(共24张PPT)
重难点突破四二次函数与几何综合题
类型一:探究线段数量关系的存在性
针对北部湾:2018126(3);贺州:2019①26,2018T26,2017T26,2016T26;河池:201826(2);桂林:2017126;
柳州:2019T24(2),2017T26,2016126;梧州:2019126(2),2018T26(3).主要考查结合抛物线上点的坐标及几何
图形的边长等,探究满足一定条件下线段大小的存在性或两条线段之和最小的存在性
◎與例M。
C例D(2019·贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐
标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经
过点A,B,C三点
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求抛物线的表达式;
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的
个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大
P
时,求此时点P的坐标及PD的最大值
BO
思路点拨】(1)根据OA=OC=4OB,可得
A,C两点的坐标;(2)设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-4),将C点
坐标代入,求出a即可;(3)根据A,C两点坐标可求出直线AC的表达
式,过P点作y轴的平行线,设P点坐标,得出PH的值,再利用三角
函数知识得到一元二次方程,求出其最大值即可
解:(1)OA=0C=40B=4,
故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4)
(2)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),代
入C点坐标(0,-4),
即-4a=-4,解得a=1,
故抛物线的表达式为y=x2-3x-4
(3)直线CA过点C,设其函数表达式为y=kx-4,
将点A坐标代入上式并解得k=1,
故直线CA的表达式为y=x-4,
过点P作y轴的平行线交AC于点H,
∵OA=0C=4,
∠OAC=∠OCA=45°
.∠PHD=∠OCA=45
设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=
HP
sin∠
PHD=V2
4-x2+3x+4)
x2+22x
2
(x-2)2+2√2
<0,∴PD有最大值,当x=2时,其最大值为22
此时点P(2,-6)
提分关键】(1)二次函数中线段
长度的最值问题分为两大类
①可求出线段长度的表达式,再利
用二次函数知识求最值(本例即属于此
类);
②用“将军饮马”模型可解决的线
段最值问题[如P145例1(2)].本例中
通过构造直角三角形,将求PD的长转
化为求竖直线段PH的长(共24张PPT)
类型二:探究角度数量关系的存在性
针对桂林:2018126;玉林:2019126,2018126(3);河池:2017126;来宾:2017T26;贵港:2016126.主要考查
抛物线上是否存在某一点形成特殊角或使两个角相等或成倍数关系
③典例精
C例2(2019·玉林)已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a<0)
1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且
a为负整数时,求a的值及二次函数的表达式并画出二次函数的图象
(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧〉,与y
轴的交点C及其顶点D,根据这四点画出二次函数的大致图象,同时
标出A,B,C,D的位置);
(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA
75° 如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由
(1)证明:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0,
△=(2a+1)2-4×a×2=(2a-1)
,又∵:a<0
△=(2a-1)2>0
方程有两个不相等的实数根,故二次函数的图象与x轴有两个交点
(2)解:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2
0,即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2
是整数,且a为负整数
次函数的表达式是y
2
x
又
9
x
D
2
又A(-2,0)
B(1,0),C(0,2),画二次函数的大致图象如图
(3)解:由(2)知,OA=OC,,∠OCA=45°.…∠PCA=75°,∴分两
种情况讨论:①点P在AC的上方时,连接PC
并延长与x轴交于点M,…∠PCA=75°,∠OCA:DC
⊥-⊥-」
45
∠OCM=180°-75°-45°=60°.∴OM
OC·tan60°=23.∴M(23,0).设直线PC
BNM
的表达式为y=kx+2,把点M(23,0)代入得
直线PC的表达式为
x+2
x2-x+2
0
解方程组
得
或
.此时点P的
a
t
+3
√3
坐标为
3-35+
√3
②点P在AC的下方时,连接CP并延长与x轴交于点N,:∠PCA
75°,∠OCA=45°∴∠OCN=75°-45°=30°.∴.ON=0C·tan30°
23
N(30小设直线的表达式是=4+2把点N(23代
入得k=-3,直线PC的表达式为y=-3x+2.解方程组
x2-x+2,
得
或
此时点P的坐标为(3
3x+2
3-1)∴满足题意的点P的坐标是
3,5+)或(3-1,3-1)(共23张PPT)
类型三:探究图形面积数量关系的存在性
(针对梧州:2018126;桂林:2019T26,2017126,2015m26;贺州:2015126;北海:2015①26;河池:201526;钦州
2015126;柳州:201926.主要考查探究图形的面积是否存在一个定值或两个图形的面积存在某一数量关系)
③典例精板。
例3(2019·桂林)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点
A(-2,0)和B(1,0),与y轴交于点C
(1)求抛物线的表达式;
(2)作射线AC,将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D,在
射线AD上是否在一点H,使△CHB的周长最小,若存在,求出点H的坐标;若
不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,点Q为抛物线
的顶点,点P为射线AD上的一个动点
且点P的横坐标为t,过点P作x轴的垂
B
B
线l,垂足为E,点P从点A出发沿AD方
向运动,直线l随之运动
2时,直线l将四边形ABCQ分割成左右两
(备用图)
部分,设在直线l左侧部分的面积为S,求S关于t的函数表达式
解:(1)将A(-2,0)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得抛物线的表达式为
x+2.
