福州时代中学 2019-2020 学年九年级第四次月考
数 学 试 卷
（考试时间：120 分钟，满分：150 分）
一．选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．在实数 2 ， 9，0，3 ，﹣3.1414，π中，无理数有（ ）
3
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．下列立体图形中，左视图与主视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2b3）3＝a5b6 C．（a2）7＝（﹣a7）2 D．a3?a2＝a6
4．已知 1 纳米＝10﹣9 米，某种植物花粉的直径为 35000 纳米，那么这种花粉的直径为（ ）
A．3.5×10﹣5 米 B．3.5×104 米 C．3.5×10﹣9 米 D．3.5×10﹣6 米
5．下列 3 个图形中，能通过旋转得到右侧图形轮廓的有（ ）
第 6 题
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如右上图，在△ABC 中，点 D 为 BC 的中点，AD⊥BC，E 为 AD 上一点，∠ABC＝70°，∠ACE＝25°， 则∠ECB＝（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
7．若一个圆锥的底面半径为 3cm，高为 6 cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）
A．150° B．120° C．100° D． 80°
8．硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（ ）
A．正面向上 B．正面不向上 C．正面或反面向上 D．正面和反面都不向上
9．如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OC⊥AB 交 AB 于点 D．且 OD＝DC．P 为⊙O 上任意一点，连接 PA，PB，若⊙O 的半径为 2，则 S△PAB 的最大值为（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 6
九年级数学试卷 第 1 页 共 4 页
第 9 题
10．已知二次函数 y＝（x+m﹣4）（x﹣m）+2，点 A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（ ）
A．若 x1+x2＞4，则 y1＞y2 B．若 x1+x2＜4，则 y1＞y2
C．若 x1+x2＞﹣4，则 y1＞y2 D．若 x1+x2＜﹣4，则 y1＜y2
二．填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．在实数范围内，把多项式 x2﹣5 因式分解的结果是 ．
12．点 A，C，O，B 在数轴上的位置如图所示，其中点 O 为原点，AC＝3
OA＝OB，若点 C 所表示的数为 a，则点 B 所表示的数为 ．
13．某销售人员一周的销售业绩如表所示，这组数据的中位数是 ．
第 12 题
第 13 题 第 14 题 第 15 题
14．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知 AB＝ 3 ，AC＝6，其中阴影部分面积是 平方单位．
15．如图，A 点的坐标为（0，4），B 点的坐标为（4，2），C 点的坐标为（6，2），D 点的坐标为（4，﹣2），小明发现：线段 AB 与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
16．如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为3 的一个定点，AC⊥x 轴于点 M，交直线 y＝﹣x 于点 N．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA， 则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点 P 从点 O 运动到点
N 时，点 B 运动的路径长是 ．
三．解答题（共 9 小题，共 86 分）
第 16 题
17．（8 分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解．
1 1 4a2 1 1
18．（8 分）先化简，再求值：（
a
）
a 1
a2 a
，其中 a＝ ．
2
19．（8 分）如图，点 B 为 AC 上一点，AD∥CE，∠DBC+∠BEC＝180°，BD＝EB，求证：AD＝BC．
第 19 题
20．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 上，连接 AD．
（1）试利用尺规作图，求作：线段 AE，使得 AE 是线段 AD 绕点 A 沿逆时针
方向旋转得到的，且∠DAE＝∠BAC（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；
（2）连接 DE 交 AC 于 F，若∠BAE+∠AEC＝135°，求∠B 的度数．
第 20 题
21．（8 分）如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为 1500m2 的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为 60m，宽为 40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用 60 万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以 48.6 万元达成一致，若两次降价的百
分率相同，求每次降价的百分率．
第 21 题
22．（10 分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球 10 个，每垫球到位 1 个记 1 分．
运动员丙测试成绩统计表
（1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是 7，则成绩表中的 a＝ ，b＝ ；
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
（2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请 用你所学过的统计量（平均数，众数和方差）加以分析说明；
（参考数据：三人成绩的方差分别为 S 甲 2＝0.81、S 乙 2＝0.4、S 丙 2＝0.8）
（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传 出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图法解答）
23．（10 分）如图，在△ACD 中，∠ACD＝90°，AC＝b，CD＝a，AD＝c，点 B 在 CD 的延长线上
（1）求证：关于 x 的一元二次方程 ax2 2cx b 0 必有实数根；
（2）当 b＝5，CB＝7 时．将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90°，得到线段 DE， 连接 BE，则当 a 的值为多少时，线段 BE 的长最短，最短长度是多少？
第 23 题
24．（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D， O 为 AB 上一点，经过点 A， D 的⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）连接 DF，求证：∠DAC=∠CDF；
（3）设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长.
