件抵抗失稳、维持原有平衡状态的能力称为稳定性。
研究表明：构件的强度、刚度和稳定性，与其本身的几何形状、尺寸大小、所用材料、荷载情况以及工作环境等都有着非常密切的关系。
在工程结构的设计过程中，必须根据荷载的情况对结构本身和组成结构的每一个构件进行力学分析。构件的力学分析，首先要保证的就是构件要有足够的强度、刚度和稳定性，以使构件能够安全工作而不至于发生失效。
一般说来，为构件选用较好的材料和较大的截面尺寸，上述的三项基本要求是可以满足的，但是这样又可能造成材料的浪费和结构的笨重。由此可见，结构的安全性与经济性之间是存在矛盾的。所以，如何合理地选用构件材料，恰当地确定构件的截面形状和几何尺寸，是构件设计中的一个十分重要的问题，也是材料力学所要完成的主要研究任务。
综合以上分析，可以把材料力学的主要研究任务归纳为：研究各种构件在荷载的作用下所表现出来的变形和破坏的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的理论基础和设计计算方法，从而为构件选择适当的材料、确定合理的形状和足够的尺寸，以保证建筑物或工程结构在满足安全、可靠、适用的前提下，符合最经济的要求。
3 材料力学的研究方法
材料力学采用的是实验—假设—理论分析—实验验证的研究方法。
?
1-2 〓变形固体及其基本假设
1.2.1 〓刚体与变形固体
理论力学研究的是物体的运动和平衡问题的一般规律。在理论力学的研究中，把物体都看作是刚体，即在外力的作用下，物体的大小和形状都绝对不变。用绝对刚体这个抽象的力学模型代替真实的物体，这是理论力学研究的特点之一。
材料力学所研究的是构件的强度、刚度和稳定性问题。在这类问题中，物体的变形虽然很小，但却是主要影响因素之一，必须要予以考虑而不能忽略。因而，在材料力学的研究中，把物体（构件）都看作是变形固体，即在外力的作用下都要发生变形——包括尺寸的改变和形状的改变。
1?2?2 〓变形固体的基本假设
1? 有关材料的三个基本假设
?（1） 连续性假设
假设构成变形固体的物质完全填满了固体所占的几何空间而毫无空隙存在。
事实上，构件的材料是由微粒或晶粒组成的，各微粒或晶粒之间是有空隙的，是不可能完全紧密的，但这种空隙和构件的尺寸比起来极为微小，因而可以假设是紧密而毫无空隙存在。以这个假设为依据，在进行理论分析时，与构件性质相关的物理量可以用连续函数来表示，所得出的结论与实际情况不会有显著的误差。
（2） 均匀性假设
? 假设构件中各点处的力学性能是完全相同的。
事实上，组成构件材料的各个微粒或晶粒，彼此的性质不一定完全相同。但是构件的尺寸远远大于微粒或晶粒的尺寸，构件所包含的微粒或晶粒的数目极多，按照统计学的观点，材料的性质与其所在的位置无关，即材料是均匀的。
按照这个假设，在进行分析时，就不必要考虑材料各点处客观上存在的不同晶格结构和缺陷等引起的力学性能上的差异，而可以从构件内任何位置取出一小部分来研究，其结果均可代表整个物体。?
（3） 各向同性假设
? 假设构件中的一点在各个方向上的力学性能是相同的。事实上，组成构件材料的各个晶粒是各向异性的。
但由于构件中所含晶粒的数目极多，在构件中的排列又是极不规则的，因而，可以认为某些材料是各向同性的，如金属材料。根据这个假设，当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其他方向。
以上三个假设对金属材料相当吻合，对砖、石、混凝土等材料的吻合性稍差，但仍可近似地采用。木材可以认为是均匀连续的材料，但木材的顺纹和横纹两个方向的力学性能不同，是具有方向性的材料。实践表明，材料力学的研究结果也可以近似的用于木材。
根据上述三个假设，可以从构件中任何位置、沿任何方向取出任意微小的部分，采用微分和积分等数学方法对构件进行受力、变形和破坏的分析。
2? 有关变形的两个基本假设
?（1） 小变形假设
假设变形量远小于构件的几何尺寸。这样，在研究构件的平衡和运动规律时仍可以直接利用构件的原始尺寸而忽略变形的影响。在研究和计算变形时，变形的高次幂也可忽略，从而使计算得到简化。?
当构件受到多个荷载共同作用时，根据小变形假设，可以认为各荷载的作用及作用的效应是相互独立、互不干扰的。因此，只要某个欲求量值与外力之间存在着线性关系，就可以利用叠加原理来进行分析。
（2） 线弹性假设
? 固体材料在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形。外力卸去后能完全消失的变形称为弹性变形；外力卸去后不能完全消失而永久保留下来的变形称为塑性变形。在材料力学中，假设外力的大小没有超过一定的限度，构件只产生了弹性变形，并且外力与变形之间符合线性关系，能够直接利用胡克定律。
1-3 〓杆件变形的形式
工程实际中构件的几何形状是多种多样的，根据几何形状和尺寸的不同，通常可分为杆件、板壳和块体。材料力学的主要研究对象是工程实际中应用得最为广泛的构件——杆件。
所谓杆件是指横向尺寸远小于纵向尺寸的构件。杆件的形状和尺寸是由其轴线和横截面来决定的，轴线和横截面之间存在着一定的关系：轴线通过横截面的形心，横截面与轴线相正交。根据轴线和横截面的特征，杆件可以分为直杆和曲杆、等截面杆和变截面杆等。
材料力学研究的杆件主要是等截面的直杆，简称等直杆。它是杆件中最简单也是最常用的一种，其计算理论可近似用于曲率不大的曲杆和截面变化不剧烈的变截面杆。
? 杆件在不同的荷载的作用下，会产生不同的变形。根据荷载本身的性质及荷载作用的位置不同，变形可以分为轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。
1?3?1〓基本变形
1? 轴向拉伸和压缩
如果在直杆的两端各受到一个外力F的作用，且两者的大小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，那么杆的变形主要是沿轴线方向的伸长和缩短。
当外力F的方向沿杆件截面的外法线方向时，杆件因受拉而变长，这种变形称为轴向拉伸；当外力F的方向沿杆件截面的内法线方向时，杆件因受压而变短，这种变形称为轴向压缩，分别如图1-1（a）、（b）所示。
图1-1
2? 剪切
? 如果直杆上受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的外力沿垂直于杆轴线方向作用时，杆件的横截面将沿外力的方向发生相对错动，这种变形称为剪切，如图1-2所示。
图1-2
3? 扭转
如果在直杆的两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直，那么杆件的横截面将绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转，如图1-3所示。
图1-3
4． 弯曲
? 如果直杆在两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面都与包含杆轴的某一纵向平面重合，或者是受到位于纵向平面内且垂直于杆轴线的外力F作用时，杆件的轴线就要变弯，这种变形称为弯曲，如图1-4（a）、（b）所示。
图1-4（a）所示为纯弯曲，图1-4（b）所示为横力弯曲。
图1-4
1?3?2〓组合变形
? 在工程实际中杆件的变形，可能只是某一种基本变形，也可能是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。常见的组合变形形式有：斜弯曲（或称双向弯曲）、拉（压）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合等等，如图1-5（a）、（b）、（c）所示。
图1-5
第二章〓轴向拉伸和压缩
本章介绍杆件在轴向拉（压）时的内力、应力和变形，轴向拉（压）杆的强度计算，拉压超静定问题以及连接件的强度计算。
2?1〓工程实例和计算简图
在工程中，经常会遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例如桁架中的杆件［图2-1（a）］、斜拉桥中的拉索［图2-1（b）］以及闸门启闭机中的螺杆［图2-1（c）］等。
?
图2-1
图2-1承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉（压）杆。实际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若将它们加以简化，则都可抽象成如图2-2所示的计算简图。其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。
图2-2
2?2〓内力〓截面法〓轴力图
2?2?1〓内力的概念
材料力学中所讨论的内力，指的是因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的“附加内力”，简称为内力。
内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题是密切相关的。
2?2?2〓截面法
截面法是求构件内力的基本方法。下面通过求解图2-3（a）所示拉杆m-m横截面上的内力来具体阐明截面法。
为了显示内力，假想地沿横截面m-m将杆截开成两段，任取其中一段，例如取左段，作为研究对象。左段上除受到力F的作用外，还受到右段对它的作用力，此即横截面m-m上的内力如图2-3（b）所示。根据均匀连续性假设，横截面m-m上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力（力或力偶）。
图2-3
现要求的内力就是图2-3（b）中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出平衡方程
??∑X＝0 FN -F＝0??
得 ? FN ＝F??
这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求解内力的方法称为截面法。
用截面法求构件内力可分为以下三个步骤：
1）截开 沿需要求内力的截面，假想地将构件截开成两部分。
?2）代替 取截开后的任一部分作为研究对象，并把弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力代替。
?3）平衡 列出研究对象的静力平衡方程，解出需求的内力。
2?2?3〓轴力和轴力图
图2-3（a）所示拉杆横截面m-m上的内力FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。
若取右段为研究对象，同样可求得轴力FN ＝F［图2-3（c）］，但其方向与用左段求出的轴力方向相反。?
轴力的正负号规定如下：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指向相反，轴力为压力。?
为了表明轴力随横截面位置的变化规律，以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图，也称FN图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。
【例2-1】拉压杆如图2-4（a）所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并绘制轴力图。
?【解】1） 求支座反力。由杆AD［图2-4（a）］的平衡方程
?? ∑X＝0 FD-2kN-3kN＋6kN＝0??
得
?? FD＝-1kN???
图2-4
2） 求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力。取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN1［图2-4（b）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN1-2kN＝0??
得 ??FN1＝2kN???
算得的结果为正，表明FN1为拉力。当然也可以取右段为研究对象来求轴力FN2，但右段上包含的外力较多，不如取左段简便。
再沿横截面2-2假想地将杆截开，仍取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN2［图2-4（c）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN2 -2kN-3kN＝0??
得
?? FN2 ＝5kN???
同理，沿横截面3-3将杆截开，取右段为研究对象可得轴力FN3［图2-4（d）］为
FN3 ＝FD＝-1kN???
算得的结果为负，表明FN3为压力。
3） 根据各段FN值绘出轴力图，如图2-4（e）所示。由图可知，BC段各横截面上的轴力最大，最大轴力FNmax=5kN。以后我们称内力较大的截面为危险截面，例如本题中BC段各横截面。
轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。
2-3〓拉压杆的应力
2?3?1〓应力的概念
轴力是拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况，单凭轴力的大小还不能判断杆件在外力作用下是否发生破坏。例如，相等的内力分布在较大的面积上时，比较安全；分布在较小的面积上时，就比较危险。
因此，为了解决强度问题，还必须研究截面上各点处内力的分布规律，即用截面上各点处的内力的大小和方向来表明内力作用在该点处的强弱程度。为此，引入应力的概念。
在构件的截面上，围绕任意一点取微小面积ΔA［图2-5（a）］，设ΔA上微内力的合力为ΔF。
ΔF与ΔA的比值pm=ΔF/ΔA?称为ΔA上的平均应力。而将极限值
???p=lim pm
ΔA→0
=limΔF/ΔA =dF/dA （2-1）
ΔA→0
称为M点处的应力。
图2-5
应力p是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常把它分解为两个分量，如图2-5（b）所示。垂直于截面的法向分量σ，称为正应力；相切于截面的切向分量τ，称为切应力。
应力的单位是Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程中，常采用Pa的倍数单位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕），其关系为
?1kPa=1×103Pa
1MPa=1×106Pa
1GPa=1×109Pa
因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力σ。由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计算正应力σ，必须知道σ在截面上的分布规律。
2?3?2〓拉压杆横截面上的正应力
在图2-6（a）所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线ab和cd。拉伸后可观察到横向线ab、cd分别平行移到了a′b′、c′d′位置，但仍为直线，且仍然垂直于杆轴［图2-6（b）］。根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是平面假设。
图2-6
设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即σ等于常量［图2-6（c）］。这个结论对于压杆也是成立的。
因为σ为常量，所以轴力FN等于正应力σ与横截面面积A的乘积，即
FN＝σA?? 或
σ＝FN/A （2-2）??
这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式。正应力σ的符号和轴力FN的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。
?
必须指出，作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略，这就是圣维南原理。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用式（2-2）计算应力。
【例2-2】图2-7（a）为一悬臂吊车的简图，斜杆BC的横截面面积A＝500mm2，荷载F＝25kN。求当F移至D点时，斜杆横截面上的正应力。
图2-7
【解】悬臂吊车的计算简图如图2-7（b）所示。为了求出斜杆BC的轴向外力FBC，取横梁AD为研究对象［图2-7（c）］，列出平衡方程
??∑MA＝0 FBCsin45·AB-F·AD＝0??
得
?FBC ＝F·AD/（sin45°·AB）
＝（25kN×3m）/（0.707×1.5m）
＝70.7?kN???
斜杆的轴力为
?? FN＝FBC＝70.7?kN???
由式（2-2），斜杆横截面上的正应力为
?? σ＝FN/A＝70.7×103N/500×10-6m2
＝142×106Pa＝142MPa???
在对拉压杆进行强度计算时，需要知道杆的各横截面上正应力的最大值，称为杆的最大正应力。由式（2-2）可知，如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下，应加以比较后确定。
【例2-3】一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）如图2-8（a）所示，F＝50kN。求砖柱的最大正应力。
【解】用截面法求得上、下两段横截面上的轴力分别为
??FN1＝-50?kN?，FN2＝-150?kN???
因为上、下两段横截面的面积也不相同，所以必须算出各段横截面上的应力，加以比较后才能确定柱的最大正应力。
图2-8
由式（2-2），得
σAB＝FN1/AAB=-50×103N/2402×10-6m2
＝-0.87×106Pa＝-0.87?MPa
σBC＝FN2/ABC＝-150×103N/3702×10-6m2
＝-1.1×106Pa＝-1.1?MPa?
可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为
?σmax＝1.1?MPa?（压）??
我们称应力较大的点为危险点。
以图2-9（a）所示拉杆为例，应用截面法，假想沿斜截面k-k将杆截开，取左段为研究对象［图2-9（b）］，列出平衡方程?
∑X＝0
可得斜截面k-k上的内力为
FNα＝F??
2?3?3〓拉压杆斜截面上的应力
图2-9
仿照横截面上正应力均匀分布的推理过程，也可推断斜截面k-k上的应力pα是均匀分布且与杆轴平行，设斜截面的面积为Aα，则有
??FNα＝ pαAα??
或
? pα＝FNα/Aα （a）??
设斜截面k-k的外法线n与杆轴的夹角为α，则横截面面积A＝Aαcosα，代入式（a），得
??pα＝FNα/Aα=F/（A/cosα）
＝σcosα （b）
式中：σ＝F/A——横截面上的正应力。
?pα称为斜截面上的全应力，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量：正应力σα和切应力τα 图2-9（c）。它们分别为
?? σα=pαcosα=σcos2α
τα=pαsinα=σcosαsinα=（σ/2）sin2α （2-3）??
这就是拉压杆斜截面上应力的计算公式。
由式（2-3）可知，在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存在正应力σα和切应力τα，其值随α角作周期性变化。当α＝0°时，σα＝σ，它是σα中的最大值，即杆内任一点处的最大正应发生在杆的横截面上；当α＝45°时，τα＝σ/2，它是τα中的最大值，即杆内任一点处的最大切应力发生在45°斜截面上，其值等于该点处最大正应力的一半。
在利用式（2-3）计算斜截面上的应力时，必须注意式中各量的正负号规定：正应力σα仍以拉应力为正，压应力为负；切应力τα以其对研究对象内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；角度α自杆轴量至斜截面的外法线，以逆时针转向为正，反之为负。图2-10（a）所示各量均为正值，而图2-10（b）所示各量均为负值。
【例2-4】图2-11（a）所示拉杆的横截面面积A＝100mm2，轴向拉力F＝10kN。试分别计算α＝30°和α＝-30°斜截面上的正应力和切应力。
【解】拉杆横截面上的正应力为
??σ＝FN/A＝F/A＝10×103N/100×10-6m2
＝100×106Pa ＝100MPa
图2-11
?? 利用式（2-3），α＝30°斜截面［图2-11（a）中的斜截面1-1］上的正应力和切应力分别为
σ30°＝σcos230＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ30° ＝（σ/2）sin（2×30）＝100/2MPa×31/2/2＝43.2MPa?
α＝-30°斜截面［图2-11(a)中的斜截面2-2 ］上的正应力和切应力分别为
?σ-30°＝σcos2（-30）＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ-30°＝（σ/2）sin2×（-30）＝100/2MPa×（-（31/2）/2）＝-43.2MPa?将上面求得的应力分别表示在它们所作用的截面上，如图2-11（b）、（c）所示。
2?4〓拉压杆的变形
杆件在轴向拉伸和压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；与此同时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大，称为横向变形［图2-12（a）、（b）］。
图2-12
? 设图2-12所示拉、压杆的原长为l，在轴向外力F的作用下，长度变为l1，杆的变形为
???Δl＝l1-l （a）??
Δl即为杆的纵向变形。对于拉杆，Δl为正值，表示纵向伸长（图2-12（a））；对于压杆，Δl为负值，表示纵向缩短（图2-12（b））。
?
2?4?1〓纵向变形
纵向变形Δl只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。根据平面假设，杆的各段都是均匀变形的，单位长度的纵向变形为
??ε＝Δl/l（2-4）??
式中，ε称为纵向线应变。显然，拉伸时ε＞0，称为拉应变；压缩时ε＜0，称为压应变。ε是一个量纲为1的量。
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
???Δl∝Fl/A??
引进比例常数E，则有
???Δl＝Fl/EA??
由于横截面上的轴力FN＝F，故上式可改写为
???Δl＝FNl/EA（2-5）??
上式称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。 E的数值可由实验测定。E的单位与应力的单位相同。
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为
?? σ＝Eε （2-6）??
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力与线应变成正比。
?设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1，则其横向变形Δd为
???Δd＝d1-d （b）??
横向线应变ε′为
??ε′＝Δd/d （2-7）??
对于拉杆，Δd与ε′都为负；对于压杆，Δd与ε′都为正。
2?4?2〓横向变形
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用ν表示，即
??ν＝|ε′/ε| （c）
ν是一个量纲为1的量，其数值随材料而异。弹性模量E和泊松比ν是材料固有的两个弹性常数。
?
考虑到ε′与ε的正负号恒相反，由式（c）和式（2-6）可得
??ε′＝-νε＝-νσ/E（2-8）
利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。
【例2-5】一木方柱（图2-13）受轴向荷载作用，横截面边长a＝200mm，材料的弹性模量E＝10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。
??
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为
?? FNBC＝-100?kN? FNAB＝-260?kN?
各段柱的纵向变形为
?? ΔlBC＝FNBC/EA
＝ -100×103N×2m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
? ΔlAB＝FNAB/EA＝ -260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.975×10-3m＝-0.975mm???
各段柱的纵向线应变为
? εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝-2.5×10-4?
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4
全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
?Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475?mm
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为
??FN（x）＝F＋γAx??
微段dx如图2-14（c）所示。
略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
??? d（Δl）＝FN（x）dx/EA??
图2-14
积分得全杆的变形即B端的位移为
??ΔB＝Δl＝∫10d（Δl）＝∫10（FN（x）dx/EA）
＝∫10（F+γAx/EA）dx=（Fl/EA）+（W/2）l/EA
式中：W＝γAl——杆的自重。由此可知，等直杆由自重引起的变形，等于将杆重的一半作用于杆端所引起的变形。
【例2-7】一直径d＝10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0021mm，设材料的弹性模量E＝210GPa，泊松比ν＝0.3，求轴向拉力F。
【解】由于已知杆的直径缩小量，故先求出杆的横向线应变为
??ε′＝-Δd/d=-0.0021mm/10mm＝-2.1×10-4??
由式（2-8），杆的纵向线应变为
?? ε＝-ε′/ν＝7×10-4???