(2)作点C关于直线AD的对称点为C′,连接CB交AD于点H,此时点H使
得△CHB的周长最小.∵抛物线y=-x2-x+2与y轴交于点C,,C(0,2)
点A为CC的中点且A(-2,0),C"(-4,-2).设BC′的表达式为y=k1x+
b1,代入B(1,0)和C(-4,-2)得y5x-5理可得yAc=x+2.AC
AD,…设AD的表达式为y=-x+b2代入点A(-2,0)得2+b2=0,解得b2=
y
8767
6
yAD=-x-2.联立22解得
即H
(3)由y=-x2-x+2得顶点坐标Q
24,A(-2,0),B(1,0),
19
C(0,2)
为
OC
224/,直线AQ的表达式为y2++3,直线QC的表达式
x+2,直线BC的表达式为yBC=-2x+2.当-22时,设
直线l与AQ交于点F(t
t+3),则S=(t+2)
t+3
t2+3t+3;当
2
2
2
t+2),则
+2|×
+2
+
t
4
2
4+21+4当0<11时,
设直线l与CB交于点K(t,-2t+2),则S=
+2×+(共21张PPT)
类型四:二次函数与几何图形中的最值
(针对北部湾:2019m26;玉林:2018126;来宾:2017126;百色:2016126;钦州:2016126;北海:2016126;贺州
2019T26;贵港:2018125,2015T25;桂林:201926,2015126;河池:2015126;柳州:201926.主要探究与拋物线有
关的三角形或与抛物线有关的四边形的面积的最大值或最小值)
③典例精新
C例4(2019·柳州)如图,直线y=x-3交x轴于点A,交y轴于点
C,点B的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C
点,抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴的交点为E,点E关于原点的对
称点为F,连接CE,以点F为圆心,CE的长为半径作圆,点P为直线
y=x-3上的一个动点
(1)求抛物线的表达式;
(2)求△BDP周长的最小值;
(3)若动点P与点C不重合,点Q为⊙F上的任意一点,当PQ的最
大值等于,CE时,过P,Q两点的直线与抛物线交于M,N两点(点M在
点N的左侧),求四边形ABMN的面积
解:(1)∵直线y=x-3交x轴于点A,
交y轴于点C,∴A(3,0),C(0,-3).将A
B,C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中,
可解得a=-1,b=4,c=-3.故抛物线的表
达式为y=-x2+4x-3
B
(2)由(1)知D(2,1),B(1,0),如图,作
点B关于直线AC的对称点B′,连接B'D,则
△BDP的周长最小值为BD+BD,yAc=x-3,y=-x+1,设B'(x,
x+1),则B,B的中点在y=x-3上,即B'(3,-2),BD=2,B'D=
10.∴.△BDP的周长最小值BD+BD为2+√10
(3)如图所示,连接PF并延长交圆于
点Q,此时PQ为最大值,点A,B,C,E,F的
坐标为(3,0),(1,0),(0,-3),(2,0),
R
B
(-2,0),则CE=√13,FQ2CE,则PF=
PQ-QF.'
'
PQ=CE,
.