第 24 题
25．（14 分）如图，抛物线 y 1 x 2 x 2k 交 x 轴于 A、B 两点，A 在 B 左侧，交 y 轴于点 C，k＞0，
4
3
P 为抛物线第二象限内一点，且 tan∠PBA= ，
4
①tan∠OBC= ；
②当 k=2 时，点 P 的横坐标为 ；
①当 k＞0 时，P 点的横坐标是否会随 k 的变化而变化？请说明理由；
②若∠OBC=∠APB，求抛物线解析式；
1
（3）设抛物线顶点纵坐标为 n，已知平面内有一点 N（a， n ），过点 N 作 y 轴
n
平行线 MN 交抛物线于 M 点，在﹣k﹣3≤a≤3k 范围内时，任取 3 个 a 值 a1、a2、
a3，所对应的 MN 长度值分别为 b1、b2、b3，若以 b1、b2、b3 为长度的三条线段一定能围成三角形，求 k 的取值范围．
第 25 题
4
3
3
3
5
3
2
2019—2020 学年初三（下）第一次月考数学试卷 参考答案
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
1、B 2、D 3、C 4、A 5、D 6、C 7、B 8、C 9、B 10、B
二、填空题（共 6小题，每小题 4分，共 24分）
11、 x + x ? 12、3-a 13、80 14、9 15、（2,0）或（5,3） 16、 23
三、解答题（共 9小题，共 86分）
17、（8分）解：
∵解不等式①得：x≥﹣2， …………………………………….2
解不等式②得：x＜2， …………………………………….2
∴原不等式组的解为：﹣2≤x＜2， …………………………….1
在数轴上表示为： ．…………….2
整数解为-2，-1,0,1 ………………………………….1
18、（8分）解：原式＝ ÷ ………………………3
＝ ? …………………………1
＝ ，……………………..2
当 a＝
+
时，
原式＝
+ ?
＝
……………………..2
19、（8分）证明：∵AD∥EC，
∴∠A＝∠C， ……………………..2
∵∠DBC+∠ABD＝180°，∠DBC+∠BEC＝180°，
∴∠ABD＝∠BEC， ……………………..2
且∠A＝∠C，BD＝BE， ……………………..2
∴△ADB≌△CBE（AAS），…………………….1
∴AD＝BC．……………………1
20、（8分）
解：（1）（2分）如图所示： ……………………..2
（2）（6分）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB， ……………………..1
∵线段 AD绕点 A逆时针旋转到 AE，使得∠DAE＝∠BAC，
∴AD＝AE， …………………….1
且∠BAC—∠DAC＝∠DAE—∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ……………………..1
在△ABD与 ACE中，
，
∴△ABD≌ACE（SAS）， ……………………..1
∴∠B＝∠ACE，……………………..1
∵∠BAE+∠AEC＝135°，
∴∠B＝（360°﹣135°）÷3＝75°．……………………..1
21、（8分）解：（1）（4分）设通道宽度为 xm，
依题意得（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，即 x2﹣50x+225＝0 ……………………..2
解得 x1＝5，x2＝45（舍去） ……………………..2
答：通道的宽度为 5m．
（2）（4分）设每次降价的百分率为 x，
依题意得 60（1﹣x）2＝48.6 ……………………2
解得 x1＝0.1＝10%，x2＝1.9>1（舍去） ……………………..2
答：每次降价的百分率为 10%．
22、（10 分）解：（1）（2分）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为 7，又平均数是 7，
即（56+a+b）÷10＝7，
因此，a＝7，b＝7，
故答案为：7，7； ……………………..2
（2）（4分）甲的平均数为： 甲＝ ＝6.3分，众数是 6分， ……………………..1
乙的平均数为： 乙＝ ＝7分，众数为 7分，……………………..1
丙的平均数为： 丙＝7分，众数为 7分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，……………………..1
但 S 乙 2＝0.4＜S 丙 2＝0.8，
因此，综合考虑，选乙更合适． ……………………..1
（3）（4分）树状图如图所示：
……………………..2
共 4 种情况，它们出现的可能性相等。其中第二轮结束时球又回到乙手中的情况有 2种，
即（乙甲乙），（乙丙乙）， ……………………..1
∴第二轮结束时球又回到乙手中的概率 P＝ ． ……………………..1
23、（10 分）（1）（4分）证明：∵∠ACD＝90°，AC＝b，CD＝a，AD＝c
∴c2＝a2+b2， ……………………..1
对于一元二次方程 ax2+ cx+b＝0，
△＝（ c）2﹣4ab＝2a2+2b2﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ……………………..3
∴关于 x的一元二次方程 ax2+ cx+b＝0必有实数根
（2）（6分）解：过 E作 EF⊥BC于 F．
∵∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠EFD＝∠C＝90°，∠FED+∠EDF＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠DEF＝∠ADC，
在△EDF和△DAC中，
，
∴△EDF≌△DAC（AAS）， ……………………..2
∴DF＝AC＝5，EF＝CD，
设 CD＝x，则 BE2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2， ……………………..2
∴BE2的最小值是 2，……………………..1
∴BE的最小值是 ． ……………………..1
24、（12分）（1）（4 分）证明：如图，连接 OD，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，……………………..1
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD， ………………….1
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC， …………………..1
∵∠ODC=∠C=90°，
∴半径 OD⊥BC 于点 D，…………………..1
∴BC 为圆 O 的切线；
（2）（4分）解：连接 DF，
1= =
2
180 1=90 90 90
2 2
=
DF DF DAC DOF
DOFODC CDF ODF DOF
DAC CDF
?? ?