根据胡克定律可得横截面上的正应力为
?? σ＝Eε＝210×109Pa×7×10-4＝147×106Pa＝147MPa??
? 故 F＝σA＝147×106Pa×π/4× （0.01m）2＝11.54×103N＝11.54kN??
2-5〓材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。
本节低碳钢（含碳量＜0.25％）和铸铁两类材料为例，介绍材料在常温、静载（指从零缓慢地增加到标定值的荷载）下拉压时的力学性能。
1? 低碳钢在拉伸时的力学性能
为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件如图2-15所示，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。
?
2?5?1〓材料在拉伸时的力学性能
图2-15
试验时将试件的两端装在试验机的夹头中，缓慢平稳地加载直至拉断。通过试验，可以看到随着拉力F的逐渐增加，试件的伸长量Δl也在增加。如取一直角坐标系，横坐标表示变形Δl，纵坐标表示拉力F，则在试验机的自动绘图装置上可以画出Δl与F之间的关系曲线，这条曲线称为拉伸曲线.图2-16为Q235钢的拉伸曲线。
图2-16
为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性能，将拉力F除以试件的原横截面面积A0，得到应力σ=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量Δl除以标距的原有长度l0，得到应变ε=Δl/l0作为横坐标，这样就得到一条应力σ与应变ε之间的关系曲线（图2-17），称为应力-应变曲线或σ-ε曲线。
图2-17
（1） 低碳钢拉伸过程的四个阶段
? 根据应力-应变曲线，低碳钢的拉伸过程可分为以下四个阶段：
?
1) 弹性阶段。
? σ-ε曲线上OB段为弹性阶段。在此阶段内，如果卸除荷载，则变形能够完全消失，即发生的是弹性变形，故称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高值称为弹性极限，用σ-e?表示，即B点处的应力值。
在此阶段内，除AB这一小段外，OA段为直线，应力与应变成线性关系，材料服从胡克定律，因此图中直线OA的斜率即为材料的弹性模量E，即E=tanα。在σ-ε曲线上对应于点А的应力，表示应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限，用σ-p表示。Q235钢的比例极限σ-p?=200MPa。由于比例极限与弹性极限非常接近，常将两者视为相等。
2) 屈服阶段。
? BC段称为屈服阶段，此阶段σ-ε曲线沿着锯齿形上下摆动，应力基本保持不变而应变却急剧增加，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段中，对应于曲线最高点与最低点的应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。下屈服极限值较稳定，故一般将其作为材料的屈服极限，用σ-s表示。
如果试件表面经过磨光，屈服时试件表面会出现一些与试件轴线成45°的条纹（图2-18）称为滑移线，这是由于材料内部晶格之间产生相对滑移而形成的。
? 材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此屈服极限σ-s是衡量材料强度的重要指标。
图2-18
3) 强化阶段。
屈服阶段以后的CD段，σ-ε曲线又开始逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续发生变形必须增加外力，这种现象称为材料的强化。这一阶段称为强化阶段。强化阶段曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限或抗拉强度，用σ-b表示，Q235钢的强度极限σ-b=400MPa。
4) 颈缩阶段。
在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。当应力达到强度极限σ-b后，试件的变形开始集中于某一局部区域内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象（图2-19）。由于局部截面的收缩，试件继续变形所需拉力逐渐减小，直至在曲线的E点，试件被拉断。故DE段称为颈缩阶段。
图2-19
试件拉断后，弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变（O3O）永远残留（图2-17）。试件工作段的长度由l0伸长到l，断口处的横截面面积由原来的A0缩减到现在的A。通常用它们的相对残余变形来衡量材料的塑性性能。工程中反映材料塑性性能的两个指标分别为
? 延伸率δ=(l-l0)/l0×100%?（2-9）
断面收缩率ψ=(A0-A)/A0×100% （2-10）
Q235钢的延伸率δ=20%～30%，断面收缩率ψ=60%～70％。
工程中常把δ>5％的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把δ<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。
（2） 冷作硬化
? 在拉伸试验过程中，当应力达到强化阶段任一点G时，逐渐卸除荷载，则应力与应变之间的关系将沿着与OA近乎平行的直线O1G回到O1点，如图2-20所示。O1O2这部分弹性应变消失，而OO1这部分塑性应变则永远残留。如果卸载后重新加载，则应力与应变曲线将大致沿着O1GDE的曲线变化，直至断裂。
?
图2-20
由此可以看出，重新加载后材料的比例极限提高了，而断裂后的塑性应变减少了OO1。这种在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载再重新加载时，比例极限σ-p提高而塑性变形降低的现象称为材料的冷作硬化。
在实际工程中常利用冷作硬化提高材料的强度。例如冷拉后的钢筋比例极限提高了，可以节约钢材的用量，降低结构造价。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些时候则要避免或设法消除冷作硬化。
2? 其他塑性材料在拉伸时的力学性能
图2-21给出了几种塑性材料的σ-ε曲线。可以看出，除了16Mn钢与低碳钢的σ-ε曲线比较相似外，一些材料（如铝合金）没有明显的屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶段则都比较明显；另外一些材料（如MnV钢）则只有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。
图2-21
对于没有屈服阶段的塑性材料，国家标准规定以产生0.2％塑性应变时的应力值作为材料的名义屈服极限，用σ0.2表示（图2-22）。
图2-22
3? 铸铁等脆性材料在拉伸时的力学性能
? 灰铸铁（简称铸铁）是工程中广泛应用的一种材料。将铸铁标准拉伸试件，按低碳钢拉伸试验同样的方法进行试验，得到铸铁拉伸时的应力-应变曲线如图2-23所示。由应力-应变曲线可以看出，它没有明显的直线段，应力与应变不成正比关系。
图2-23
在工程计算中通常以产生0.1%的总应变所对应的曲线的割线斜率来表示材料的弹性模量，E=tanα。铸铁在拉伸过程中，没有屈服阶段，也没有颈缩现象。拉断时应变很小，约为0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。拉断时的应力称为强度极限或抗拉强度，用σ-b表示。强度极限σ-b是衡量脆性材料强度的唯一指标。
常用灰铸铁的抗拉强度很低，约为120～180MPa。由于铸铁等脆性材料拉伸的强度极限很低，因此不宜用于制作受拉构件。
1? 塑性材料在压缩时的力学性能
金属材料的压缩试件一般采用圆柱形的短试件，试件高度与截面直径的比值为1.5～3。
低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图2-24所示，同时在图2-24中用虚线表示拉伸时的应力-应变曲线。
2?5?2〓材料在压缩时的力学性能
由图可以看出，在屈服阶段以前，低碳钢拉伸与压缩的应力-应变曲线基本重合。因此，低碳钢压缩时的弹性模量Ε、屈服极限σ-s都与拉伸试验的结果基本相同。
图2-24
在屈服阶段后，试件出现了显著的塑性变形，越压越扁，由于上下压板与试件之间的摩擦力约束了试件两端的横向变形，试件被压成鼓形，如图2-24所示。由于横截面不断增大，要继续产生压缩变形，就要进一步增加压力，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲线呈上翘趋势。由此可见，低碳钢压缩时的一些性能指标，可通过拉伸试验测出，而不必再作压缩试验。
一般塑性材料都存在上述情况。但有些塑性材料压缩与拉伸时的屈服极限不同。如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还要测定其压缩时的屈服极限。
2? 脆性材料在压缩时的力学性能
图2-25所示为铸铁压缩时的应力-应变曲线（图中也大致画出了拉伸时的应力－应变曲线）。铸铁拉、压时的应力-应变曲线都没有明显的屈服阶段。但压缩时塑性变形较明显。
铸铁的抗压强度σ-c远大于抗拉强度σ-b，大约为抗拉强度的4～5倍。破坏时不同于拉伸时沿横截面，而是沿与轴线约成45°～55°的斜截面破坏（图2-26），这说明铸铁的压缩破坏是由于超过了材料的抗剪能力而造成的。
图2-25 图2-26
混凝土是由水泥、石子、沙子三种材料用水拌和经过凝固硬化后而成的人工石料。图2- 27为混凝土拉、压时的σ-ε曲线，由图可知混凝土的抗压强度为抗拉强度的10倍左右。
图2- 27
混凝土压缩时，破坏形式与端部摩擦有关。图2-28（a）是立方体试块端部未加润滑剂时的破坏情况。由于两端未加润滑剂，压板与混凝土之间的摩擦力约束了试件两端的变形，因此试件破坏时先自中间部分开始四面向外逐渐剥落形成X状。
图2-28（b）则由于加润滑剂后两端摩擦约束力较小，因此沿纵向裂开。两种破坏形式所对应的抗压强度不同，后者破坏荷载较小。工程中统一规定采用两端不加润滑剂的试验结果，来确定材料的抗压强度。
由于铸铁、混凝土等脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，宜用于制作承压构件。如底座、桥墩、基础等。
图2-28
1? 强度——极限应力
通过拉压试验，可以测出反映材料强度的两个性能指标，即σs和σb。对低碳钢等塑性材料，当应力达到屈服极限σs（σ0.2）时，会产生显著的塑性变形，影响构件正常工作；而对铸铁等脆性材料，当应力达到抗拉强度σb或抗压强度σc时，会发生断裂，丧失工作能力。?
2?5?3〓材料在拉压时力学性能的主要参数
工程中将塑性材料的屈服极限σs（σ0.2）和脆性材料的抗拉强度σb（抗压强度σc）统称为极限应力，用σ0表示，即
? 塑性材料： σ0=σs或σ0=σ0.2?
? 脆性材料： σ0=σb和σ0=σc
2? 塑性——延伸率δ和断面收缩率ψ
? 通过拉压试验，可以测出反映材料塑性性能的两个指标，即δ和ψ。我们知道δ>5%的材料为塑性材料，δ<5%的材料为脆性材料。Q235钢的延伸率δ=20%～30%，是典型的塑性材料。而铸铁的延伸率δ=0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。?
塑性材料和脆性材料的力学性能主要有以下区别：
? 1） 塑性材料的延伸率大，塑性好；脆性材料的延伸率小，塑性差。塑性材料适宜制作需进行锻压、冷拉或受冲击荷载、动力荷载的构件。而脆性材料则不宜。
2） 塑性材料在屈服阶段前抗拉压能力基本相同，使用范围广。受拉构件一般采用塑性材料；脆性材料抗压能力远大于抗拉能力，且价格低廉又便于就地取材，所以适宜制作受压构件。
必须指出，材料的上述划分是以常温、静载和简单拉伸的前提下所得到的δ为依据的，而温度，变形速度，受力状态和热处理等都会影响材料的性质，材料的塑料和脆性在一定条件下可以相互转化。
3? 弹性——E、ν、G
通过拉压实验，可以测出反映材料弹性性能的指标：弹性模量E，泊松比ν，以后还会遇到切变模量G。对线弹性材料，三个弹性常数之间有如下的关系：
??G=E/2（1+ν） （2-11）
? 构件工作时构件内的最大应力称为最大工作应力。由拉压试验知，当构件内的最大工作应力达到极限应力σ0时就会发生断裂破坏或丧失工作能力。这在工程中是不允许的。要使构件能安全正常地工作，要求构件内最大工作应力小于极限应力σ0。也就是要求塑性材料的最大工作应力小于屈服极限σs（或σ0.2），脆性材料的最大工作应力小于强度极限σb（或σc）。?
2?5?4〓安全因数、许用应力
因此还必须要考虑到以下几个方面的因素：
1） 计算简图与实际结构之间存在着差异。计算简图不能精确反映实际结构的工作情况，计算公式和结果是近似的。
?
2） 材料的不均匀性。由少量材料制作试件而测定的力学性能并不能完全真实地反映构件所用材料的力学性能。
? 3） 荷载值的偏差。设计时荷载的估计和计算不精确，不能完全反映结构的实际受力情况。
4） 构件需要有必要的强度储备。构件在工作期间应保证在遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件（如温度变化、腐蚀），以及施工质量问题，地震作用和国防上的需要时也不致发生破坏。在意外因素相同的情况下，对因破坏造成严重后果的构件或工作条件恶劣的构件，强度储备要大一些，反之则可小些 。
因此，为了保证构件能安全正常地工作，必须将构件的工作应力限制在比极限应力σ0更低的范围内，即将材料的极限应力打一个折扣，除以一个大于1的因数n以后，作为构件最大工作应力所不允许超过的数值，这个应力值称为许用应力，用［σ］表示，即
??［σ］=σ0/n （2-12）
对于塑性材料
［σ］=σs/ns或［σ］=σ0.2/ns?（2-13）
对于脆性材料
［σ］=σb/nb或［σ］=σc/nb? （2-14）
式中：ns、nb——塑性材料和脆性材料的安全因数。一般nb>ns。
安全因数的选取关系到构件的安全与经济，安全因数取得过大，使构件粗大笨重，浪费材料；取得过小，构件又不安全。因此安全因数的选取原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全因数来提高许用应力。
安全因数的确定是一件复杂的工作，一般情况下，在工业的各个部门都指定有自己的安全因数规范供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取ns=1.4～1.7，对脆性材料一般取nb=2.5～5。
2?6〓拉压杆的强度计算
由上一节知，要保证拉压杆不致因强度不足而破坏，应使杆的最大正应力σmax不超过材料的许用应力［σ］，即
??σmax≤［σ］ （2-15）??
这就是拉压杆的强度条件。对于等直杆，由于σmax＝FNmax/A，所以强度条件可写为
??σmax＝FNmax/A≤［σ］ （2-16）
根据强度条件，可以解决工程中三种不同类型的强度计算问题：
1） 强度校核。 已知杆的材料、尺寸和承受的荷载（［σ］、A和FNmax），要求校核杆的强度是否足够。此时只要检查式（2-16）是否成立。
2） 设计截面尺寸。 已知杆的材料、承受的荷载（［σ］、 FNmax ），要求确定横截面面积或尺寸。为此，将式（2-16）改写为
?? A≥FNmax/［σ］ （a）??
据此可算出必须的横截面面积。根据已知的横截面形状，再确定横截面尺寸。
当采用工程中规定的标准截面时，可能会遇到为了满足强度条件而需选用过大截面的情况。为经济起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在5%以内，即
（σmax-［σ］）/［σ］×100%＜5（b）
3） 确定许用荷载。 已知杆的材料和尺寸（［σ］和A），要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，将式（2-16）改写为
??FNmax≤A［σ］ （c）??
先计算出杆所能承受的最大轴力，再由荷载与轴力的关系，计算出杆所能承受的最大荷载。
【例2-8】如图2-29（a）所示三铰屋架的拉杆采用16锰圆钢，直径d=20mm。已知材料的许用应力［σ］=200MPa，试校核钢拉杆的强度。
【解】三铰屋架的计算简图如图2-29（b）所示。
? 1） 求支座反力。取整个屋架为研究对象［图2-29（b）］，利用对称性，得
? FA＝FB＝1/2×20m×q
＝1/2×20m×4kN/m＝40kN???
图2-29
2） 求拉杆的轴力。取半个屋架为研究对象［图2-29（c）］，由平衡方程
??∑MC＝0
3.5m×FN＋10m×q×10/2m-10m×FA＝0得
FN＝1/3.5m×（10m×FA-10m×q×5m）
＝1/3.5m×（10m×40kN-10m×4kN/m×5m）＝57.1?kN??
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，故杆的最大正应力为
?σmax = FN/A=FN/（π/4d2）
=57.1×103N/（π/4×202×10-6）m2
= 182×106Pa = 182MPa?
4） 校核拉杆的强度。因为
?σmax = 182MPa＜［σ］ = 200MPa???所以钢拉杆的强度是足够的。
【例2-9】图2-30（a）所示钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。已知角钢的材料为Q235钢，其许用应力［σ］＝170MPa，试为杆EH选择所需角钢的型号。
【解】1） 求支座反力。取整个桁架为研究对象［图2-30（a）］，由对称性，得
FA＝FB＝F＝220?kN???
图2-30
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得
FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
?A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
4） 选择等边角钢的型号。型钢是常用的标准截面。等边角钢是型钢的一种。它的型号用边长的厘米数表示，在设计图上则常用毫米数来表示。由型钢规格表查得，厚度为6mm的7.5号等边角钢的横截面面积为879.7mm2，用两个这样的等边角钢组成的杆的横截面面积为879.7mm2×2＝1759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，选75×6。
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa?；BC为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］＝10?MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象［图2-31（b）］，
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0??得
FN2＝F/sin30°=2F（压）
∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0?得
FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
?2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝31/2F ≤A1［σ］??
所以对于AB杆，许用荷载为
F≤A1［σ］/31/2 =400×10-6m2×170×106Pa/31/2＝39 300N＝39.3kN
同样，对于BC杆，许用轴力为 FN2＝2F≤A2［σc］许用荷载为
??F≤A2［σc］/2=10 000×10-6m2×10×106Pa/2 ＝50 000N＝50kN?为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为 Fmax＝39.3?kN??
【例2-11】图2-32（a）表示一等直杆，其顶部受轴向荷载F的作用。已知杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为γ，许用应力为［σ］，试写出考虑杆自重时的强度条件。
【解】杆的自重可看作沿轴线均匀分布的荷载［图2-32（a）］。应用截面法［图2-32（b）］，杆的任一横截面m-m上的轴力为
??FN(x)＝-（F＋γAx）??
负号表示轴力为压力。
图2-32
由此作出杆的轴力图如图2-32（c）所示。根部横截面上的轴力最大，其值为
??FNmax＝F＋γAl（压）??
由式(2-16)，杆的强度条件为
??σmax＝FNmax/A＝F/A＋γl≤［σ］??
或
??F/A≤［σ］-γl??
当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了γl。若γl/［σ］<<1，则自重对杆的影响可以忽略；若γl/［σ］有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。例如，有一长l＝10m的等直钢杆，钢的容重γ＝76 .440N/m3，许用应力［σ］＝170MPa，则γl/［σ］＝0.45%<<1；若有同样长度的砖柱，砖的容重γ＝17.640N/m3，许用应力［σ］＝1.2MPa?，而γl/［σ］＝15%。
一般地，金属材料制成的拉压杆在强度计算中可以不考虑自重的影响（有些很长的杆件，如起重机的吊缆、钻探机的钻杆等除外）；但对砖、石、混凝土制成的柱（压杆）在强度计算中应该考虑自重的影响。
当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上的正应力σmax来设计截面，把杆制成等直杆，那么只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力［σ］，其他横截面上的应力都比［σ］小，显然造成了材料的浪费。
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33（b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
图2-33
2?7〓应力集中的概念
在工程中，常因实际需要而在杆件上开槽、钻孔、车削螺纹等，这就引起了杆件横截面尺寸的突然改变。实验和理论分析表明，在截面突变处附近，应力的数值急剧增加。这种由于截面尺寸突然改变而引起的局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
例如开有圆孔和带有切口的板条［图2-34（a）、（d）］，当其受拉时，在横跨圆孔或切口的截面上，靠近圆孔或切口的局部区域内，应力很大，而在离开这一区域稍远处，应力就小得多，且趋于均匀分布［图2-34（b）、（e）］。在离圆孔或切口稍远的截面上，应力是均匀分布的［图2-34（c）］。
图2-34
图2-34试验表明，截面尺寸改变得越急剧，孔越小、角越尖，局部出现的最大应力σmax就越大。通常用最大局部应力σmax与按削弱后的净面积An［图2-34（b）、（e）中画有阴影线的面积］算得的平均应力
??σm＝FN/An??
的比值α来表示应力集中的程度，即
??α＝σmax/σm （2-17）??
式中：α——应力集中因数。它是一个大于1的因数。
对于工程中各种典型的应力集中情况，如开孔、浅槽、螺纹等，其应力集中因数α可在有关的设计手册中查到，该值约在1.2～3之间。查出α后，利用式（2-17）算得最大局部应力σmax，即可进行强度计算。
应该指出，在静荷载作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料所产生的影响是不同的。塑性材料因具有屈服阶段，当应力集中处的最大应力σmax达到屈服极限σs时，仅此局部产生塑性变形，只有荷载继续加大，尚未屈服区域的应力才随之增加而相继达到σs。?