PF=DCE-DCE
N
CE=√13.设点P(m,m-3),点F(-2,0),PP=(m+2)2+(m
3)2=13,解得m=1,故点P(1,-2).将点P,F坐标代入一次函数表达式
并解得:直线PF的表达式为y
2
4
联立抛物线与直线PF表达(共35张PPT)
类型五:探究特殊三角形的存在性
针对北部湾:2019126,2018126(2),201726;贵港:2018T25(2),2017T25;贺州:2017126;玉林:2016126;
百色:201926;梧州:2016126;河池:201926(3),2018T26(3),2016126;北海:2015126;崇左:2015T26.主要考
查以下四种类型:①直角三角形的存在性;②等腰三角形的存在性;③等边三角形的存在性;④等腰直角三角形
的存在性.均要进行分类讨论
考向1:直角三角形的存在性探究
③典例精板。
例5(2019·北部湾)如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,抛物线
2的顶点也在抛线线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2是“互为关联”
的抛物线如图1,已知抛物线C1:y144+x与C2:y2=ax2+x+c是“互
为关联”的抛物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D
(6,-1)
(1)直接写出A,B
的坐标和抛物线C2的表
达式
(2)抛物线C2上是
否存在点E,使得△ABE
是直角三角形 如果存
在,请求出点E的坐标;如
图1
图2
果不存在,请说明理由;
(3)如图2,点F(-6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线
C2上的动点,且点M,N的横坐标相同,记△AFM面积为S1(当点M与点
A,F重合时S1=0),△ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2
0),令S=S1+S2,观察图象,当y1≤y2时,写出x的取值范围,并求出在此
范围内S的最大值.
解:(1)A(-2,-1),B(2,3)
x
+x+
(2)存在.设点E(m,n),其中n
m2+m+2
4
A(-2,-1),B(2,3),由勾股定理得,BE2=(3-n)2+(m-2)2,AB2
(-2-2)2+(-1-3)2=32,AE2=(n+1)2+(m+2)2
当AB2+BE2=AE时,则(n+1)2+(m+2)2=(3-n)2+(m-2)2+
32,即m2-8m+12=0,解得m1=6,m2=2(舍),E(6,-1)
②当AB2+AE2=BE2,32+(n+1)2+(m+2)2=(3-n)2+(m-2)2
m2-8m-20=0,解得m1=10,m2=-2(舍),E(10,-13
由图象可知,∠AEB≠90°,
综上,点E的坐标是(6,-1)或(10,-13)时,使得△ABE是直角三角形(共20张PPT)
类型六:探究特殊四边形的存在性
(针对百色:2018126,2015126;梧州:2015126;贵港:201925)
平行四边形的判定
已知
问题
作图
求点坐标
B
B
①分别求出直线P1P2,P2P3,P3P
个点已知平面上不共线的三个点
A,B,C,求一点P,使得A,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作
的表达式,再求出交点即为P点
B,C,P四个点组成平行四对边的平行线,三条平行线的交点即
②可由点的平移来求坐标
边形
为所有点P
B
①通过点的平移,构造全等三角
分两种情况讨论:
形来求坐标;
两个点已知平面上两个点A,B,求①若AB为平行四边形的边,将AB②由中点坐标公式可得坐标系
两点P,Q,使得A,B,P,四上下左右平移确定P,的位置;中口APBQ的四个点A,P,B,Q
个点组成平行四边形题目②若AB为平行四边形的对角线,的坐标满足x+xn=xP+x
中P,Q的位置有具体限制)取AB中点,旋转经过中点的直线y4+y=yp+yo
确定P,Q的位置
2.矩形、菱形、正方形的判定,作图方法与平行四边形类似,只是在计算时要结合自身特有的性质
③典例精新
C例⑦(2019·贵港)如图,已知抛物线y
ax
bx+c的顶点为A(4,3),与y轴相交于点B(0,-5),
对称轴为直线l,点M是线段AB的中点
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式;
(3)设动点P,Q分别在抛物线和对称轴l上,当以
A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求P,Q两
点的坐标
思路点拔】(1)已知抛物线顶
点,故可设抛物线顶点式,然后将已
知点B的坐标代入即可;(2)由点M
M
是AB的中点确定点M的坐标;利用
待定系数法,先设出直线AB的表达
B
式,再将A,B的坐标代入表达式即可;(3)已知A,M的
坐标及点Q的横坐标,要确定以A,P,Q,M为顶点的
四边形是平行四边形,可考虑平行四边形性质:对角线
互相平分,从而分AQ是对角线、AM是对角线、及AP
是对角线三种情况讨论,利用横坐标关系先确定点P
的坐标,再利用中心对称性质确定点Q的坐标即可
解:(1)∵抛物线的顶点为A(4,3),故可设抛物线
表达式为y=a(x-4)2+3,
抛物线与y轴交于点B(0,-5),
.a(0-4)2+3
5,解得a
2
抛物线的表达式为y
(x-4)2+3