??
? ?? ? ?? ? ? ? ?
?? ?
?
? ? ?
?
?
弧 弧
由（1）得
…………………..4
（3）（4分）∵∠DAC=∠CDF ∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF， ………………….2
2, = =AB AD AD AB AF xy xy
AD AF
? ? ? ?即 ，则AD
…………………..2
25、（14 分）
解：（1）（4分）①
…………………..2； ② -5 …………………..2
（2）（5 分）①过 P作 PD⊥x轴于 D，设 P（m， ? ? ? ?1 2 2
4
m m k? ? ）
? ? ? ?1 2 2
4
y x x k? ? ? 中
当 y=0 时，可得 x=﹣2 或 x=2k
∴A（﹣2，0），B（2k，0）
当 x=0 时，y=﹣k
∴OA=2，OB=2k，OD=﹣m，PD= ? ? ? ?1 2 2
4
m m k? ? ，
∴BD=OD+OB=2k﹣m
在 Rt△PDB 中，∠PDB=90°，
? ? ? ?1 2 2 34tan
2 4
m m kPDPBD
BD k m
? ?
? ? ?
?
∠
∴ ? ?1 32
4 4
m? ? ? ，解得 m=﹣5
∴当 k＞0 时，P点的横坐标不会随 k的变化而变化，P 的横坐标为﹣5 …………………..2
② 由①得：
∴AB=2k+2，OD=﹣m，PD= ? ?3 5 2
4
k? ，OC=k，BD=OD+OB=2k+5
过 P作 PE∥x轴交 CB延长线于 E，过 B作 BF⊥PE
∴∠EPB=∠PBA，∠OBC=∠E，∠BFE=90°，∠DPE=180°﹣∠PDB=90°
∴四边形 PDBF为矩形
∴PF=BD=2k+5，BF=PD= ? ?3 5 2
4
k?
在 Rt△PDB中，∠PDB=90°
PB= ? ?2 2 5 2 5
4
PD BD k? ? ?
在 Rt△EFB中，∠BFE=90°
1tan
2
BFFEB= =
EF
∠
∴EF=2BF= ? ?3 5 2
2
k?
∴EP=EF+PF= ? ?5 5 2
2
k?
∵
1tan tan
2
APB= OBC?∠ ∠
∴∠APB=∠OBC=∠E
∴△APB∽△BEP …………………..1
∴
AB BP=
BP PE
∴
2BP =AB PE?
∴ ? ? ? ? ? ?
25 52 5 2 2 5 2
4 2
k k k? ?? ? ? ?? ?? ?
?
∵k＞0，解得：k=
3
2
，
5
2
? （舍去） ………………….1
∴抛物线解析式为： ? ? ? ? 21 1 1 52 3
4 4 4 4
y x x x x? ? ? ? ? ? ………………….1
（3）（5 分） ? ? ? ? ? ? ? ?
2
2 11 12 2 1
4 4 4
k
y x x k x k
?
? ? ? ? ? ? ?
∴对称轴为 x=k﹣1，n=
? ?21
4
k ?
? ………………….1
∴MN= ? ? ? ?
2
2 11 11
4 4
k
a k n
n
? ? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
= ? ?
? ?
2
2
1 41
4 1
a k
k
? ? ?
?
= ? ?
? ?
2
2
1 41
4 1
a k
k
? ? ?
?
…….1
1
4
＞0，开口向上，对称轴为 a=k﹣1
∵k＞0可得﹣k﹣3＜k﹣1＜3k
∴当 a=k﹣1时，MN取最小值
? ?2
4
1k ?
………………….1
∵|（﹣k﹣3）﹣（k﹣1）|=2k+2，|3k﹣（k﹣1）|=2k+1
∴|（﹣k﹣3）﹣（k﹣1）|＞|3k﹣（k﹣1）|
∴当 x=﹣k﹣3 时，MN取最大值 ? ?
? ?
2
2
41
1
k
k
? ?
?
………………….1
由三角形两边之和大于第三边可得：
? ?2
4
1k ?
·2＞ ? ?
? ?
2
2
41
1
k
k
? ?
?
解得：0＜k＜ 2 1? ………………….1