因此，像钢等塑性材料在静荷载作用下，可以不考虑应力集中的影响。脆性材料则不同，当应力集中处的最大应力σmax达到强度极限σb时，局部就出现裂纹，从而产生断裂。因而，像混凝土等脆性材料应考虑应力集中的影响。但在随时间作周期性变化的荷载或冲击荷载作用下，则不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中的影响都必须加以考虑。
应力集中对于杆件的工作是不利的。因此，在设计时应尽可能使杆的截面尺寸不发生突变，并使杆的外型平缓光滑，尽可能避免带尖角的孔、槽和划痕等，以降低应力集中的影响。
2?8〓拉压超静定问题
2?8?1 〓超静定的概念
图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35（c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35（d）］。
这些增加的约束对保证杆件或结构的平衡及几何形状不变来说并非是必要的，称之为多余约束。多余约束必然带来相应的未知约束力，称之为多余未知力。
图2-35
显然，此时杆件或结构需求的约束力和内力的个数已超过静力平衡方程的个数，故不能由静力平衡方程全部求出这些约束力和内力。这样的杆件或结构称为超静定杆件或超静定结构，这种问题称为超静定问题。我们把全部未知力的个数与独立静力平衡方程个数的差值，称为超静定次数。超静定次数也等于多余约束的个数。
超静定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未知量，但若再考虑构件的变形，超静定问题是可以解决的。
现以图2-36（a）所示等直杆AB为例，说明超静定问题的基本解法。由于作用于杆上的荷载F是轴向力，所以支座A、B处的反力FA、FB必定沿杆轴线，设它们的指向如图2-36（b）所示。F、FA、FB组成共线力系，对它只能列出一个独立的平衡方程，即
?? FA ＋FB-F＝0 （a）?
而未知力有两个，故为一次超静定问题。
2?8?2 〓超静定问题的基本解法
图2-36
应设法再建立一个补充方程，才能求解 。在所设FA、FB的指向下，杆的AC段受拉，BC段受压。考虑到杆的两端固定，杆的总变形应该等于零。因此，杆件上、下两段的变形就不是“自由”的，而是彼此相容和协调的，即AC段的伸长ΔlAC应等于BC段的缩短（绝对值）ΔlBC［图2-36（c）］
???ΔlAC＝ΔlBC? （b）?
这就是杆上、下两段变形的几何关系，也称为变形协调条件。
再利用力与变形的物理关系，即胡克定律，得
?ΔlAC＝FAa/EA, ?ΔlBC＝FBb/EA （c）??将式（c）代入式（b），即得补充方程为
??FAa/EA＝FBb/EA （d）??
联立求解式（a）和（d），得
??FA＝Fb/l， FB＝Fa/l??
结果均为正，说明FA、FB的指向与假设相同。
【例2-12】图2-37（a）所示结构中水平横梁AB设为刚性杆，其变形可以不计。1、2两杆拉压刚度分别为E1A1和E2A2，求在荷载F作用下，两杆的轴力。
【解】1） 列静力平衡方程。取横梁AB为研究对象，其受力如图2-37(b)所示。这是一个平面一般力系，可列出三个平衡方程，而未知力是四个，故是一次超静定问题。因我们只需要求两杆的轴力FN1和FN2，故只列出平衡方程 ∑MA＝0
FN1a＋2FN2a-3Fa＝0??
即 FN1＋2FN2-3F＝0 （a）
图2-37
2） 列补充方程。横梁AB是刚性杆，它在荷载F作用下仅倾斜了一个角度［图2-37（b）中虚线AB′］。由图可见，两杆的变形Δl1与Δl2的几何关系为 Δl1/Δl2＝a/2a? （ b）
即 ?Δl2=2Δl1?? 由胡克定律得
???Δl1=FN1l/E1A1, ?Δl2=FN2l/E2A2 （c）?将式（c）代入式（b），得补充方程为
??FN2/E2A2=2FN1/E1A1 （d）??
3） 计算两杆的轴力。联立求解式（a）与（d），得
??FN1=3F/1+4E2A2/E1A1 （拉）
FN2=6F/4+E1A1/E2A2（拉） （e）
从式（e）可以看出，超静定结构（杆）各部分的内力不仅与荷载有关，而且还与各部分的刚度之比有关，其本身的刚度越大，内力也越大；任一部分刚度的改变，都将引起所有部分内力的重新分配。在静定结构（杆）中，各部分的内力仅与荷载有关。这是超静定问题区别于静定问题的一个特点。
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
?1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
??∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0
∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a）??
可见这是一次超静定问题。
?2） 列补充方程。设杆3伸长了Δl3，杆1、2分别缩短了Δl1与Δl2。由对称性可知，Δl1＝Δl2。由图2-38（a），变形的几何关系为
???Δl3＋FN3l/cosα=δ??
将 Δl3＝FN3l/EA, Δl1＝（-FN1l/cosα）/EA??
代入上式，得补充方程为
??FN3l/EA+FN1l/EAcos2α＝δ （b）??
3） 计算三杆的轴力。联立求解式（a）与（b），得
??FN1＝FN2＝δEAcos2α/l（1+2cos3α）（压）
FN3＝2δEAcos3α/l（1+2cos3α）（拉）??
4） 计算三杆的应力。三杆的应力分别为
??σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α）
＝6.52×106?Pa＝6.52 MPa?（压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α）
＝11.3×106?Pa＝11.3 MPa?（拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配应力是在结构（杆）未受荷载作用之前产生的，故属于初应力。而对于静定问题，例如图2-38（c）所示结构，如果其中的AB杆制作得稍长了些，装配后只不过使三角形ABC稍有偏移，不会在两杆内引起应力。装配应力的存在，有时是不利的，应加以避免，但有时也可用它来达到一定的目的。例如土木工程中的预应力钢筋混凝土构件和机械制造中的紧配合等，都是有意识地利用装配应力的例子。
【例2-14】图2-39(a)所示两端固定的钢杆AB，长为l,横截面面积为A，材料的弹性模量E＝200GPa，线膨胀系数αl＝12.5×10-6 1／℃。求温度升高ΔT＝20℃时，杆的应力。
【解】1） 列静力平衡方程。当温度升高时，杆将伸长，但由于两端支座的阻挡，使杆不能自由伸长。这说明杆端支座产生了约束反力FA、FB［图2-39（a）］。由平衡方程得
??FA＝FB＝F （a）?? 这是一次超静定问题。
图2-39
?2） 列补充方程。如果没有B端的多余约束，杆因温度升高而引起的伸长变形为Δlt?［图2-39（b）］，杆在支座反力作用下产生的压缩变形为ΔlF［图2-39（c）］，由于杆被支座强制维持其原来的长度，所以变形的几何关系为
???Δlt＝ΔlF??
利用线膨胀定律和胡克定律，可得
???Δlt＝αlΔTl，ΔlF＝Fl/EA??
故补充方程为
??αlΔTl＝Fl/EA （b）??
3） 计算杆的应力。由式（b）得
??F＝αlΔTEA??
杆的应力为
??σ＝FN/A＝F/A＝αlΔTE＝50?MPa（压）??
在工程中，由于工作环境温度的改变或季节的变更等原因，杆件会处于温度变化的工作状态。对于静定问题，例如图2-39（b）所示杆，它可以自由伸缩，不会在杆内引起应力。而对于超静定问题，因存在多余约束，致使杆的变形受到限制，杆内将产生应力。这种由于温度变化而产生的应力称为温度应力，它也属于初应力。
工程中常采取一些措施来降低温度应力。例如，在两段钢轨间预留空隙，在混凝土路面及房屋建筑中设置伸缩缝，桥梁、桁架的一端采用活动铰支座等。
2?9〓连接件的实用计算
工程中的构件之间，往往采用铆钉、螺栓、销轴以及键等部件相互连接（图2-40）。 起连接作用的部件称为连接件。连接件在工作中主要承受剪切和挤压作用。由于连接件大多为粗短杆，应力和变形规律比较复杂，因此理论分析十分困难，通常采用实用计算法。
图2-40
? 现以铆钉为例［图2-41（a）］，介绍剪切的概念及其实用计算。当上、下两块钢板以大小相等、方向相反、作用线相距很近且垂直于铆钉轴线的两个力F作用于铆钉上时，铆钉将沿m-m截面发生相对错动，即剪切变形［图2-41（b）］。如力F过大，铆钉会被剪断。M-m截面称为剪切面。
2?9?1 〓剪切的实用计算
图2-41
应用截面法，将铆钉假想沿m-m截面切开，并取其中一部分为研究对象［图2-41(c)］，利用平衡方程求得剪切面上的剪力FS＝F。
在剪切的实用计算中，假定切应力在剪切面上均匀分布，因而有
??τ＝FS/AS? （2-18）??
式中：AS——剪切面面积；
FS——剪切面上的剪力。
???
剪切强度条件为
??τ＝FS/AS≤［τ］ （2-19）??
式中：［τ］——连接件的许用切应力。［τ］由剪切破坏试验确定。对于钢材，其许用切应力与许用拉应力之间大致有如下关系：
??［τ］＝（0.6～0.8）［σ］
图2-41(a)所示的铆钉在受剪切的同时，在钢板和铆钉的相互接触面上，还会出现局部受压现象，称为挤压。这种挤压作用有可能使接触处局部区域内的材料发生较大的塑性变形而破坏（图2-42）。连接件与被连接件的相互接触面，称为挤压面（图2-42）。挤压面上传递的压力称为挤压力，用Fbs表示。挤压面上的应力称为挤压应力，用σbs表示。
2?9?2 〓挤压的实用计算
图2-42
在挤压的实用计算中，假定挤压应力在挤压面的计算面积Abs上均匀分布，因而有
??σbs＝Fbs/Abs??（2-20）
挤压强度条件为
??σbs＝Fbs/Abs≤［σbs］ （2-21）??
式中：［σbs］——材料的挤压许用应力，由试验测定。对于钢材，其挤压许用应力［σbs］与许用拉应力［σ］之间大致有如下关系：
??［σbs］＝（1.7～2.0）［σ］??
图2-43
上两式中的挤压面计算面积Abs规定如下：当挤压面为平面时（如键连接），Abs即为该平面的面积；当挤压面为半圆柱面时（如铆钉、螺栓连接），Abs为挤压面在其直径平面上投影的面积［图2-43(b)中阴影线部分的面积］。这是由于这样算得的挤压应力值，与理论分析所得的最大挤压应力值相近［图2-43（a）］。
【例2-15】拖车挂钩用销轴连接［图2-44（a）］。销轴材料的许用应力［τ］＝30?MPa?，［σbs］＝80MPa。挂钩与被连接的板件厚度分别为δ1＝8mm，δ2＝12mm。拖车拉力F＝15kN。试确定销轴的直径d。
【解】1） 由销轴的剪切强度条件确定销轴直径d。根据销轴的受力情况［图2-44（b）］，销轴有m-m和n-n两个剪切面，这种情况称为双剪切。取销轴中段为研究对象［图2-44（c）］，由平衡方程?∑X＝0，
? 得 ?FS＝F/2?? 根据剪切强度条件
τ＝FS/AS＝（F/2）/（πd2/4）≤［τ］
图2-44
??
可得 d≥（2F/π［τ］）1/2
＝（2×15×103N/π×30×106Pa）1/2
＝ 17.8×10-3m
2） 由销轴的挤压强度条件确定销轴直径d。由于销轴上段及下段的挤压力之和等于中段的挤压力，而中段的挤压面计算面积为δ2d,小于上段及下段挤压面计算面积之和2δ1d［图2-44(b)］，故应按中段进行挤压强度计算。
由挤压强度条件?σbs＝Fbs/Abs＝F/δ2d≤［σbs］
可得 d≥F/（δ2［σbs］）
＝ 15×103N/12×10-3m×80×106Pa
＝15.6×10-3m?最后选取销轴直径d＝18mm。
【例2-16】图2-45表示一松木屋架的端结点。已知F1＝15kN，F2＝13kN；木材的顺纹许用切应力［τ］＝1MPa，顺纹许用挤压应力［σbs］＝10MPa，顺纹许用拉应力［σt］＝6MPa，与木纹成30°角的斜纹许用挤压应力［σbs］30°＝7.2MPa。求l和hc的尺寸。
【解】1） 由剪切强度条件决定l的尺寸。在上弦杆的压力F1的水平分力F1cosα和下弦杆的拉力F2作用下，下弦杆将沿截面m-m发生顺纹剪切。
剪力FS＝F2＝F1cosα，剪切面面积AS＝bl。由剪切强度条件
??τ＝FS/AS=F2/bl≤［τ］?得
??l≥F2/b［τ］
＝13×103N/80×10-3m×1×106Pa
＝0.163m＝163mm
图2-45
2） 由挤压强度条件决定hc的尺寸。在挤压面m-n处，下弦杆顺纹挤压，而上弦杆斜纹挤压。由已知条件可知，斜纹许用挤压应力低于顺纹许用挤压应力，故上弦杆的抗挤压能力弱，应对其进行计算。挤压力Fbs＝F2＝F1cosα，挤压面的计算面积Abs＝bhc。由挤压强度条件σbs＝Fbs/Abs＝F2/bhc≤［σbs］30°??
得 hc≥F2/b［σbs］30°
＝ 13×103N/80×10-3m×7.2×106Pa
＝ 0.023m＝23mm?
3） 校核下弦杆的拉伸强度。由于切槽、下弦杆的截面受到削弱。被削弱的截面n-n上的应力为
?σ＝FN/A＝F2/b（h-hc）
＝13×103N/80×(100-23)×10-6m2
＝2.11×106Pa＝2.11MPa＜［σt］
＝6MPa???可见满足抗拉强度要求。
第三章〓扭〓〓转
本章介绍扭转的有关概念，受扭杆件的外力和内力计算，圆轴扭转时的应力和变形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力和变形。
? 在工程中，有很多承受扭转的杆件。例如汽车方向盘的操纵杆［图3-1（a）］，机器中的传动轴［图3-1（b）］，钻机的钻杆［图3-1（c）］以及房屋中的雨篷梁和边梁［图3-1（d）、（e）］等。工程中常把以扭转为主要变形的构件称为轴。本章主要研究圆轴的扭转。
3?1 〓工程实例和计算简图
图3-1
扭转杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。其变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两横截面之间的相对角位移称为扭转角，用φ表示。图3-2是受扭杆的计算简图，φ表示截面B相对于截面A的扭转角。扭转时杆的纵向线发生微小倾斜，表面纵向线的倾斜角用γ表示（图3-2）。
图3-2
3?2〓扭矩和扭矩图
3?2?1〓外力偶矩的计算
工程中作用于轴上的外力偶矩一般不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率。这时需先由转速及功率计算出相应的外力偶矩。
由理论力学知，矩为Me的外力偶产生角位移θ时，它所作的功为??W= Me θ??
轴转动一周时外力偶所作的功为
??W=2π Me ???
若轴的转速为n（单位为r／min），则外力偶每分钟所作的功为
??W=2πn Me ?（a）??
若功率用P表示（单位为kW），则外力偶每分钟所作的功也可表示为
??W=60×103P （N·m） （b）??
令式（a）等于式（b）?，可得外力偶矩的计算公式为
?? Me =9549P/n（3-1）??
式中： Me ——轴上某处的外力偶矩，单位为N·m；
P——轴上某处输入或输出的功率，单位为kW；
n——轴的转速，单位为r/min。
?确定了作用于轴上的外力偶矩之后，就可应用截面法求其横截面上的内力。设有一圆截面轴如图3-3（a）所示，在外力偶矩Me作用下处于平衡状态，现求任意m-m截面上的内力。
3?2?2〓扭矩
图3-3
假想将轴在m-m处截开，任取其中一段，例如取左段为研究对象［图3-3（b）］。由于左端有外力偶作用，为使其保持平衡，m-m截面上必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶矩，称为扭矩，用T来表示。由空间力系的平衡方程
??∑Mx=0 T-Me ＝0??得T＝Me???
若取右段为研究对象，也可得到相同的结果［图3-3（c）］，但扭矩的转向相反。
为了使同一截面上扭矩不仅数值相等，而且符号相同，对扭矩T的正负号作如下规定：使右手四指的握向与扭矩的转向一致，若拇指指向截面外法线，则扭矩T为正［图3-4（a）］，反之为负［图3-4（b）］。显然，在图3-3（b）中，m-m截面上的扭矩T为正。
与求轴力一样，用截面法计算扭矩时，通常假定扭矩为正。
图3-4
为了直观地表示出轴的各个截面上扭矩的变化规律，与轴力图一样用平行于轴线的横坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标表示各横截面上扭矩的数值，选择适当的比例尺，将扭矩随截面位置的变化规律绘制成图，称为扭矩图。在扭矩图中，把正扭矩画在横坐标轴的上方，负扭矩画在下方。
3?2?3〓扭矩图
【例3-1】已知传动轴［图3-5（a）］的转速n＝300r／min，主动轮A的输入功率PA＝29kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。试绘出该轴的扭矩图。
【解】1） 计算外力偶矩。由式（3-1），轴上的外力偶矩为
MeA=9549PA/n=9549×29kW/300r/min=923?N·m?
MeB=9549PB/n=9549×7kW/300r/min=223?N·m?
MeC=MeD=9549PC/n=9549×11kW/300r/min=350?N·m2
图3-5
2） 计算各段轴内横截面上的扭矩。利用截面法，取1-1截面以左部分为研究对象［图3-5（c）］，由平衡方程 ∑Mx=0
T1+MeB=0? 得 T1=-MeB=-223N·m
T1为负值表示假设的扭矩方向与实际方向相反。
再取２-２截面以左部分为研究对象［图3-5（d）］，由平衡方程 ∑Mx=0 T2+MeC+MeB=0?
?得 T2=-(MeC+MeB)=-573?N·m?
最后取３-３截面以右部分为研究对象［图3-5（e）］，由平衡方程
??∑Mx=0 T3-MeD?=0??得 T3=MeD=350N·m???
3） 绘出扭矩图如图3-5（b）所示。由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各个截面上,其值为|T|max=573N·m。
3?3〓圆轴扭转时的应力和强度 计算
3?3?1〓圆轴的扭转试验
1? 扭转试验现象与分析
图3-6（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格。扭转变形后［图3-6（b）］，在弹性范围内，可以观察到以下现象：
1） 各纵向线都倾斜了一个微小的角度γ，矩形网格变成了平行四边形。
2） 各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转动了不同的角度。
图3-6
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：
① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。
② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ?
③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对错动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于半径。
④ 由于各纵向线都倾斜了一个角度γ，故各矩形网格的直角都改变了γ角，直角的改变量称为切应变。切应变γ是切应力τ引起的。
2? 切应力互等定理
设矩形网格ABCD沿纵向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元体，如图3-7所示。 当圆轴发生扭转变形时，横截面上有切应力τ，故单元体左、右面上有切应力τ。
图3-7
根据平衡条件，两个面上的切应力大小相等、方向相反，组成一个力偶，其矩为(τdydz)dx。为了保持单元体的平衡，在上、下面上必定还存在着切应力τ′，组成一个方向相反的力偶，其矩为（τ′dxdz）dy。由平衡方程∑xMz=0，得
??(τdydz)dx=（τ′dxdz）dy??
故? τ=τ′（3-2）??
上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。图3-7所示单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为纯剪切。
3? 剪切胡克定律
切应力越大，图3-7所示单元体的歪斜越厉害，即切应变γ越大。大量的试验表明：当切应力τ未超过材料的剪切比例极限τ-p时，切应力τ与其相应的切应变γ成正比。引入比例常数G，则可得到
??τ=Gγ （3-3）??
上式称为剪切胡克定律。式中的比例常数G称为材料的切变模量。它与材料的力学性能有关。对同一材料，切变模量G为常数，可由试验测定。G的单位与应力的单位相同。
? 下面从变形的几何关系、力和变形的物理关系及静力学关系推导横截面上切应力的分布规律。
?（1） 几何关系
从圆轴中截取长为dx的一段进行分析，如图3-8（a）所示。
3?3?2〓圆轴扭转时横截面上的切应力
图3-8
假想截面m-m固定不动，则截面n-n相对截面m-m绕轴线转动了一个角度dφ，其上的半径O2D也转过了角度dφ，而到达位置O2D′。相应地，纵向线AD倾斜了一个微小角度γ，该倾斜角即为圆轴表面A点处的切应变。同理，设半径O2D上任一点G的纵向线EG的倾斜角为γρ，γρ即为E点处的切应变。
令G点到轴线的距离为ρ，由几何关系知
??γρ≈tanγρ=GG′/EG=ρdφ/dx （a）??
由于在同一横截面处dφ/dx为一个常量，因此上式表明，横截面上任一点处的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。这就是变形的几何关系。
（2） 物理关系
设横截面上距圆心为ρ点处的切应力为τρ，由剪切胡克定律，有
??τρ=Gγρ （b）??
将式（a）代入式（b），得
??τρ=G(dφ/dx)ρ （c）??
因Gdφ/dx为常数，所以上式表明切应力的大小与ρ成正比，τρ沿任一半径的变化规律如图3-8（b）所示。可见同一半径ρ的圆周上各点处的切应力τρ相同，截面边缘各点处的切应力最大。
（3） 静力平衡关系
下面我们由静力平衡条件来确定dφ/dx的数值。如图3-8（b）所示，距圆心为ρ的微面积上的微内力为τρdA，其对圆心的矩为ρτρdA。因扭矩T为截面上的分布内力的合力，则有
??∫AρτρdA=T （d）??
将式（c）代入上式，整理得
??Gdφ/dx∫Aρ2dA=T （e）??
令 Ip=∫Aρ2dA （3-4）??则式（e）可写为
??dφ/dx=T/GIp （3-5）??
上式是研究圆轴扭转变形的基本公式。
将上式代入式（c）得
??τρ=Tρ/Ip （3-6）
式中：T——横截面上的扭矩；
ρ——横截面上任一点到圆心的距离；
Ip——横截面对圆心的极惯性矩，单位为mm4或m4。
式（3-6）就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。
切应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致［图3-8（b）］。 由式（3-6）可知，当ρ=R时，切应力最大，最大切应力为
??τmax=TR/Ip 令 Wp=Ip/R （3-7）则有 τmax=T/Wp （3-8）
? 式中：Wp——扭转截面系数，单位为mm3或m3。
极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp是只与横截面形状、尺寸有关的几何量。
由式（3-4）及式（3-7）可算得，直径为D的圆截面和外径为D、内径为d的空心圆截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为
圆截面：Ip=πD4/32
Wp=πD3/16 （3-9）
空心圆截面：Ip=πD4/32 (1-α4) Wp=πD3/16(1-α4) （3-10）
式中：α=d/D——内、外径的比值。
【例3-2】空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截面上的扭矩T=1.5kN·m（图3-9）。求横截面上内外边缘处的切应力，并绘出横截面上切应力的分布图。
【解】1） 计算极惯性矩。极惯性矩为
??Ip=π/32(D4-d4)=π/32×(904-804)mm4
=1.32×106 mm4?
2） 计算切应力。内外边缘处的切应力分别为：
图3-9
τ内=τA=T/Ip·d/2
=1.5×103×85/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=48.3×106Pa=48.3MPa?
τ外=τB=T/Ip·D/2
=1.5×103×90/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=51.1×106Pa=51.1MPa???
横截面上切应力的分布图如图3-9所示。
为使圆轴扭转时能正常工作，必须要求轴内的最大切应力τmax不超过材料的许用切应力［τ］，若用Tmax表示危险截面上的扭矩，则圆轴扭转时的强度条件为τmax =Tmax /Wp≤［τ］（3-11）
式中：［τ］——材料的许用切应力，通过试验测得。
3?3?3〓圆轴的强度计算
它与许用拉应力之间有如下关系：
? 塑性材料［τ］=（0.5～0.6）［σ］
? 脆性材料［τ］=（0.8～1.0）［σ］
利用式（3-11）可以对圆轴进行强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。
【例3-3】如图3-10（a）所示的空心圆轴，外径D=100mm,内径d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的许用切应力［τ］=50MPa ，试进行强度校核。
图3-10
【解】1） 求危险截面上的扭矩。绘出轴的扭矩图如图3-10（b）所示，BC段各横截面为危险截面,其上的扭矩为
??Tmax=4kN·m???
2） 校核轴的扭转强度。
截面的扭转截面系数为
Wp=π/16×0.13×（1-0.84）m3=1.16×10-4m3??
轴的最大切应力为
τmax=Tmax/Wp=4×103N·m/1.16×10-4m3=34.5×106 Pa?
=34.5MPa?<［τ］=50MPa?
可见轴是安全的。
【例3-4】实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图3-11所示。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料的许用切应力［τ］=20MPa。(1)选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比。
图3-11
【解】轴承受的外力偶矩为
?Me=9549P/n=9549×10/100 N·m=955N·m???故轴任一横截面上的扭矩为 T=Me=955N·m
1） 选择实心轴的直径。
由强度条件
? τmax=T/Wp=16T/πD31〖SX)〗≤［τ］，得
??D1≥（16T/π［τ］）1/3=（16×955/π×20×106）1/3m=0.062m
2) 选择空心轴的外径D2。空心圆截面的扭转截面系数为：
Wp=πD32(1-α4)/16
=πD32 (1-0.54)/16=0.184D32??
由强度条件
τmax=T/Wp=T/0.184D32≤［τ］?
?得 D2≥（T/0.184［τ］）1/3
=（955N·m/0.184×20×106）1/3Pa
=0.0638m???
3） 实心部分与空心部分的重量比为
??W实/W空=A实/A空=D21/（D22-d22） =1.259??
显然空心轴比实心轴节省材料。
3?4〓圆轴扭转时的变形和刚度计算
3?4?1 〓圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角φ来度量的。在上节中已得到式（3-5），即 ?dφ/dx=T/GIp?
?式中：dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角。
上式也可写成 dφ=T/GIpdx??
因此，相距为l的两横截面间的扭转角为 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12）??
若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的数值相同，则上式中的T、G、Ip均为常量，积分后得
φ=Tl/GIp （3-13）??
扭转角φ的单位为rad。
由上式可见，扭转角φ与GIp成反比，即GIp越大，轴就越不容易发生扭转变形。因此把GIp称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。工程中通常采用单位长度扭转角，即 θ=dφ/dx?
? 由式（3-13），得?
θ=T/GIp（3-14）??
单位长度扭转角θ的单位为rad／m。
?对于承受扭转的圆轴，除了满足强度条件外，还要求它的扭转变形不能过大。例如，精密机床上的轴若产生过大变形则会影响机床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运转时产生较大振动。
3?4?2〓圆轴的刚度计算
因此必须对轴的扭转变形加以限制，即使其满足刚度条件：
?θmax=Tmax/GIp≤［θ］（3-15）
式中：［θ］——许用单位长度扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中查到。
在实际工程中［θ］的单位通常为°/m，刚度条件变为
θmax=Tmax/GIp×(180/π)≤［θ］ （3-16）?
一般情况下，对精密机械中的轴，其［θ］=（0.25～0.50°/m）之间；一般传动轴，其［θ］=（0.5～1.0°/m）之间；精密度较低的轴，［θ］=（1.0～2.5°/m）。
【例3-5】图3-12（a）所示的传动轴，在截面A、B、C三处输入或输出的功率分别为PA=100kW、PB=60kW、PC=40kW，轴的转速n=200r／min，轴的直径D=90mm，材料的切变模量G=80×103MPa，材料的许用切应力［τ］=60MPa，单位长度许用扭转角［θ］=1.1°/m。试校核该轴的强度和刚度。
【解】1） 计算外力偶矩。由式（3-1），
得 MeA=9549PA/n=9549×100kW/200r/min
=4.77×103N·m=4.77kN·m
MeB=9549PB/n=9549×60kW/200r/mi
=2.86×103N·m=2.86kN·m?
MeC=9549PC/n=9549×40kW/200r/min
=1.91×103N·m=1.91kN·m??
图3-12
? 2） 求危险截面上的扭矩。
绘出扭矩图如图3-12（b）所示。
由图可知，BA段各横截面为危险截面，其上的扭矩为
Tmax=2.86?kN·m???
3） 强度校核。截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为
Wp=πD3/16=3.14×903×10-9m3/16
=1.43×10-4m3
Ip=πD4/32=3.14×904×10-12m4/32
=6.44×10-4m4??
轴的最大切应力为
τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa?
可见强度满足要求。
4） 刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14
=0.318°/m＜［θ］=1.1°/m???
可见刚度也满足要求。
【例3-6】一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，许用切应力［τ］=88.2MPa，单位长度许用扭转角［θ］=0.5°/m，承受的扭矩为T=39.6kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直径D。??
【解】1） 按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件式（3-11），即?τmax=Tmax/Wp=16T/πD3≤［τ］??
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
? 2） 按刚度条件设计轴的直径。由刚度条件式（3-16），即
θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ］??
得
??
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4
=（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m
=0.156m=156mm???
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
3?5〓矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
在土建工程中还经常会遇到非圆截面杆，例如矩形截面杆的扭转问题。在图3-13（a）所示矩形截面杆的表面画上若干纵向线和横向线，则在扭转后可看到所有横向线都变成了曲线［图3-13（b）］，这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲。试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用。
图3-13
当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘曲的程度相同（图3-13），此时横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转。
对于实体截面杆，由约束扭转所引起的正应力数值很小，可忽略不计；而对于薄壁截面杆，这种正应力往往较大，不能忽略。
非圆截面杆的扭转，必须用弹性力学的方法来研究。下面仅简单介绍矩形截面杆自由扭转的主要结论：
1） 矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图3-14所示。截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭矩方向一致；在对称轴上，各点的切应力垂直于对称轴；其他各点的切应力是斜向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力τmax发生在长边中点处；短边中点处有较大的切应力τ1。
图3-14
2） 计算公式。最大切应力为
??τmax=T/Wp=T/αhb2 （3-17）??
短边中点处的切应力为
??τ1=γτmax?? （3-18）??
单位长度扭转角为
??θ=T/GIt=T/Gβhb3 （3-19）
式中：Wp——矩形截面的扭转截面系数， Wp=αhb2；
It——矩形截面的相当极惯性矩，It=βhb3；
α、β、γ——与矩形截面高宽比h／b有关的系数，可查表得出。
【例3-7】有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h＝100mm，b＝50mm，杆两端作用一对扭转力偶Me，已知Me＝4kN·m，钢的许用切应力［τ］＝100MPa，切变模量G＝80×103MPa，单位长度许用扭转角［θ］=1.2°/m。试对此杆进行强度和刚度校核。
【解】杆的扭矩为 T=Me=4kN·m???
由h/b=100mm/50mm=2，
查表8-1得α=0.246，β=0.229
τmax=T/αhb2
=4×103N·m/0.246×100×10-3×50×10-3）2m4
=65×106Pa=65MPa<［τ］＝100MPa?
θmax=T/Gβhb3×180/π=4×103N·m/80×109Pa?×0.299×100×10-3×(50×10-3)3m4×180/π?
=1.0°/m<［θ］=1.2°/m??
可见此杆满足强度和刚度要求。
第四章〓弯 曲 内 力
本章主要介绍弯曲变形的基本概念，弯曲变形的内力和内力图的绘制。绘制内力图的方法有三种：内力方程法、微分关系法和区段叠加法。
4?1〓梁的平面弯曲的概念和计算简图
4?1?1〓弯曲的实例
在工程中经常遇到这样一类构件。它们所承受的荷载是作用线垂直于杆件轴线的横向力，或者位于通过杆轴纵向平面内的外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生相对的转动，杆件的轴线也要弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。
凡是以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。
梁是工程结构中应用得非常广泛的一种构件。例如图4-1［（a)、(b)、(c）］所示的混凝土公路桥梁、房屋建筑的阳台挑梁，以及水利工程的水闸立柱等。
图4-1
? 梁的轴线方向称为纵向，垂直于轴线的方向称为横向。梁的横截面是指梁的垂直于轴线的截面，一般都存在着对称轴，常见的有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵向平面是指过梁的轴线的平面，有无穷多个，但通常所说的纵向平面是指梁横截面的纵向对称轴与梁的轴线所构成的平面，称为梁的纵向对称面。
4?1?2〓梁的平面弯曲的概念
如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，那么梁的轴线将在此对称面内弯成一条平面曲线，这样的弯曲变形称为平面弯曲，如图4-2所示。产生平面弯曲变形的梁，称为平面弯曲梁 。
图4-2
平面弯曲梁是工程中最常见的构件。作用线垂直于梁的轴线的集中力，称为横向外力。平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲，如图4-3（a）所示。平面弯曲梁在平面外力偶的作用下发生的弯曲变形称为纯弯曲，如图4-3（b）所示。
图4-3
在进行梁的工程分析和计算时，不必把梁的复杂的工程图原原本本地画出来，而是以能够代表梁的结构、荷载情况的，按照一定的规律简化出来的图形代替，这种简化后的图形称为梁的计算简图。一般应对梁作以下三方面的简化：
4?1?3〓梁的计算简图
1? 梁本身的简化
梁本身可用其轴线来代表，但要在图上注明梁的结构尺寸数据，必要时也要把梁的截面尺寸用简单的图形表示出来。
2? 荷载的简化
梁上的荷载一般简化为集中力、集中力偶和均布荷载，分别用q、F、Me表示。集中力和均布荷载的作用点简化在轴线上，集中力偶的作用面简化在纵向对称面内。
3? 支座的简化
梁的支承情况很复杂，但为了计算的方便，可以简化为活动铰支座、固定铰支座和固定端支座三种情况。
图4-4（a）是图4-1（a）所示的混凝土公路桥第一跨的计算简图。其中，公路桥梁本身用直线AB代表，左端的支承简化成固定铰支座，有两个约束反力FAx和FAy，右端的支承简化成活动铰支座，有一个约束反力FBy，正在行驶中的汽车简化成集中力F，桥梁本身的自重简化成均布荷载q。
图4-4（b）是图4-1（b）所示的房屋建筑中的阳台挑梁的计算简图。其中，挑梁本身用直线AB代表，左端的支承简化成固定端支座，有三个约束反力FAx、FAy和MA，右端是一个自由端，无约束反力。其上的荷载简化成均布荷载q。
图4-4
4?1?4〓静定梁的基本形式
1?静定梁与超静定梁的概念
梁可以分为静定梁和超静定梁。如果梁的支座反力的数目等于梁的静力平衡方程的数目，就可以由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为静定梁，如图4-5（a）所示。
4?1?4〓静定梁的基本形式
反之，如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目，就不能由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为超静定梁，如图4-5（b）所示。
2? 静定梁的三种形式
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁和外伸梁，其计算简图如图4-6［（a）、（b）、（c）］所示。
图4-5
图4-6
4?2〓梁的内力——剪力和弯矩
4?2?1〓剪力和弯矩的概念
梁的任一横截面上的内力，在作用于梁上的外力确定后，可由截面法求得。图4-7（a）是一个受集中力F作用的简支梁，现在求其任意横截面m-m上的内力。首先沿截面m-m假想地把梁AB截成左、右两段，然后取其中的一段作为研究对象。
例如，取梁的左段为研究对象，梁的右段对左段的作用则以截面上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程 ∑Y=0 FA-FS=0??
得 FS=FA?
? FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方程
??∑MO=0 M-FAx=0?
?得 ?M=FAx??
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力偶矩。
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
4?2?2〓剪力和弯矩的符号规定
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的符号。
1? 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2? 弯矩的符号规定
梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为负，如图4-8（b）所示。
根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
图4-8
【例4-1】简支梁如图4-9（a）所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
【解】1） 求支座反力。由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为?FA=FB=10kN???
2） 求横截面1-1上的剪力和弯矩。沿截面1-1假想地把梁截成两段，取受力较简单的左段为研究对象，设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正，如图4-9（b）所示。
列出平衡方程 ?∑Y=0 FA-FS1=0
∑MO=0 M1-FA×1m=0??
得 FS1=FA=10kN? M1=FA×1m=10kN·m???
计算结果FS1和M1为正，表明二者的实际方向与假设的相同，即FS1为正剪力，M1为正弯矩。
图4-9
3） 求横截面2-2上的剪力和弯矩。沿截面2-2取左段为研究对象，设截面上的剪力FS2和弯矩M2均为正，如图4-9（c）所示。列出平衡方程
?∑Y=0 FA-FS1-FS2=0
∑MO=0 M2-FA×4m+F1×2m=0?
得 ?FS2=FA-FS1=0 M2=FA×4m+F1×2m=20kN·m??
由计算结果可知，M2为正弯矩。
4） 求横截面3-3上的剪力和弯矩。取截面3-3右段为研究对象，设截面上的剪力FS3和弯矩M3均为正，如图4-9（d）所示。列出平衡方程
??∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0??
得? FS3=-FB=-1
第一章绪论
本章主要介绍材料力学的研究对象、研究任务和研究方法。本章还介绍了变形固体的基本概念和变形固体的基本假设，以及杆件在荷载作用下的变形形式。
1-1 〓材料力学的研究对象、任 务和研究方法
1 材料力学的研究对象
结构就是建筑物中承受力而起骨架作用的部分。结构是由单个的部件按照一定的规则组合而成的，组成结构的部件称为构件。
构件都是由固体形态的工程材料制成的，并具有一定的外部形状和几何尺寸。在使用的过程中，所有的构件都要受到相邻构件或其他物体的作用，也就是说要受到外力。
例如房屋的外墙壁要受到风的压力、建筑物要受到地震的冲击力、公路桥梁要受到过往车辆的压力等等，此外它们都还要受到自身重力的作用。
作用在建筑物或结构上的外力，及它们自身的重力通称为荷载。?
结构是由构件组成的，作用于结构上的荷载，也要由组成结构的构件来共同承担，因而构件是承受荷载的基本单元。材料力学的研究对象就是由工程材料制成的、在荷载作用下的构件。
2 材料力学的研究任务
在荷载的作用下，构件的几何形状和尺寸大小都要发生一定程度的改变，这种改变，在材料力学中称为变形。一般来讲，变形要随着荷载的增大而增大，当荷载达到某一数值时，构件会因为变形过大或被破坏而失去效用，通常简称为失效。避免构件在使用时的失效是材料力学的主要研究任务。
构件的失效形式通常有三种：
一是构件在使用中因承受的荷载过大而发生破坏，如起重吊车的绳索被拉断、建筑物的基础被压坏等；
二是构件的变形超出了工程上所允许的范围，如工业厂房中吊车的横梁或建筑物的房梁在受载时发生过大的弯曲等；
三是构件在荷载的作用下其几何形状无法保持原有的状态而失去平衡，通常也称为失稳，如细长的支柱在受压时突然变弯等。
构件本身对各种失效具有抵抗的能力，简称为抗力。
在材料力学中，把构件抵抗破坏的能力称为强度，构件抵抗变形的能力称为刚度。
构件抵抗失稳、维持原有平衡状态的能力称为稳定性。
研究表明：构件的强度、刚度和稳定性，与其本身的几何形状、尺寸大小、所用材料、荷载情况以及工作环境等都有着非常密切的关系。
在工程结构的设计过程中，必须根据荷载的情况对结构本身和组成结构的每一个构件进行力学分析。构件的力学分析，首先要保证的就是构件要有足够的强度、刚度和稳定性，以使构件能够安全工作而不至于发生失效。
一般说来，为构件选用较好的材料和较大的截面尺寸，上述的三项基本要求是可以满足的，但是这样又可能造成材料的浪费和结构的笨重。由此可见，结构的安全性与经济性之间是存在矛盾的。所以，如何合理地选用构件材料，恰当地确定构件的截面形状和几何尺寸，是构件设计中的一个十分重要的问题，也是材料力学所要完成的主要研究任务。
综合以上分析，可以把材料力学的主要研究任务归纳为：研究各种构件在荷载的作用下所表现出来的变形和破坏的规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的理论基础和设计计算方法，从而为构件选择适当的材料、确定合理的形状和足够的尺寸，以保证建筑物或工程结构在满足安全、可靠、适用的前提下，符合最经济的要求。
3 材料力学的研究方法
材料力学采用的是实验—假设—理论分析—实验验证的研究方法。
?
1-2 〓变形固体及其基本假设
1.2.1 〓刚体与变形固体
理论力学研究的是物体的运动和平衡问题的一般规律。在理论力学的研究中，把物体都看作是刚体，即在外力的作用下，物体的大小和形状都绝对不变。用绝对刚体这个抽象的力学模型代替真实的物体，这是理论力学研究的特点之一。
材料力学所研究的是构件的强度、刚度和稳定性问题。在这类问题中，物体的变形虽然很小，但却是主要影响因素之一，必须要予以考虑而不能忽略。因而，在材料力学的研究中，把物体（构件）都看作是变形固体，即在外力的作用下都要发生变形——包括尺寸的改变和形状的改变。
1?2?2 〓变形固体的基本假设
1? 有关材料的三个基本假设
?（1） 连续性假设
假设构成变形固体的物质完全填满了固体所占的几何空间而毫无空隙存在。
事实上，构件的材料是由微粒或晶粒组成的，各微粒或晶粒之间是有空隙的，是不可能完全紧密的，但这种空隙和构件的尺寸比起来极为微小，因而可以假设是紧密而毫无空隙存在。以这个假设为依据，在进行理论分析时，与构件性质相关的物理量可以用连续函数来表示，所得出的结论与实际情况不会有显著的误差。
（2） 均匀性假设
? 假设构件中各点处的力学性能是完全相同的。
事实上，组成构件材料的各个微粒或晶粒，彼此的性质不一定完全相同。但是构件的尺寸远远大于微粒或晶粒的尺寸，构件所包含的微粒或晶粒的数目极多，按照统计学的观点，材料的性质与其所在的位置无关，即材料是均匀的。
按照这个假设，在进行分析时，就不必要考虑材料各点处客观上存在的不同晶格结构和缺陷等引起的力学性能上的差异，而可以从构件内任何位置取出一小部分来研究，其结果均可代表整个物体。?
（3） 各向同性假设
? 假设构件中的一点在各个方向上的力学性能是相同的。事实上，组成构件材料的各个晶粒是各向异性的。
但由于构件中所含晶粒的数目极多，在构件中的排列又是极不规则的，因而，可以认为某些材料是各向同性的，如金属材料。根据这个假设，当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其他方向。
以上三个假设对金属材料相当吻合，对砖、石、混凝土等材料的吻合性稍差，但仍可近似地采用。木材可以认为是均匀连续的材料，但木材的顺纹和横纹两个方向的力学性能不同，是具有方向性的材料。实践表明，材料力学的研究结果也可以近似的用于木材。
根据上述三个假设，可以从构件中任何位置、沿任何方向取出任意微小的部分，采用微分和积分等数学方法对构件进行受力、变形和破坏的分析。
2? 有关变形的两个基本假设
?（1） 小变形假设
假设变形量远小于构件的几何尺寸。这样，在研究构件的平衡和运动规律时仍可以直接利用构件的原始尺寸而忽略变形的影响。在研究和计算变形时，变形的高次幂也可忽略，从而使计算得到简化。?
当构件受到多个荷载共同作用时，根据小变形假设，可以认为各荷载的作用及作用的效应是相互独立、互不干扰的。因此，只要某个欲求量值与外力之间存在着线性关系，就可以利用叠加原理来进行分析。
（2） 线弹性假设
? 固体材料在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变形。外力卸去后能完全消失的变形称为弹性变形；外力卸去后不能完全消失而永久保留下来的变形称为塑性变形。在材料力学中，假设外力的大小没有超过一定的限度，构件只产生了弹性变形，并且外力与变形之间符合线性关系，能够直接利用胡克定律。
1-3 〓杆件变形的形式
工程实际中构件的几何形状是多种多样的，根据几何形状和尺寸的不同，通常可分为杆件、板壳和块体。材料力学的主要研究对象是工程实际中应用得最为广泛的构件——杆件。
所谓杆件是指横向尺寸远小于纵向尺寸的构件。杆件的形状和尺寸是由其轴线和横截面来决定的，轴线和横截面之间存在着一定的关系：轴线通过横截面的形心，横截面与轴线相正交。根据轴线和横截面的特征，杆件可以分为直杆和曲杆、等截面杆和变截面杆等。
材料力学研究的杆件主要是等截面的直杆，简称等直杆。它是杆件中最简单也是最常用的一种，其计算理论可近似用于曲率不大的曲杆和截面变化不剧烈的变截面杆。
? 杆件在不同的荷载的作用下，会产生不同的变形。根据荷载本身的性质及荷载作用的位置不同，变形可以分为轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。
1?3?1〓基本变形
1? 轴向拉伸和压缩
如果在直杆的两端各受到一个外力F的作用，且两者的大小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，那么杆的变形主要是沿轴线方向的伸长和缩短。
当外力F的方向沿杆件截面的外法线方向时，杆件因受拉而变长，这种变形称为轴向拉伸；当外力F的方向沿杆件截面的内法线方向时，杆件因受压而变短，这种变形称为轴向压缩，分别如图1-1（a）、（b）所示。
图1-1
2? 剪切
? 如果直杆上受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的外力沿垂直于杆轴线方向作用时，杆件的横截面将沿外力的方向发生相对错动，这种变形称为剪切，如图1-2所示。
图1-2
3? 扭转
如果在直杆的两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面与杆件的轴线垂直，那么杆件的横截面将绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转，如图1-3所示。
图1-3
4． 弯曲
? 如果直杆在两端各受到一个外力偶Me的作用，且二者的大小相等、转向相反，作用面都与包含杆轴的某一纵向平面重合，或者是受到位于纵向平面内且垂直于杆轴线的外力F作用时，杆件的轴线就要变弯，这种变形称为弯曲，如图1-4（a）、（b）所示。
图1-4（a）所示为纯弯曲，图1-4（b）所示为横力弯曲。
图1-4
1?3?2〓组合变形
? 在工程实际中杆件的变形，可能只是某一种基本变形，也可能是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。常见的组合变形形式有：斜弯曲（或称双向弯曲）、拉（压）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合等等，如图1-5（a）、（b）、（c）所示。
图1-5
第二章〓轴向拉伸和压缩
本章介绍杆件在轴向拉（压）时的内力、应力和变形，轴向拉（压）杆的强度计算，拉压超静定问题以及连接件的强度计算。
2?1〓工程实例和计算简图
在工程中，经常会遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例如桁架中的杆件［图2-1（a）］、斜拉桥中的拉索［图2-1（b）］以及闸门启闭机中的螺杆［图2-1（c）］等。
?
图2-1
图2-1承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉（压）杆。实际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若将它们加以简化，则都可抽象成如图2-2所示的计算简图。其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。
图2-2
2?2〓内力〓截面法〓轴力图
2?2?1〓内力的概念
材料力学中所讨论的内力，指的是因外力作用而引起的物体内部各质点间相互作用的内力的改变量，即由外力引起的“附加内力”，简称为内力。
内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题是密切相关的。
2?2?2〓截面法
截面法是求构件内力的基本方法。下面通过求解图2-3（a）所示拉杆m-m横截面上的内力来具体阐明截面法。
为了显示内力，假想地沿横截面m-m将杆截开成两段，任取其中一段，例如取左段，作为研究对象。左段上除受到力F的作用外，还受到右段对它的作用力，此即横截面m-m上的内力如图2-3（b）所示。根据均匀连续性假设，横截面m-m上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力（力或力偶）。
图2-3
现要求的内力就是图2-3（b）中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出平衡方程
??∑X＝0 FN -F＝0??
得 ? FN ＝F??
这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求解内力的方法称为截面法。
用截面法求构件内力可分为以下三个步骤：
1）截开 沿需要求内力的截面，假想地将构件截开成两部分。
?2）代替 取截开后的任一部分作为研究对象，并把弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力代替。
?3）平衡 列出研究对象的静力平衡方程，解出需求的内力。
2?2?3〓轴力和轴力图
图2-3（a）所示拉杆横截面m-m上的内力FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。
若取右段为研究对象，同样可求得轴力FN ＝F［图2-3（c）］，但其方向与用左段求出的轴力方向相反。?
轴力的正负号规定如下：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指向相反，轴力为压力。?
为了表明轴力随横截面位置的变化规律，以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图，也称FN图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。
【例2-1】拉压杆如图2-4（a）所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并绘制轴力图。
?【解】1） 求支座反力。由杆AD［图2-4（a）］的平衡方程
?? ∑X＝0 FD-2kN-3kN＋6kN＝0??
得
?? FD＝-1kN???
图2-4
2） 求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力。取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN1［图2-4（b）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN1-2kN＝0??
得 ??FN1＝2kN???
算得的结果为正，表明FN1为拉力。当然也可以取右段为研究对象来求轴力FN2，但右段上包含的外力较多，不如取左段简便。
再沿横截面2-2假想地将杆截开，仍取左段为研究对象，设截面上的轴力为FN2［图2-4（c）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN2 -2kN-3kN＝0??
得
?? FN2 ＝5kN???
同理，沿横截面3-3将杆截开，取右段为研究对象可得轴力FN3［图2-4（d）］为
FN3 ＝FD＝-1kN???
算得的结果为负，表明FN3为压力。
3） 根据各段FN值绘出轴力图，如图2-4（e）所示。由图可知，BC段各横截面上的轴力最大，最大轴力FNmax=5kN。以后我们称内力较大的截面为危险截面，例如本题中BC段各横截面。
轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。
2-3〓拉压杆的应力
2?3?1〓应力的概念
轴力是拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况，单凭轴力的大小还不能判断杆件在外力作用下是否发生破坏。例如，相等的内力分布在较大的面积上时，比较安全；分布在较小的面积上时，就比较危险。
因此，为了解决强度问题，还必须研究截面上各点处内力的分布规律，即用截面上各点处的内力的大小和方向来表明内力作用在该点处的强弱程度。为此，引入应力的概念。
在构件的截面上，围绕任意一点取微小面积ΔA［图2-5（a）］，设ΔA上微内力的合力为ΔF。
ΔF与ΔA的比值pm=ΔF/ΔA?称为ΔA上的平均应力。而将极限值
???p=lim pm
ΔA→0
=limΔF/ΔA =dF/dA （2-1）
ΔA→0
称为M点处的应力。
图2-5
应力p是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常把它分解为两个分量，如图2-5（b）所示。垂直于截面的法向分量σ，称为正应力；相切于截面的切向分量τ，称为切应力。
应力的单位是Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程中，常采用Pa的倍数单位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕），其关系为
?1kPa=1×103Pa
1MPa=1×106Pa
1GPa=1×109Pa
因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力σ。由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计算正应力σ，必须知道σ在截面上的分布规律。
2?3?2〓拉压杆横截面上的正应力
在图2-6（a）所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线ab和cd。拉伸后可观察到横向线ab、cd分别平行移到了a′b′、c′d′位置，但仍为直线，且仍然垂直于杆轴［图2-6（b）］。根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是平面假设。
图2-6
设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即σ等于常量［图2-6（c）］。这个结论对于压杆也是成立的。
因为σ为常量，所以轴力FN等于正应力σ与横截面面积A的乘积，即
FN＝σA?? 或
σ＝FN/A （2-2）??
这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式。正应力σ的符号和轴力FN的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。
?
必须指出，作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略，这就是圣维南原理。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用式（2-2）计算应力。
【例2-2】图2-7（a）为一悬臂吊车的简图，斜杆BC的横截面面积A＝500mm2，荷载F＝25kN。求当F移至D点时，斜杆横截面上的正应力。
图2-7
【解】悬臂吊车的计算简图如图2-7（b）所示。为了求出斜杆BC的轴向外力FBC，取横梁AD为研究对象［图2-7（c）］，列出平衡方程
??∑MA＝0 FBCsin45·AB-F·AD＝0??
得
?FBC ＝F·AD/（sin45°·AB）
＝（25kN×3m）/（0.707×1.5m）
＝70.7?kN???
斜杆的轴力为
?? FN＝FBC＝70.7?kN???
由式（2-2），斜杆横截面上的正应力为
?? σ＝FN/A＝70.7×103N/500×10-6m2
＝142×106Pa＝142MPa???
在对拉压杆进行强度计算时，需要知道杆的各横截面上正应力的最大值，称为杆的最大正应力。由式（2-2）可知，如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下，应加以比较后确定。
【例2-3】一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）如图2-8（a）所示，F＝50kN。求砖柱的最大正应力。
【解】用截面法求得上、下两段横截面上的轴力分别为
??FN1＝-50?kN?，FN2＝-150?kN???
因为上、下两段横截面的面积也不相同，所以必须算出各段横截面上的应力，加以比较后才能确定柱的最大正应力。
图2-8
由式（2-2），得
σAB＝FN1/AAB=-50×103N/2402×10-6m2
＝-0.87×106Pa＝-0.87?MPa
σBC＝FN2/ABC＝-150×103N/3702×10-6m2
＝-1.1×106Pa＝-1.1?MPa?
可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为
?σmax＝1.1?MPa?（压）??
我们称应力较大的点为危险点。
以图2-9（a）所示拉杆为例，应用截面法，假想沿斜截面k-k将杆截开，取左段为研究对象［图2-9（b）］，列出平衡方程?
∑X＝0
可得斜截面k-k上的内力为
FNα＝F??
2?3?3〓拉压杆斜截面上的应力
图2-9
仿照横截面上正应力均匀分布的推理过程，也可推断斜截面k-k上的应力pα是均匀分布且与杆轴平行，设斜截面的面积为Aα，则有
??FNα＝ pαAα??
或
? pα＝FNα/Aα （a）??
设斜截面k-k的外法线n与杆轴的夹角为α，则横截面面积A＝Aαcosα，代入式（a），得
??pα＝FNα/Aα=F/（A/cosα）
＝σcosα （b）
式中：σ＝F/A——横截面上的正应力。
?pα称为斜截面上的全应力，可将它沿截面的法向和切向分解为两个分量：正应力σα和切应力τα 图2-9（c）。它们分别为
?? σα=pαcosα=σcos2α
τα=pαsinα=σcosαsinα=（σ/2）sin2α （2-3）??
这就是拉压杆斜截面上应力的计算公式。
由式（2-3）可知，在通过拉压杆内任一点的各个截面上，一般都存在正应力σα和切应力τα，其值随α角作周期性变化。当α＝0°时，σα＝σ，它是σα中的最大值，即杆内任一点处的最大正应发生在杆的横截面上；当α＝45°时，τα＝σ/2，它是τα中的最大值，即杆内任一点处的最大切应力发生在45°斜截面上，其值等于该点处最大正应力的一半。
在利用式（2-3）计算斜截面上的应力时，必须注意式中各量的正负号规定：正应力σα仍以拉应力为正，压应力为负；切应力τα以其对研究对象内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；角度α自杆轴量至斜截面的外法线，以逆时针转向为正，反之为负。图2-10（a）所示各量均为正值，而图2-10（b）所示各量均为负值。
【例2-4】图2-11（a）所示拉杆的横截面面积A＝100mm2，轴向拉力F＝10kN。试分别计算α＝30°和α＝-30°斜截面上的正应力和切应力。
【解】拉杆横截面上的正应力为
??σ＝FN/A＝F/A＝10×103N/100×10-6m2
＝100×106Pa ＝100MPa
图2-11
?? 利用式（2-3），α＝30°斜截面［图2-11（a）中的斜截面1-1］上的正应力和切应力分别为
σ30°＝σcos230＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ30° ＝（σ/2）sin（2×30）＝100/2MPa×31/2/2＝43.2MPa?
α＝-30°斜截面［图2-11(a)中的斜截面2-2 ］上的正应力和切应力分别为
?σ-30°＝σcos2（-30）＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ-30°＝（σ/2）sin2×（-30）＝100/2MPa×（-（31/2）/2）＝-43.2MPa?将上面求得的应力分别表示在它们所作用的截面上，如图2-11（b）、（c）所示。
2?4〓拉压杆的变形
杆件在轴向拉伸和压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；与此同时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大，称为横向变形［图2-12（a）、（b）］。
图2-12
? 设图2-12所示拉、压杆的原长为l，在轴向外力F的作用下，长度变为l1，杆的变形为
???Δl＝l1-l （a）??
Δl即为杆的纵向变形。对于拉杆，Δl为正值，表示纵向伸长（图2-12（a））；对于压杆，Δl为负值，表示纵向缩短（图2-12（b））。
?
2?4?1〓纵向变形
纵向变形Δl只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。根据平面假设，杆的各段都是均匀变形的，单位长度的纵向变形为
??ε＝Δl/l（2-4）??
式中，ε称为纵向线应变。显然，拉伸时ε＞0，称为拉应变；压缩时ε＜0，称为压应变。ε是一个量纲为1的量。
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形Δl与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即
???Δl∝Fl/A??
引进比例常数E，则有
???Δl＝Fl/EA??
由于横截面上的轴力FN＝F，故上式可改写为
???Δl＝FNl/EA（2-5）??
上式称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，它与材料的性质有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。 E的数值可由实验测定。E的单位与应力的单位相同。
EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力。所以拉压刚度EA代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）变为
?? σ＝Eε （2-6）??
上式是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力与线应变成正比。
?设图2-12所示拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1，则其横向变形Δd为
???Δd＝d1-d （b）??
横向线应变ε′为
??ε′＝Δd/d （2-7）??
对于拉杆，Δd与ε′都为负；对于压杆，Δd与ε′都为正。
2?4?2〓横向变形
大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用ν表示，即
??ν＝|ε′/ε| （c）
ν是一个量纲为1的量，其数值随材料而异。弹性模量E和泊松比ν是材料固有的两个弹性常数。
?
考虑到ε′与ε的正负号恒相反，由式（c）和式（2-6）可得
??ε′＝-νε＝-νσ/E（2-8）
利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。
【例2-5】一木方柱（图2-13）受轴向荷载作用，横截面边长a＝200mm，材料的弹性模量E＝10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。
??
【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为
?? FNBC＝-100?kN? FNAB＝-260?kN?
各段柱的纵向变形为
?? ΔlBC＝FNBC/EA
＝ -100×103N×2m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
图2-13
? ΔlAB＝FNAB/EA＝ -260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.975×10-3m＝-0.975mm???
各段柱的纵向线应变为
? εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝-2.5×10-4?
εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4
全柱的总变形为两段柱的变形之和，即
?Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475?mm
【例2-6】如图2-14（a）所示等截面直杆，已知 其原长l、横截面积A、材料的容重γ、弹性模量E、受杆件自重和下端处集中力F作用。求该杆下端面的位移ΔB。
【解】如图2-14（b）所示。距B端为x的横截面上的轴力为
??FN（x）＝F＋γAx??
微段dx如图2-14（c）所示。
略去两端内力的微小差值，则微段的变形为
??? d（Δl）＝FN（x）dx/EA??
图2-14
积分得全杆的变形即B端的位移为
??ΔB＝Δl＝∫10d（Δl）＝∫10（FN（x）dx/EA）
＝∫10（F+γAx/EA）dx=（Fl/EA）+（W/2）l/EA
式中：W＝γAl——杆的自重。由此可知，等直杆由自重引起的变形，等于将杆重的一半作用于杆端所引起的变形。
【例2-7】一直径d＝10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0021mm，设材料的弹性模量E＝210GPa，泊松比ν＝0.3，求轴向拉力F。
【解】由于已知杆的直径缩小量，故先求出杆的横向线应变为
??ε′＝-Δd/d=-0.0021mm/10mm＝-2.1×10-4??
由式（2-8），杆的纵向线应变为
?? ε＝-ε′/ν＝7×10-4???
根据胡克定律可得横截面上的正应力为
?? σ＝Eε＝210×109Pa×7×10-4＝147×106Pa＝147MPa??
? 故 F＝σA＝147×106Pa×π/4× （0.01m）2＝11.54×103N＝11.54kN??
2-5〓材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。
本节低碳钢（含碳量＜0.25％）和铸铁两类材料为例，介绍材料在常温、静载（指从零缓慢地增加到标定值的荷载）下拉压时的力学性能。
1? 低碳钢在拉伸时的力学性能
为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件如图2-15所示，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。
?
2?5?1〓材料在拉伸时的力学性能
图2-15
试验时将试件的两端装在试验机的夹头中，缓慢平稳地加载直至拉断。通过试验，可以看到随着拉力F的逐渐增加，试件的伸长量Δl也在增加。如取一直角坐标系，横坐标表示变形Δl，纵坐标表示拉力F，则在试验机的自动绘图装置上可以画出Δl与F之间的关系曲线，这条曲线称为拉伸曲线.图2-16为Q235钢的拉伸曲线。
图2-16
为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性能，将拉力F除以试件的原横截面面积A0，得到应力σ=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量Δl除以标距的原有长度l0，得到应变ε=Δl/l0作为横坐标，这样就得到一条应力σ与应变ε之间的关系曲线（图2-17），称为应力-应变曲线或σ-ε曲线。
图2-17
（1） 低碳钢拉伸过程的四个阶段
? 根据应力-应变曲线，低碳钢的拉伸过程可分为以下四个阶段：
?
1) 弹性阶段。
? σ-ε曲线上OB段为弹性阶段。在此阶段内，如果卸除荷载，则变形能够完全消失，即发生的是弹性变形，故称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高值称为弹性极限，用σ-e?表示，即B点处的应力值。
在此阶段内，除AB这一小段外，OA段为直线，应力与应变成线性关系，材料服从胡克定律，因此图中直线OA的斜率即为材料的弹性模量E，即E=tanα。在σ-ε曲线上对应于点А的应力，表示应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限，用σ-p表示。Q235钢的比例极限σ-p?=200MPa。由于比例极限与弹性极限非常接近，常将两者视为相等。
2) 屈服阶段。
? BC段称为屈服阶段，此阶段σ-ε曲线沿着锯齿形上下摆动，应力基本保持不变而应变却急剧增加，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段中，对应于曲线最高点与最低点的应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。下屈服极限值较稳定，故一般将其作为材料的屈服极限，用σ-s表示。
如果试件表面经过磨光，屈服时试件表面会出现一些与试件轴线成45°的条纹（图2-18）称为滑移线，这是由于材料内部晶格之间产生相对滑移而形成的。
? 材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此屈服极限σ-s是衡量材料强度的重要指标。
图2-18
3) 强化阶段。
屈服阶段以后的CD段，σ-ε曲线又开始逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续发生变形必须增加外力，这种现象称为材料的强化。这一阶段称为强化阶段。强化阶段曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限或抗拉强度，用σ-b表示，Q235钢的强度极限σ-b=400MPa。
4) 颈缩阶段。
在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。当应力达到强度极限σ-b后，试件的变形开始集中于某一局部区域内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象（图2-19）。由于局部截面的收缩，试件继续变形所需拉力逐渐减小，直至在曲线的E点，试件被拉断。故DE段称为颈缩阶段。
图2-19
试件拉断后，弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变（O3O）永远残留（图2-17）。试件工作段的长度由l0伸长到l，断口处的横截面面积由原来的A0缩减到现在的A。通常用它们的相对残余变形来衡量材料的塑性性能。工程中反映材料塑性性能的两个指标分别为
? 延伸率δ=(l-l0)/l0×100%?（2-9）
断面收缩率ψ=(A0-A)/A0×100% （2-10）
Q235钢的延伸率δ=20%～30%，断面收缩率ψ=60%～70％。
工程中常把δ>5％的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把δ<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。
（2） 冷作硬化
? 在拉伸试验过程中，当应力达到强化阶段任一点G时，逐渐卸除荷载，则应力与应变之间的关系将沿着与OA近乎平行的直线O1G回到O1点，如图2-20所示。O1O2这部分弹性应变消失，而OO1这部分塑性应变则永远残留。如果卸载后重新加载，则应力与应变曲线将大致沿着O1GDE的曲线变化，直至断裂。
?
图2-20
由此可以看出，重新加载后材料的比例极限提高了，而断裂后的塑性应变减少了OO1。这种在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载再重新加载时，比例极限σ-p提高而塑性变形降低的现象称为材料的冷作硬化。
在实际工程中常利用冷作硬化提高材料的强度。例如冷拉后的钢筋比例极限提高了，可以节约钢材的用量，降低结构造价。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些时候则要避免或设法消除冷作硬化。
2? 其他塑性材料在拉伸时的力学性能
图2-21给出了几种塑性材料的σ-ε曲线。可以看出，除了16Mn钢与低碳钢的σ-ε曲线比较相似外，一些材料（如铝合金）没有明显的屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶段则都比较明显；另外一些材料（如MnV钢）则只有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。
图2-21
对于没有屈服阶段的塑性材料，国家标准规定以产生0.2％塑性应变时的应力值作为材料的名义屈服极限，用σ0.2表示（图2-22）。
图2-22
3? 铸铁等脆性材料在拉伸时的力学性能
? 灰铸铁（简称铸铁）是工程中广泛应用的一种材料。将铸铁标准拉伸试件，按低碳钢拉伸试验同样的方法进行试验，得到铸铁拉伸时的应力-应变曲线如图2-23所示。由应力-应变曲线可以看出，它没有明显的直线段，应力与应变不成正比关系。
图2-23
在工程计算中通常以产生0.1%的总应变所对应的曲线的割线斜率来表示材料的弹性模量，E=tanα。铸铁在拉伸过程中，没有屈服阶段，也没有颈缩现象。拉断时应变很小，约为0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。拉断时的应力称为强度极限或抗拉强度，用σ-b表示。强度极限σ-b是衡量脆性材料强度的唯一指标。
常用灰铸铁的抗拉强度很低，约为120～180MPa。由于铸铁等脆性材料拉伸的强度极限很低，因此不宜用于制作受拉构件。
1? 塑性材料在压缩时的力学性能
金属材料的压缩试件一般采用圆柱形的短试件，试件高度与截面直径的比值为1.5～3。
低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图2-24所示，同时在图2-24中用虚线表示拉伸时的应力-应变曲线。
2?5?2〓材料在压缩时的力学性能
由图可以看出，在屈服阶段以前，低碳钢拉伸与压缩的应力-应变曲线基本重合。因此，低碳钢压缩时的弹性模量Ε、屈服极限σ-s都与拉伸试验的结果基本相同。
图2-24
在屈服阶段后，试件出现了显著的塑性变形，越压越扁，由于上下压板与试件之间的摩擦力约束了试件两端的横向变形，试件被压成鼓形，如图2-24所示。由于横截面不断增大，要继续产生压缩变形，就要进一步增加压力，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲线呈上翘趋势。由此可见，低碳钢压缩时的一些性能指标，可通过拉伸试验测出，而不必再作压缩试验。
一般塑性材料都存在上述情况。但有些塑性材料压缩与拉伸时的屈服极限不同。如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还要测定其压缩时的屈服极限。
2? 脆性材料在压缩时的力学性能
图2-25所示为铸铁压缩时的应力-应变曲线（图中也大致画出了拉伸时的应力－应变曲线）。铸铁拉、压时的应力-应变曲线都没有明显的屈服阶段。但压缩时塑性变形较明显。
铸铁的抗压强度σ-c远大于抗拉强度σ-b，大约为抗拉强度的4～5倍。破坏时不同于拉伸时沿横截面，而是沿与轴线约成45°～55°的斜截面破坏（图2-26），这说明铸铁的压缩破坏是由于超过了材料的抗剪能力而造成的。
图2-25 图2-26
混凝土是由水泥、石子、沙子三种材料用水拌和经过凝固硬化后而成的人工石料。图2- 27为混凝土拉、压时的σ-ε曲线，由图可知混凝土的抗压强度为抗拉强度的10倍左右。
图2- 27
混凝土压缩时，破坏形式与端部摩擦有关。图2-28（a）是立方体试块端部未加润滑剂时的破坏情况。由于两端未加润滑剂，压板与混凝土之间的摩擦力约束了试件两端的变形，因此试件破坏时先自中间部分开始四面向外逐渐剥落形成X状。
图2-28（b）则由于加润滑剂后两端摩擦约束力较小，因此沿纵向裂开。两种破坏形式所对应的抗压强度不同，后者破坏荷载较小。工程中统一规定采用两端不加润滑剂的试验结果，来确定材料的抗压强度。
由于铸铁、混凝土等脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，宜用于制作承压构件。如底座、桥墩、基础等。
图2-28
1? 强度——极限应力
通过拉压试验，可以测出反映材料强度的两个性能指标，即σs和σb。对低碳钢等塑性材料，当应力达到屈服极限σs（σ0.2）时，会产生显著的塑性变形，影响构件正常工作；而对铸铁等脆性材料，当应力达到抗拉强度σb或抗压强度σc时，会发生断裂，丧失工作能力。?
2?5?3〓材料在拉压时力学性能的主要参数
工程中将塑性材料的屈服极限σs（σ0.2）和脆性材料的抗拉强度σb（抗压强度σc）统称为极限应力，用σ0表示，即
? 塑性材料： σ0=σs或σ0=σ0.2?
? 脆性材料： σ0=σb和σ0=σc
2? 塑性——延伸率δ和断面收缩率ψ
? 通过拉压试验，可以测出反映材料塑性性能的两个指标，即δ和ψ。我们知道δ>5%的材料为塑性材料，δ<5%的材料为脆性材料。Q235钢的延伸率δ=20%～30%，是典型的塑性材料。而铸铁的延伸率δ=0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。?
塑性材料和脆性材料的力学性能主要有以下区别：
? 1） 塑性材料的延伸率大，塑性好；脆性材料的延伸率小，塑性差。塑性材料适宜制作需进行锻压、冷拉或受冲击荷载、动力荷载的构件。而脆性材料则不宜。
2） 塑性材料在屈服阶段前抗拉压能力基本相同，使用范围广。受拉构件一般采用塑性材料；脆性材料抗压能力远大于抗拉能力，且价格低廉又便于就地取材，所以适宜制作受压构件。
必须指出，材料的上述划分是以常温、静载和简单拉伸的前提下所得到的δ为依据的，而温度，变形速度，受力状态和热处理等都会影响材料的性质，材料的塑料和脆性在一定条件下可以相互转化。
3? 弹性——E、ν、G
通过拉压实验，可以测出反映材料弹性性能的指标：弹性模量E，泊松比ν，以后还会遇到切变模量G。对线弹性材料，三个弹性常数之间有如下的关系：
??G=E/2（1+ν） （2-11）
? 构件工作时构件内的最大应力称为最大工作应力。由拉压试验知，当构件内的最大工作应力达到极限应力σ0时就会发生断裂破坏或丧失工作能力。这在工程中是不允许的。要使构件能安全正常地工作，要求构件内最大工作应力小于极限应力σ0。也就是要求塑性材料的最大工作应力小于屈服极限σs（或σ0.2），脆性材料的最大工作应力小于强度极限σb（或σc）。?
2?5?4〓安全因数、许用应力
因此还必须要考虑到以下几个方面的因素：
1） 计算简图与实际结构之间存在着差异。计算简图不能精确反映实际结构的工作情况，计算公式和结果是近似的。
?
2） 材料的不均匀性。由少量材料制作试件而测定的力学性能并不能完全真实地反映构件所用材料的力学性能。
? 3） 荷载值的偏差。设计时荷载的估计和计算不精确，不能完全反映结构的实际受力情况。
4） 构件需要有必要的强度储备。构件在工作期间应保证在遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件（如温度变化、腐蚀），以及施工质量问题，地震作用和国防上的需要时也不致发生破坏。在意外因素相同的情况下，对因破坏造成严重后果的构件或工作条件恶劣的构件，强度储备要大一些，反之则可小些 。
因此，为了保证构件能安全正常地工作，必须将构件的工作应力限制在比极限应力σ0更低的范围内，即将材料的极限应力打一个折扣，除以一个大于1的因数n以后，作为构件最大工作应力所不允许超过的数值，这个应力值称为许用应力，用［σ］表示，即
??［σ］=σ0/n （2-12）
对于塑性材料
［σ］=σs/ns或［σ］=σ0.2/ns?（2-13）
对于脆性材料
［σ］=σb/nb或［σ］=σc/nb? （2-14）
式中：ns、nb——塑性材料和脆性材料的安全因数。一般nb>ns。
安全因数的选取关系到构件的安全与经济，安全因数取得过大，使构件粗大笨重，浪费材料；取得过小，构件又不安全。因此安全因数的选取原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全因数来提高许用应力。
安全因数的确定是一件复杂的工作，一般情况下，在工业的各个部门都指定有自己的安全因数规范供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取ns=1.4～1.7，对脆性材料一般取nb=2.5～5。
2?6〓拉压杆的强度计算
由上一节知，要保证拉压杆不致因强度不足而破坏，应使杆的最大正应力σmax不超过材料的许用应力［σ］，即
??σmax≤［σ］ （2-15）??
这就是拉压杆的强度条件。对于等直杆，由于σmax＝FNmax/A，所以强度条件可写为
??σmax＝FNmax/A≤［σ］ （2-16）
根据强度条件，可以解决工程中三种不同类型的强度计算问题：
1） 强度校核。 已知杆的材料、尺寸和承受的荷载（［σ］、A和FNmax），要求校核杆的强度是否足够。此时只要检查式（2-16）是否成立。
2） 设计截面尺寸。 已知杆的材料、承受的荷载（［σ］、 FNmax ），要求确定横截面面积或尺寸。为此，将式（2-16）改写为
?? A≥FNmax/［σ］ （a）??
据此可算出必须的横截面面积。根据已知的横截面形状，再确定横截面尺寸。
当采用工程中规定的标准截面时，可能会遇到为了满足强度条件而需选用过大截面的情况。为经济起见，此时可以考虑选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在5%以内，即
（σmax-［σ］）/［σ］×100%＜5（b）
3） 确定许用荷载。 已知杆的材料和尺寸（［σ］和A），要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，将式（2-16）改写为
??FNmax≤A［σ］ （c）??
先计算出杆所能承受的最大轴力，再由荷载与轴力的关系，计算出杆所能承受的最大荷载。
【例2-8】如图2-29（a）所示三铰屋架的拉杆采用16锰圆钢，直径d=20mm。已知材料的许用应力［σ］=200MPa，试校核钢拉杆的强度。
【解】三铰屋架的计算简图如图2-29（b）所示。
? 1） 求支座反力。取整个屋架为研究对象［图2-29（b）］，利用对称性，得
? FA＝FB＝1/2×20m×q
＝1/2×20m×4kN/m＝40kN???
图2-29
2） 求拉杆的轴力。取半个屋架为研究对象［图2-29（c）］，由平衡方程
??∑MC＝0
3.5m×FN＋10m×q×10/2m-10m×FA＝0得
FN＝1/3.5m×（10m×FA-10m×q×5m）
＝1/3.5m×（10m×40kN-10m×4kN/m×5m）＝57.1?kN??
3） 求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，故杆的最大正应力为
?σmax = FN/A=FN/（π/4d2）
=57.1×103N/（π/4×202×10-6）m2
= 182×106Pa = 182MPa?
4） 校核拉杆的强度。因为
?σmax = 182MPa＜［σ］ = 200MPa???所以钢拉杆的强度是足够的。
【例2-9】图2-30（a）所示钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。已知角钢的材料为Q235钢，其许用应力［σ］＝170MPa，试为杆EH选择所需角钢的型号。
【解】1） 求支座反力。取整个桁架为研究对象［图2-30（a）］，由对称性，得
FA＝FB＝F＝220?kN???
图2-30
2） 求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分为研究对象［图2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得
FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 计算杆EH的横截面积。由式（2-16），有
?A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
4） 选择等边角钢的型号。型钢是常用的标准截面。等边角钢是型钢的一种。它的型号用边长的厘米数表示，在设计图上则常用毫米数来表示。由型钢规格表查得，厚度为6mm的7.5号等边角钢的横截面面积为879.7mm2，用两个这样的等边角钢组成的杆的横截面面积为879.7mm2×2＝1759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，选75×6。
【例2-10】如图2-31（a）所示三角形托架，AB为钢杆，其横截面面积为A1＝400mm2，许用应力［σ］＝170MPa?；BC为木杆，其横截面面积为A2＝10000mm2，许用压应力为［σc］＝10?MP。求荷载F的最大值Fmax 。
【解】1） 求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象［图2-31（b）］，
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0??得
FN2＝F/sin30°=2F（压）
∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0?得
FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
图2-31
?2） 计算许用荷载。由式（2-16），AB杆的许用轴力为 FN1＝31/2F ≤A1［σ］??
所以对于AB杆，许用荷载为
F≤A1［σ］/31/2 =400×10-6m2×170×106Pa/31/2＝39 300N＝39.3kN
同样，对于BC杆，许用轴力为 FN2＝2F≤A2［σc］许用荷载为
??F≤A2［σc］/2=10 000×10-6m2×10×106Pa/2 ＝50 000N＝50kN?为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为 Fmax＝39.3?kN??
【例2-11】图2-32（a）表示一等直杆，其顶部受轴向荷载F的作用。已知杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为γ，许用应力为［σ］，试写出考虑杆自重时的强度条件。
【解】杆的自重可看作沿轴线均匀分布的荷载［图2-32（a）］。应用截面法［图2-32（b）］，杆的任一横截面m-m上的轴力为
??FN(x)＝-（F＋γAx）??
负号表示轴力为压力。
图2-32
由此作出杆的轴力图如图2-32（c）所示。根部横截面上的轴力最大，其值为
??FNmax＝F＋γAl（压）??
由式(2-16)，杆的强度条件为
??σmax＝FNmax/A＝F/A＋γl≤［σ］??
或
??F/A≤［σ］-γl??
当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了γl。若γl/［σ］<<1，则自重对杆的影响可以忽略；若γl/［σ］有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。例如，有一长l＝10m的等直钢杆，钢的容重γ＝76 .440N/m3，许用应力［σ］＝170MPa，则γl/［σ］＝0.45%<<1；若有同样长度的砖柱，砖的容重γ＝17.640N/m3，许用应力［σ］＝1.2MPa?，而γl/［σ］＝15%。
一般地，金属材料制成的拉压杆在强度计算中可以不考虑自重的影响（有些很长的杆件，如起重机的吊缆、钻探机的钻杆等除外）；但对砖、石、混凝土制成的柱（压杆）在强度计算中应该考虑自重的影响。
当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上的正应力σmax来设计截面，把杆制成等直杆，那么只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力［σ］，其他横截面上的应力都比［σ］小，显然造成了材料的浪费。
因此，为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等于材料的许用应力［σ］，这样设计的杆称为等强度杆，其形状如图2-33（a）所示。不过，等强度杆的制作复杂而且昂贵，故在工程中，一般都制成与等强度杆相近的阶梯形杆［图2-33（b）］或截锥形杆［图2-33（c）］。
图2-33
2?7〓应力集中的概念
在工程中，常因实际需要而在杆件上开槽、钻孔、车削螺纹等，这就引起了杆件横截面尺寸的突然改变。实验和理论分析表明，在截面突变处附近，应力的数值急剧增加。这种由于截面尺寸突然改变而引起的局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
例如开有圆孔和带有切口的板条［图2-34（a）、（d）］，当其受拉时，在横跨圆孔或切口的截面上，靠近圆孔或切口的局部区域内，应力很大，而在离开这一区域稍远处，应力就小得多，且趋于均匀分布［图2-34（b）、（e）］。在离圆孔或切口稍远的截面上，应力是均匀分布的［图2-34（c）］。
图2-34
图2-34试验表明，截面尺寸改变得越急剧，孔越小、角越尖，局部出现的最大应力σmax就越大。通常用最大局部应力σmax与按削弱后的净面积An［图2-34（b）、（e）中画有阴影线的面积］算得的平均应力
??σm＝FN/An??
的比值α来表示应力集中的程度，即
??α＝σmax/σm （2-17）??
式中：α——应力集中因数。它是一个大于1的因数。
对于工程中各种典型的应力集中情况，如开孔、浅槽、螺纹等，其应力集中因数α可在有关的设计手册中查到，该值约在1.2～3之间。查出α后，利用式（2-17）算得最大局部应力σmax，即可进行强度计算。
应该指出，在静荷载作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料所产生的影响是不同的。塑性材料因具有屈服阶段，当应力集中处的最大应力σmax达到屈服极限σs时，仅此局部产生塑性变形，只有荷载继续加大，尚未屈服区域的应力才随之增加而相继达到σs。?
因此，像钢等塑性材料在静荷载作用下，可以不考虑应力集中的影响。脆性材料则不同，当应力集中处的最大应力σmax达到强度极限σb时，局部就出现裂纹，从而产生断裂。因而，像混凝土等脆性材料应考虑应力集中的影响。但在随时间作周期性变化的荷载或冲击荷载作用下，则不论是塑性材料还是脆性材料，应力集中的影响都必须加以考虑。
应力集中对于杆件的工作是不利的。因此，在设计时应尽可能使杆的截面尺寸不发生突变，并使杆的外型平缓光滑，尽可能避免带尖角的孔、槽和划痕等，以降低应力集中的影响。
2?8〓拉压超静定问题
2?8?1 〓超静定的概念
图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35（c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35（d）］。
这些增加的约束对保证杆件或结构的平衡及几何形状不变来说并非是必要的，称之为多余约束。多余约束必然带来相应的未知约束力，称之为多余未知力。
图2-35
显然，此时杆件或结构需求的约束力和内力的个数已超过静力平衡方程的个数，故不能由静力平衡方程全部求出这些约束力和内力。这样的杆件或结构称为超静定杆件或超静定结构，这种问题称为超静定问题。我们把全部未知力的个数与独立静力平衡方程个数的差值，称为超静定次数。超静定次数也等于多余约束的个数。
超静定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未知量，但若再考虑构件的变形，超静定问题是可以解决的。
现以图2-36（a）所示等直杆AB为例，说明超静定问题的基本解法。由于作用于杆上的荷载F是轴向力，所以支座A、B处的反力FA、FB必定沿杆轴线，设它们的指向如图2-36（b）所示。F、FA、FB组成共线力系，对它只能列出一个独立的平衡方程，即
?? FA ＋FB-F＝0 （a）?
而未知力有两个，故为一次超静定问题。
2?8?2 〓超静定问题的基本解法
图2-36
应设法再建立一个补充方程，才能求解 。在所设FA、FB的指向下，杆的AC段受拉，BC段受压。考虑到杆的两端固定，杆的总变形应该等于零。因此，杆件上、下两段的变形就不是“自由”的，而是彼此相容和协调的，即AC段的伸长ΔlAC应等于BC段的缩短（绝对值）ΔlBC［图2-36（c）］
???ΔlAC＝ΔlBC? （b）?
这就是杆上、下两段变形的几何关系，也称为变形协调条件。
再利用力与变形的物理关系，即胡克定律，得
?ΔlAC＝FAa/EA, ?ΔlBC＝FBb/EA （c）??将式（c）代入式（b），即得补充方程为
??FAa/EA＝FBb/EA （d）??
联立求解式（a）和（d），得
??FA＝Fb/l， FB＝Fa/l??
结果均为正，说明FA、FB的指向与假设相同。
【例2-12】图2-37（a）所示结构中水平横梁AB设为刚性杆，其变形可以不计。1、2两杆拉压刚度分别为E1A1和E2A2，求在荷载F作用下，两杆的轴力。
【解】1） 列静力平衡方程。取横梁AB为研究对象，其受力如图2-37(b)所示。这是一个平面一般力系，可列出三个平衡方程，而未知力是四个，故是一次超静定问题。因我们只需要求两杆的轴力FN1和FN2，故只列出平衡方程 ∑MA＝0
FN1a＋2FN2a-3Fa＝0??
即 FN1＋2FN2-3F＝0 （a）
图2-37
2） 列补充方程。横梁AB是刚性杆，它在荷载F作用下仅倾斜了一个角度［图2-37（b）中虚线AB′］。由图可见，两杆的变形Δl1与Δl2的几何关系为 Δl1/Δl2＝a/2a? （ b）
即 ?Δl2=2Δl1?? 由胡克定律得
???Δl1=FN1l/E1A1, ?Δl2=FN2l/E2A2 （c）?将式（c）代入式（b），得补充方程为
??FN2/E2A2=2FN1/E1A1 （d）??
3） 计算两杆的轴力。联立求解式（a）与（d），得
??FN1=3F/1+4E2A2/E1A1 （拉）
FN2=6F/4+E1A1/E2A2（拉） （e）
从式（e）可以看出，超静定结构（杆）各部分的内力不仅与荷载有关，而且还与各部分的刚度之比有关，其本身的刚度越大，内力也越大；任一部分刚度的改变，都将引起所有部分内力的重新分配。在静定结构（杆）中，各部分的内力仅与荷载有关。这是超静定问题区别于静定问题的一个特点。
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
?1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
??∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0
∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a）??
可见这是一次超静定问题。
?2） 列补充方程。设杆3伸长了Δl3，杆1、2分别缩短了Δl1与Δl2。由对称性可知，Δl1＝Δl2。由图2-38（a），变形的几何关系为
???Δl3＋FN3l/cosα=δ??
将 Δl3＝FN3l/EA, Δl1＝（-FN1l/cosα）/EA??
代入上式，得补充方程为
??FN3l/EA+FN1l/EAcos2α＝δ （b）??
3） 计算三杆的轴力。联立求解式（a）与（b），得
??FN1＝FN2＝δEAcos2α/l（1+2cos3α）（压）
FN3＝2δEAcos3α/l（1+2cos3α）（拉）??
4） 计算三杆的应力。三杆的应力分别为
??σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α）
＝6.52×106?Pa＝6.52 MPa?（压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α）
＝11.3×106?Pa＝11.3 MPa?（拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配应力是在结构（杆）未受荷载作用之前产生的，故属于初应力。而对于静定问题，例如图2-38（c）所示结构，如果其中的AB杆制作得稍长了些，装配后只不过使三角形ABC稍有偏移，不会在两杆内引起应力。装配应力的存在，有时是不利的，应加以避免，但有时也可用它来达到一定的目的。例如土木工程中的预应力钢筋混凝土构件和机械制造中的紧配合等，都是有意识地利用装配应力的例子。
【例2-14】图2-39(a)所示两端固定的钢杆AB，长为l,横截面面积为A，材料的弹性模量E＝200GPa，线膨胀系数αl＝12.5×10-6 1／℃。求温度升高ΔT＝20℃时，杆的应力。
【解】1） 列静力平衡方程。当温度升高时，杆将伸长，但由于两端支座的阻挡，使杆不能自由伸长。这说明杆端支座产生了约束反力FA、FB［图2-39（a）］。由平衡方程得
??FA＝FB＝F （a）?? 这是一次超静定问题。
图2-39
?2） 列补充方程。如果没有B端的多余约束，杆因温度升高而引起的伸长变形为Δlt?［图2-39（b）］，杆在支座反力作用下产生的压缩变形为ΔlF［图2-39（c）］，由于杆被支座强制维持其原来的长度，所以变形的几何关系为
???Δlt＝ΔlF??
利用线膨胀定律和胡克定律，可得
???Δlt＝αlΔTl，ΔlF＝Fl/EA??
故补充方程为
??αlΔTl＝Fl/EA （b）??
3） 计算杆的应力。由式（b）得
??F＝αlΔTEA??
杆的应力为
??σ＝FN/A＝F/A＝αlΔTE＝50?MPa（压）??
在工程中，由于工作环境温度的改变或季节的变更等原因，杆件会处于温度变化的工作状态。对于静定问题，例如图2-39（b）所示杆，它可以自由伸缩，不会在杆内引起应力。而对于超静定问题，因存在多余约束，致使杆的变形受到限制，杆内将产生应力。这种由于温度变化而产生的应力称为温度应力，它也属于初应力。
工程中常采取一些措施来降低温度应力。例如，在两段钢轨间预留空隙，在混凝土路面及房屋建筑中设置伸缩缝，桥梁、桁架的一端采用活动铰支座等。
2?9〓连接件的实用计算
工程中的构件之间，往往采用铆钉、螺栓、销轴以及键等部件相互连接（图2-40）。 起连接作用的部件称为连接件。连接件在工作中主要承受剪切和挤压作用。由于连接件大多为粗短杆，应力和变形规律比较复杂，因此理论分析十分困难，通常采用实用计算法。
图2-40
? 现以铆钉为例［图2-41（a）］，介绍剪切的概念及其实用计算。当上、下两块钢板以大小相等、方向相反、作用线相距很近且垂直于铆钉轴线的两个力F作用于铆钉上时，铆钉将沿m-m截面发生相对错动，即剪切变形［图2-41（b）］。如力F过大，铆钉会被剪断。M-m截面称为剪切面。
2?9?1 〓剪切的实用计算
图2-41
应用截面法，将铆钉假想沿m-m截面切开，并取其中一部分为研究对象［图2-41(c)］，利用平衡方程求得剪切面上的剪力FS＝F。
在剪切的实用计算中，假定切应力在剪切面上均匀分布，因而有
??τ＝FS/AS? （2-18）??
式中：AS——剪切面面积；
FS——剪切面上的剪力。
???
剪切强度条件为
??τ＝FS/AS≤［τ］ （2-19）??
式中：［τ］——连接件的许用切应力。［τ］由剪切破坏试验确定。对于钢材，其许用切应力与许用拉应力之间大致有如下关系：
??［τ］＝（0.6～0.8）［σ］
图2-41(a)所示的铆钉在受剪切的同时，在钢板和铆钉的相互接触面上，还会出现局部受压现象，称为挤压。这种挤压作用有可能使接触处局部区域内的材料发生较大的塑性变形而破坏（图2-42）。连接件与被连接件的相互接触面，称为挤压面（图2-42）。挤压面上传递的压力称为挤压力，用Fbs表示。挤压面上的应力称为挤压应力，用σbs表示。
2?9?2 〓挤压的实用计算
图2-42
在挤压的实用计算中，假定挤压应力在挤压面的计算面积Abs上均匀分布，因而有
??σbs＝Fbs/Abs??（2-20）
挤压强度条件为
??σbs＝Fbs/Abs≤［σbs］ （2-21）??
式中：［σbs］——材料的挤压许用应力，由试验测定。对于钢材，其挤压许用应力［σbs］与许用拉应力［σ］之间大致有如下关系：
??［σbs］＝（1.7～2.0）［σ］??
图2-43
上两式中的挤压面计算面积Abs规定如下：当挤压面为平面时（如键连接），Abs即为该平面的面积；当挤压面为半圆柱面时（如铆钉、螺栓连接），Abs为挤压面在其直径平面上投影的面积［图2-43(b)中阴影线部分的面积］。这是由于这样算得的挤压应力值，与理论分析所得的最大挤压应力值相近［图2-43（a）］。
【例2-15】拖车挂钩用销轴连接［图2-44（a）］。销轴材料的许用应力［τ］＝30?MPa?，［σbs］＝80MPa。挂钩与被连接的板件厚度分别为δ1＝8mm，δ2＝12mm。拖车拉力F＝15kN。试确定销轴的直径d。
【解】1） 由销轴的剪切强度条件确定销轴直径d。根据销轴的受力情况［图2-44（b）］，销轴有m-m和n-n两个剪切面，这种情况称为双剪切。取销轴中段为研究对象［图2-44（c）］，由平衡方程?∑X＝0，
? 得 ?FS＝F/2?? 根据剪切强度条件
τ＝FS/AS＝（F/2）/（πd2/4）≤［τ］
图2-44
??
可得 d≥（2F/π［τ］）1/2
＝（2×15×103N/π×30×106Pa）1/2
＝ 17.8×10-3m
2） 由销轴的挤压强度条件确定销轴直径d。由于销轴上段及下段的挤压力之和等于中段的挤压力，而中段的挤压面计算面积为δ2d,小于上段及下段挤压面计算面积之和2δ1d［图2-44(b)］，故应按中段进行挤压强度计算。
由挤压强度条件?σbs＝Fbs/Abs＝F/δ2d≤［σbs］
可得 d≥F/（δ2［σbs］）
＝ 15×103N/12×10-3m×80×106Pa
＝15.6×10-3m?最后选取销轴直径d＝18mm。
【例2-16】图2-45表示一松木屋架的端结点。已知F1＝15kN，F2＝13kN；木材的顺纹许用切应力［τ］＝1MPa，顺纹许用挤压应力［σbs］＝10MPa，顺纹许用拉应力［σt］＝6MPa，与木纹成30°角的斜纹许用挤压应力［σbs］30°＝7.2MPa。求l和hc的尺寸。
【解】1） 由剪切强度条件决定l的尺寸。在上弦杆的压力F1的水平分力F1cosα和下弦杆的拉力F2作用下，下弦杆将沿截面m-m发生顺纹剪切。
剪力FS＝F2＝F1cosα，剪切面面积AS＝bl。由剪切强度条件
??τ＝FS/AS=F2/bl≤［τ］?得
??l≥F2/b［τ］
＝13×103N/80×10-3m×1×106Pa
＝0.163m＝163mm
图2-45
2） 由挤压强度条件决定hc的尺寸。在挤压面m-n处，下弦杆顺纹挤压，而上弦杆斜纹挤压。由已知条件可知，斜纹许用挤压应力低于顺纹许用挤压应力，故上弦杆的抗挤压能力弱，应对其进行计算。挤压力Fbs＝F2＝F1cosα，挤压面的计算面积Abs＝bhc。由挤压强度条件σbs＝Fbs/Abs＝F2/bhc≤［σbs］30°??
得 hc≥F2/b［σbs］30°
＝ 13×103N/80×10-3m×7.2×106Pa
＝ 0.023m＝23mm?
3） 校核下弦杆的拉伸强度。由于切槽、下弦杆的截面受到削弱。被削弱的截面n-n上的应力为
?σ＝FN/A＝F2/b（h-hc）
＝13×103N/80×(100-23)×10-6m2
＝2.11×106Pa＝2.11MPa＜［σt］
＝6MPa???可见满足抗拉强度要求。
第三章〓扭〓〓转
本章介绍扭转的有关概念，受扭杆件的外力和内力计算，圆轴扭转时的应力和变形，以及强度和刚度计算。简单介绍矩形截面杆自由扭转时的应力和变形。
? 在工程中，有很多承受扭转的杆件。例如汽车方向盘的操纵杆［图3-1（a）］，机器中的传动轴［图3-1（b）］，钻机的钻杆［图3-1（c）］以及房屋中的雨篷梁和边梁［图3-1（d）、（e）］等。工程中常把以扭转为主要变形的构件称为轴。本章主要研究圆轴的扭转。
3?1 〓工程实例和计算简图
图3-1
扭转杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。其变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两横截面之间的相对角位移称为扭转角，用φ表示。图3-2是受扭杆的计算简图，φ表示截面B相对于截面A的扭转角。扭转时杆的纵向线发生微小倾斜，表面纵向线的倾斜角用γ表示（图3-2）。
图3-2
3?2〓扭矩和扭矩图
3?2?1〓外力偶矩的计算
工程中作用于轴上的外力偶矩一般不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率。这时需先由转速及功率计算出相应的外力偶矩。
由理论力学知，矩为Me的外力偶产生角位移θ时，它所作的功为??W= Me θ??
轴转动一周时外力偶所作的功为
??W=2π Me ???
若轴的转速为n（单位为r／min），则外力偶每分钟所作的功为
??W=2πn Me ?（a）??
若功率用P表示（单位为kW），则外力偶每分钟所作的功也可表示为
??W=60×103P （N·m） （b）??
令式（a）等于式（b）?，可得外力偶矩的计算公式为
?? Me =9549P/n（3-1）??
式中： Me ——轴上某处的外力偶矩，单位为N·m；
P——轴上某处输入或输出的功率，单位为kW；
n——轴的转速，单位为r/min。
?确定了作用于轴上的外力偶矩之后，就可应用截面法求其横截面上的内力。设有一圆截面轴如图3-3（a）所示，在外力偶矩Me作用下处于平衡状态，现求任意m-m截面上的内力。
3?2?2〓扭矩
图3-3
假想将轴在m-m处截开，任取其中一段，例如取左段为研究对象［图3-3（b）］。由于左端有外力偶作用，为使其保持平衡，m-m截面上必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶矩，称为扭矩，用T来表示。由空间力系的平衡方程
??∑Mx=0 T-Me ＝0??得T＝Me???
若取右段为研究对象，也可得到相同的结果［图3-3（c）］，但扭矩的转向相反。
为了使同一截面上扭矩不仅数值相等，而且符号相同，对扭矩T的正负号作如下规定：使右手四指的握向与扭矩的转向一致，若拇指指向截面外法线，则扭矩T为正［图3-4（a）］，反之为负［图3-4（b）］。显然，在图3-3（b）中，m-m截面上的扭矩T为正。
与求轴力一样，用截面法计算扭矩时，通常假定扭矩为正。
图3-4
为了直观地表示出轴的各个截面上扭矩的变化规律，与轴力图一样用平行于轴线的横坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的纵坐标表示各横截面上扭矩的数值，选择适当的比例尺，将扭矩随截面位置的变化规律绘制成图，称为扭矩图。在扭矩图中，把正扭矩画在横坐标轴的上方，负扭矩画在下方。
3?2?3〓扭矩图
【例3-1】已知传动轴［图3-5（a）］的转速n＝300r／min，主动轮A的输入功率PA＝29kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。试绘出该轴的扭矩图。
【解】1） 计算外力偶矩。由式（3-1），轴上的外力偶矩为
MeA=9549PA/n=9549×29kW/300r/min=923?N·m?
MeB=9549PB/n=9549×7kW/300r/min=223?N·m?
MeC=MeD=9549PC/n=9549×11kW/300r/min=350?N·m2
图3-5
2） 计算各段轴内横截面上的扭矩。利用截面法，取1-1截面以左部分为研究对象［图3-5（c）］，由平衡方程 ∑Mx=0
T1+MeB=0? 得 T1=-MeB=-223N·m
T1为负值表示假设的扭矩方向与实际方向相反。
再取２-２截面以左部分为研究对象［图3-5（d）］，由平衡方程 ∑Mx=0 T2+MeC+MeB=0?
?得 T2=-(MeC+MeB)=-573?N·m?
最后取３-３截面以右部分为研究对象［图3-5（e）］，由平衡方程
??∑Mx=0 T3-MeD?=0??得 T3=MeD=350N·m???
3） 绘出扭矩图如图3-5（b）所示。由图可知，最大扭矩发生在CA段轴的各个截面上,其值为|T|max=573N·m。
3?3〓圆轴扭转时的应力和强度 计算
3?3?1〓圆轴的扭转试验
1? 扭转试验现象与分析
图3-6（a）所示为一圆轴，在其表面画上若干条纵向线和圆周线，形成矩形网格。扭转变形后［图3-6（b）］，在弹性范围内，可以观察到以下现象：
1） 各纵向线都倾斜了一个微小的角度γ，矩形网格变成了平行四边形。
2） 各圆周线的形状、大小及间距保持不变，但它们都绕轴线转动了不同的角度。
图3-6
根据以上观察到的现象，可以作出如下的假设及推断：
① 由于各圆周线的形状、大小及间距保持不变，可以假设圆轴的横截面在扭转后仍保持为平面，各横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。
② 由于各圆周线的间距保持不变，故知横截面上没有正应力。 ?
③ 由于矩形网格歪斜成了平行四边形，即左右横截面发生了相对错动，故可推断横截面上必有切应力τ，且切应力的方向垂直于半径。
④ 由于各纵向线都倾斜了一个角度γ，故各矩形网格的直角都改变了γ角，直角的改变量称为切应变。切应变γ是切应力τ引起的。
2? 切应力互等定理
设矩形网格ABCD沿纵向长为dx，沿圆周向长为dy，以它作为一个面，再沿半径方向取长为dz，截出一个微小正六面体，称为单元体，如图3-7所示。 当圆轴发生扭转变形时，横截面上有切应力τ，故单元体左、右面上有切应力τ。
图3-7
根据平衡条件，两个面上的切应力大小相等、方向相反，组成一个力偶，其矩为(τdydz)dx。为了保持单元体的平衡，在上、下面上必定还存在着切应力τ′，组成一个方向相反的力偶，其矩为（τ′dxdz）dy。由平衡方程∑xMz=0，得
??(τdydz)dx=（τ′dxdz）dy??
故? τ=τ′（3-2）??
上式表明，在单元体相互垂直的两个平面上，沿垂直于两面交线作用的切应力必然成对出现，且大小相等，方向共同指向或背离该两面的交线。这一结论称为切应力互等定理。图3-7所示单元体的两对面上只有切应力而没有正应力，这种应力情况称为纯剪切。
3? 剪切胡克定律
切应力越大，图3-7所示单元体的歪斜越厉害，即切应变γ越大。大量的试验表明：当切应力τ未超过材料的剪切比例极限τ-p时，切应力τ与其相应的切应变γ成正比。引入比例常数G，则可得到
??τ=Gγ （3-3）??
上式称为剪切胡克定律。式中的比例常数G称为材料的切变模量。它与材料的力学性能有关。对同一材料，切变模量G为常数，可由试验测定。G的单位与应力的单位相同。
? 下面从变形的几何关系、力和变形的物理关系及静力学关系推导横截面上切应力的分布规律。
?（1） 几何关系
从圆轴中截取长为dx的一段进行分析，如图3-8（a）所示。
3?3?2〓圆轴扭转时横截面上的切应力
图3-8
假想截面m-m固定不动，则截面n-n相对截面m-m绕轴线转动了一个角度dφ，其上的半径O2D也转过了角度dφ，而到达位置O2D′。相应地，纵向线AD倾斜了一个微小角度γ，该倾斜角即为圆轴表面A点处的切应变。同理，设半径O2D上任一点G的纵向线EG的倾斜角为γρ，γρ即为E点处的切应变。
令G点到轴线的距离为ρ，由几何关系知
??γρ≈tanγρ=GG′/EG=ρdφ/dx （a）??
由于在同一横截面处dφ/dx为一个常量，因此上式表明，横截面上任一点处的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。这就是变形的几何关系。
（2） 物理关系
设横截面上距圆心为ρ点处的切应力为τρ，由剪切胡克定律，有
??τρ=Gγρ （b）??
将式（a）代入式（b），得
??τρ=G(dφ/dx)ρ （c）??
因Gdφ/dx为常数，所以上式表明切应力的大小与ρ成正比，τρ沿任一半径的变化规律如图3-8（b）所示。可见同一半径ρ的圆周上各点处的切应力τρ相同，截面边缘各点处的切应力最大。
（3） 静力平衡关系
下面我们由静力平衡条件来确定dφ/dx的数值。如图3-8（b）所示，距圆心为ρ的微面积上的微内力为τρdA，其对圆心的矩为ρτρdA。因扭矩T为截面上的分布内力的合力，则有
??∫AρτρdA=T （d）??
将式（c）代入上式，整理得
??Gdφ/dx∫Aρ2dA=T （e）??
令 Ip=∫Aρ2dA （3-4）??则式（e）可写为
??dφ/dx=T/GIp （3-5）??
上式是研究圆轴扭转变形的基本公式。
将上式代入式（c）得
??τρ=Tρ/Ip （3-6）
式中：T——横截面上的扭矩；
ρ——横截面上任一点到圆心的距离；
Ip——横截面对圆心的极惯性矩，单位为mm4或m4。
式（3-6）就是圆轴扭转时横截面上任一点处切应力大小的计算公式。
切应力的方向则与半径垂直，并与扭矩的转向一致［图3-8（b）］。 由式（3-6）可知，当ρ=R时，切应力最大，最大切应力为
??τmax=TR/Ip 令 Wp=Ip/R （3-7）则有 τmax=T/Wp （3-8）
? 式中：Wp——扭转截面系数，单位为mm3或m3。
极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp是只与横截面形状、尺寸有关的几何量。
由式（3-4）及式（3-7）可算得，直径为D的圆截面和外径为D、内径为d的空心圆截面，它们对圆心的极惯性矩和扭转截面系数分别为
圆截面：Ip=πD4/32
Wp=πD3/16 （3-9）
空心圆截面：Ip=πD4/32 (1-α4) Wp=πD3/16(1-α4) （3-10）
式中：α=d/D——内、外径的比值。
【例3-2】空心圆轴的横截面外径D=90mm，内径d=85mm，横截面上的扭矩T=1.5kN·m（图3-9）。求横截面上内外边缘处的切应力，并绘出横截面上切应力的分布图。
【解】1） 计算极惯性矩。极惯性矩为
??Ip=π/32(D4-d4)=π/32×(904-804)mm4
=1.32×106 mm4?
2） 计算切应力。内外边缘处的切应力分别为：
图3-9
τ内=τA=T/Ip·d/2
=1.5×103×85/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=48.3×106Pa=48.3MPa?
τ外=τB=T/Ip·D/2
=1.5×103×90/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=51.1×106Pa=51.1MPa???
横截面上切应力的分布图如图3-9所示。
为使圆轴扭转时能正常工作，必须要求轴内的最大切应力τmax不超过材料的许用切应力［τ］，若用Tmax表示危险截面上的扭矩，则圆轴扭转时的强度条件为τmax =Tmax /Wp≤［τ］（3-11）
式中：［τ］——材料的许用切应力，通过试验测得。
3?3?3〓圆轴的强度计算
它与许用拉应力之间有如下关系：
? 塑性材料［τ］=（0.5～0.6）［σ］
? 脆性材料［τ］=（0.8～1.0）［σ］
利用式（3-11）可以对圆轴进行强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载等三类强度计算问题。
【例3-3】如图3-10（a）所示的空心圆轴，外径D=100mm,内径d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的许用切应力［τ］=50MPa ，试进行强度校核。
图3-10
【解】1） 求危险截面上的扭矩。绘出轴的扭矩图如图3-10（b）所示，BC段各横截面为危险截面,其上的扭矩为
??Tmax=4kN·m???
2） 校核轴的扭转强度。
截面的扭转截面系数为
Wp=π/16×0.13×（1-0.84）m3=1.16×10-4m3??
轴的最大切应力为
τmax=Tmax/Wp=4×103N·m/1.16×10-4m3=34.5×106 Pa?
=34.5MPa?<［τ］=50MPa?
可见轴是安全的。
【例3-4】实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌离合器连在一起，如图3-11所示。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=10kW，材料的许用切应力［τ］=20MPa。(1)选择实心轴的直径D1。(2)若空心轴的内外径比为1/2，选择空心轴的外径D2。(3)若实心部分与空心部分长度相等且采用同一种材料，求实心部分与空心部分的重量比。
图3-11
【解】轴承受的外力偶矩为
?Me=9549P/n=9549×10/100 N·m=955N·m???故轴任一横截面上的扭矩为 T=Me=955N·m
1） 选择实心轴的直径。
由强度条件
? τmax=T/Wp=16T/πD31〖SX)〗≤［τ］，得
??D1≥（16T/π［τ］）1/3=（16×955/π×20×106）1/3m=0.062m
2) 选择空心轴的外径D2。空心圆截面的扭转截面系数为：
Wp=πD32(1-α4)/16
=πD32 (1-0.54)/16=0.184D32??
由强度条件
τmax=T/Wp=T/0.184D32≤［τ］?
?得 D2≥（T/0.184［τ］）1/3
=（955N·m/0.184×20×106）1/3Pa
=0.0638m???
3） 实心部分与空心部分的重量比为
??W实/W空=A实/A空=D21/（D22-d22） =1.259??
显然空心轴比实心轴节省材料。
3?4〓圆轴扭转时的变形和刚度计算
3?4?1 〓圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时的变形通常是用两个横截面绕轴线转动的相对扭转角φ来度量的。在上节中已得到式（3-5），即 ?dφ/dx=T/GIp?
?式中：dφ——相距为dx的两横截面间的扭转角。
上式也可写成 dφ=T/GIpdx??
因此，相距为l的两横截面间的扭转角为 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12）??
若该段轴为同一材料制成的等直圆轴，并且各横截面上扭矩T的数值相同，则上式中的T、G、Ip均为常量，积分后得
φ=Tl/GIp （3-13）??
扭转角φ的单位为rad。
由上式可见，扭转角φ与GIp成反比，即GIp越大，轴就越不容易发生扭转变形。因此把GIp称为圆轴的扭转刚度，用它来表示圆轴抵抗扭转变形的能力。工程中通常采用单位长度扭转角，即 θ=dφ/dx?
? 由式（3-13），得?
θ=T/GIp（3-14）??
单位长度扭转角θ的单位为rad／m。
?对于承受扭转的圆轴，除了满足强度条件外，还要求它的扭转变形不能过大。例如，精密机床上的轴若产生过大变形则会影响机床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运转时产生较大振动。
3?4?2〓圆轴的刚度计算
因此必须对轴的扭转变形加以限制，即使其满足刚度条件：
?θmax=Tmax/GIp≤［θ］（3-15）
式中：［θ］——许用单位长度扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中查到。
在实际工程中［θ］的单位通常为°/m，刚度条件变为
θmax=Tmax/GIp×(180/π)≤［θ］ （3-16）?
一般情况下，对精密机械中的轴，其［θ］=（0.25～0.50°/m）之间；一般传动轴，其［θ］=（0.5～1.0°/m）之间；精密度较低的轴，［θ］=（1.0～2.5°/m）。
【例3-5】图3-12（a）所示的传动轴，在截面A、B、C三处输入或输出的功率分别为PA=100kW、PB=60kW、PC=40kW，轴的转速n=200r／min，轴的直径D=90mm，材料的切变模量G=80×103MPa，材料的许用切应力［τ］=60MPa，单位长度许用扭转角［θ］=1.1°/m。试校核该轴的强度和刚度。
【解】1） 计算外力偶矩。由式（3-1），
得 MeA=9549PA/n=9549×100kW/200r/min
=4.77×103N·m=4.77kN·m
MeB=9549PB/n=9549×60kW/200r/mi
=2.86×103N·m=2.86kN·m?
MeC=9549PC/n=9549×40kW/200r/min
=1.91×103N·m=1.91kN·m??
图3-12
? 2） 求危险截面上的扭矩。
绘出扭矩图如图3-12（b）所示。
由图可知，BA段各横截面为危险截面，其上的扭矩为
Tmax=2.86?kN·m???
3） 强度校核。截面的扭转截面系数和极惯性矩分别为
Wp=πD3/16=3.14×903×10-9m3/16
=1.43×10-4m3
Ip=πD4/32=3.14×904×10-12m4/32
=6.44×10-4m4??
轴的最大切应力为
τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa?
可见强度满足要求。
4） 刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14
=0.318°/m＜［θ］=1.1°/m???
可见刚度也满足要求。
【例3-6】一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，许用切应力［τ］=88.2MPa，单位长度许用扭转角［θ］=0.5°/m，承受的扭矩为T=39.6kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直径D。??
【解】1） 按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件式（3-11），即?τmax=Tmax/Wp=16T/πD3≤［τ］??
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
? 2） 按刚度条件设计轴的直径。由刚度条件式（3-16），即
θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ］??
得
??
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4
=（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m
=0.156m=156mm???
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
3?5〓矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
在土建工程中还经常会遇到非圆截面杆，例如矩形截面杆的扭转问题。在图3-13（a）所示矩形截面杆的表面画上若干纵向线和横向线，则在扭转后可看到所有横向线都变成了曲线［图3-13（b）］，这说明横截面不再保持为平面而变为曲面，这种现象称为翘曲。试验表明，非圆截面杆扭转时都会发生翘曲，圆轴扭转时的平面假设不再成立，应力和变形的计算公式也不再适用。
图3-13
当非圆截面杆不受任何约束时，横截面能自由翘曲，各截面翘曲的程度相同（图3-13），此时横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。若杆件受到约束，例如一端固定，则各截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，而且还有正应力，这种扭转称为约束扭转。
对于实体截面杆，由约束扭转所引起的正应力数值很小，可忽略不计；而对于薄壁截面杆，这种正应力往往较大，不能忽略。
非圆截面杆的扭转，必须用弹性力学的方法来研究。下面仅简单介绍矩形截面杆自由扭转的主要结论：
1） 矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布规律如图3-14所示。截面周边各点处的切应力平行于周边且与扭矩方向一致；在对称轴上，各点的切应力垂直于对称轴；其他各点的切应力是斜向的；角点及形心处的切应力为零；最大切应力τmax发生在长边中点处；短边中点处有较大的切应力τ1。
图3-14
2） 计算公式。最大切应力为
??τmax=T/Wp=T/αhb2 （3-17）??
短边中点处的切应力为
??τ1=γτmax?? （3-18）??
单位长度扭转角为
??θ=T/GIt=T/Gβhb3 （3-19）
式中：Wp——矩形截面的扭转截面系数， Wp=αhb2；
It——矩形截面的相当极惯性矩，It=βhb3；
α、β、γ——与矩形截面高宽比h／b有关的系数，可查表得出。
【例3-7】有一矩形截面的等直钢杆，其横截面尺寸为h＝100mm，b＝50mm，杆两端作用一对扭转力偶Me，已知Me＝4kN·m，钢的许用切应力［τ］＝100MPa，切变模量G＝80×103MPa，单位长度许用扭转角［θ］=1.2°/m。试对此杆进行强度和刚度校核。
【解】杆的扭矩为 T=Me=4kN·m???
由h/b=100mm/50mm=2，
查表8-1得α=0.246，β=0.229
τmax=T/αhb2
=4×103N·m/0.246×100×10-3×50×10-3）2m4
=65×106Pa=65MPa<［τ］＝100MPa?
θmax=T/Gβhb3×180/π=4×103N·m/80×109Pa?×0.299×100×10-3×(50×10-3)3m4×180/π?
=1.0°/m<［θ］=1.2°/m??
可见此杆满足强度和刚度要求。
第四章〓弯 曲 内 力
本章主要介绍弯曲变形的基本概念，弯曲变形的内力和内力图的绘制。绘制内力图的方法有三种：内力方程法、微分关系法和区段叠加法。
4?1〓梁的平面弯曲的概念和计算简图
4?1?1〓弯曲的实例
在工程中经常遇到这样一类构件。它们所承受的荷载是作用线垂直于杆件轴线的横向力，或者位于通过杆轴纵向平面内的外力偶。在这些外力的作用下，杆件的横截面要发生相对的转动，杆件的轴线也要弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。
凡是以弯曲变形为主要变形的构件，通常称为梁。
梁是工程结构中应用得非常广泛的一种构件。例如图4-1［（a)、(b)、(c）］所示的混凝土公路桥梁、房屋建筑的阳台挑梁，以及水利工程的水闸立柱等。
图4-1
? 梁的轴线方向称为纵向，垂直于轴线的方向称为横向。梁的横截面是指梁的垂直于轴线的截面，一般都存在着对称轴，常见的有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵向平面是指过梁的轴线的平面，有无穷多个，但通常所说的纵向平面是指梁横截面的纵向对称轴与梁的轴线所构成的平面，称为梁的纵向对称面。
4?1?2〓梁的平面弯曲的概念
如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，那么梁的轴线将在此对称面内弯成一条平面曲线，这样的弯曲变形称为平面弯曲，如图4-2所示。产生平面弯曲变形的梁，称为平面弯曲梁 。
图4-2
平面弯曲梁是工程中最常见的构件。作用线垂直于梁的轴线的集中力，称为横向外力。平面弯曲梁在横向外力作用下发生的弯曲变形称为横力弯曲，如图4-3（a）所示。平面弯曲梁在平面外力偶的作用下发生的弯曲变形称为纯弯曲，如图4-3（b）所示。
图4-3
在进行梁的工程分析和计算时，不必把梁的复杂的工程图原原本本地画出来，而是以能够代表梁的结构、荷载情况的，按照一定的规律简化出来的图形代替，这种简化后的图形称为梁的计算简图。一般应对梁作以下三方面的简化：
4?1?3〓梁的计算简图
1? 梁本身的简化
梁本身可用其轴线来代表，但要在图上注明梁的结构尺寸数据，必要时也要把梁的截面尺寸用简单的图形表示出来。
2? 荷载的简化
梁上的荷载一般简化为集中力、集中力偶和均布荷载，分别用q、F、Me表示。集中力和均布荷载的作用点简化在轴线上，集中力偶的作用面简化在纵向对称面内。
3? 支座的简化
梁的支承情况很复杂，但为了计算的方便，可以简化为活动铰支座、固定铰支座和固定端支座三种情况。
图4-4（a）是图4-1（a）所示的混凝土公路桥第一跨的计算简图。其中，公路桥梁本身用直线AB代表，左端的支承简化成固定铰支座，有两个约束反力FAx和FAy，右端的支承简化成活动铰支座，有一个约束反力FBy，正在行驶中的汽车简化成集中力F，桥梁本身的自重简化成均布荷载q。
图4-4（b）是图4-1（b）所示的房屋建筑中的阳台挑梁的计算简图。其中，挑梁本身用直线AB代表，左端的支承简化成固定端支座，有三个约束反力FAx、FAy和MA，右端是一个自由端，无约束反力。其上的荷载简化成均布荷载q。
图4-4
4?1?4〓静定梁的基本形式
1?静定梁与超静定梁的概念
梁可以分为静定梁和超静定梁。如果梁的支座反力的数目等于梁的静力平衡方程的数目，就可以由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为静定梁，如图4-5（a）所示。
4?1?4〓静定梁的基本形式
反之，如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目，就不能由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为超静定梁，如图4-5（b）所示。
2? 静定梁的三种形式
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁和外伸梁，其计算简图如图4-6［（a）、（b）、（c）］所示。
图4-5
图4-6
4?2〓梁的内力——剪力和弯矩
4?2?1〓剪力和弯矩的概念
梁的任一横截面上的内力，在作用于梁上的外力确定后，可由截面法求得。图4-7（a）是一个受集中力F作用的简支梁，现在求其任意横截面m-m上的内力。首先沿截面m-m假想地把梁AB截成左、右两段，然后取其中的一段作为研究对象。
例如，取梁的左段为研究对象，梁的右段对左段的作用则以截面上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程 ∑Y=0 FA-FS=0??
得 FS=FA?
? FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方程
??∑MO=0 M-FAx=0?
?得 ?M=FAx??
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力偶矩。
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
4?2?2〓剪力和弯矩的符号规定
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的符号。
1? 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2? 弯矩的符号规定
梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为负，如图4-8（b）所示。
根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
图4-8
【例4-1】简支梁如图4-9（a）所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
【解】1） 求支座反力。由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为?FA=FB=10kN???
2） 求横截面1-1上的剪力和弯矩。沿截面1-1假想地把梁截成两段，取受力较简单的左段为研究对象，设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正，如图4-9（b）所示。
列出平衡方程 ?∑Y=0 FA-FS1=0
∑MO=0 M1-FA×1m=0??
得 FS1=FA=10kN? M1=FA×1m=10kN·m???
计算结果FS1和M1为正，表明二者的实际方向与假设的相同，即FS1为正剪力，M1为正弯矩。
图4-9
3） 求横截面2-2上的剪力和弯矩。沿截面2-2取左段为研究对象，设截面上的剪力FS2和弯矩M2均为正，如图4-9（c）所示。列出平衡方程
?∑Y=0 FA-FS1-FS2=0
∑MO=0 M2-FA×4m+F1×2m=0?
得 ?FS2=FA-FS1=0 M2=FA×4m+F1×2m=20kN·m??
由计算结果可知，M2为正弯矩。
4） 求横截面3-3上的剪力和弯矩。取截面3-3右段为研究对象，设截面上的剪力FS3和弯矩M3均为正，如图4-9（d）所示。列出平衡方程
??∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0??
得? FS3=-FB=-1
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