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《19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）》导学案
教学目标 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用一次函数图象解二元一次方程组； 2.能综合应用一次函数及二元一次方程（组）知识解决相关实际问题.3.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力．
重点难点 重点： 会根据一次函数的图像解决二元一次方程的求解难点：一次函数与二元一次方程的关系的发现、归纳、和运用。
教学过程
知识回顾 1、什么是二元一次方程？ 2、x=0,y=2是方程组x+y=2的解吗？ 3、函数y=-x+2与x轴的交点是________
新知讲解 问题 ： 1号探测气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度上升.与此同时 ，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时. （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：分钟）的函数关系； （2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度。 分析： (1) 气球上升时间满足__________。 1号气球的函数解析式为_________； 2号气球的函数解析式为____________ 。 (2) 在某个 时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有________________。则只需求出x和y的值。 【讨论1】一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数y =0.5x+15用方程观点看是二元一次方程___________ 二元一次方程y -0.5x=15用函数观点看就是一次函数____________【讨论2】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究。 解：联立方程组： 整理得到： 解二元一次方程组得： 答：当气球上升_____分钟时，两气球都位于海拔________米的高度. 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的___________．归纳：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程的等式，都可以改写为( )的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应________ .这条直线上每个点的坐标(x ，y)都是这个二元一次方程的解. 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值________，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定_______的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例题讲解 例、考虑下面两种移动电话计费方式：用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
当堂检测 1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数_________的图像上。2、方程组 的解是_________________，由此可知一次函数____________ 与______________的图像必有一个交点，且交点坐标是______。 3、方程组 的解是则函数y=3x-3与的交点P的坐标是__________ 4、一次函数y=3x-4的图象是一条直线，它由无数个点组成的，那么方程3x-y=4 的解有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 5、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( ) EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT ?A. B.
C. D.
?6、一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ） A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 7、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少kg的行李？
小结反思 本节课你学会了什么？
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《19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）》导学案
教学目标 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用一次函数图象解二元一次方程组； 2.能综合应用一次函数及二元一次方程（组）知识解决相关实际问题.3.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力．
重点难点 重点： 会根据一次函数的图像解决二元一次方程的求解难点：一次函数与二元一次方程的关系的发现、归纳、和运用。
教学过程
知识回顾 1、什么是二元一次方程？ 2、x=0,y=2是方程组x+y=2的解吗？ 3、函数y=-x+2与x轴的交点是________ 它们有什么联系？本节课我们一起来学习二元一次方程组与函数的关系
新知讲解 问题 ： 1号探测气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度上升.与此同时 ，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时. （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：分钟）的函数关系； （2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度。 分析： (1) 气球上升时间满足__________。 1号气球的函数解析式为_________； 2号气球的函数解析式为____________ 。 (2) 在某个 时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有________________。则只需求出x和y的值。 【讨论1】一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数y =0.5x+15用方程观点看是二元一次方程y -0.5x =15二元一次方程y -0.5x=15用函数观点看就是一次函数y =0.5x+15 【讨论2】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解. 什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究。 解：联立方程组： （函数表达式） 整理得到：（二元一次方程组） 解二元一次方程组得： 答：当气球上升_____分钟时，两气球都位于海拔________米的高度. 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．归纳：一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程的等式，都可以改写为( )的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应________ .这条直线上每个点的坐标(x ，y)都是这个二元一次方程的解. 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例题讲解 例、考虑下面两种移动电话计费方式：用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：设通话时间为x分，若按“方式一”计费方式，则收取费用y=30+0.3x；若按“方式二”计费方式收取费用，则收取费用y=0.4x.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图：解方程组所以两图象交于点(300，120)， 当x=300时，30+0.3x=0.4x， 即当一个月内通话时间等于300分钟时，选择两种计费方式费用相等. 小结：二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。方程组的解对应两条直线交点的坐标. 由此可得: 二元一次方程组的图象解法：写函数，作图象，找交点，下结论
当堂检测 1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数_________的图像上。答案：y=2x-12、方程组 的解是_________________，由此可知一次函数____________ 与______________的图像必有一个交点，且交点坐标是______。答案：、y=x+4 、y=-3x+16、(6，2) 3、方程组 的解是则函数y=3x-3与的交点P的坐标是__________答案： 4、一次函数y=3x-4的图象是一条直线，它由无数个点组成的，那么方程3x-y=4 的解有（ ）D A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 5、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )D EMBED Word.Document.8 \* MERGEFORMAT ?A. B.
C. D.
?6、一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）B A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 7、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少kg的行李？答案：（1）（2）当x=30时，y=0.所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
小结反思 本节课你学会了什么？
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(共24张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）
人教版 八年级下
知识回顾
1、什么是二元一次方程？
如果一个方程含有两个未知数 ，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程.
2、x=0,y=2是方程组x+y=2的解吗？
是
3、函数y=-x+2与x轴的交点是________
（0,2）
它们有什么联系？
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
问题 ：
1号探测气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度上升.与此同时 ，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时.
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：分钟）的函数关系；
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
分析：
(1) 气球上升时间满足__________。
1号气球的函数解析式为_________；
2号气球的函数解析式为____________ 。
(2) 在某个 时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有________________。则只需求出x和y的值。
0≤x≤60
y=x+5
y=0.5x+15
相同的y值
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
【讨论1】一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
从式子（数）角度看：
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
【讨论2】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
解：联立方程组：
y=x+5
y=0.5x+15
解二元一次方程组得：
x=_____
y=_____
答：当气球上升 分钟时，两气球都位于海拔 __米的高度.
20
25
25
20
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
函数表达式
方程组
新知讲解
二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
从函数的角度看二元一次方程组
新知讲解
从函数的角度看二元一次方程组
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程的等式，都可以改写为( )的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应 .这条直线上每个点的坐标(x ，y)都是这个二元一次方程的解.
y=kx+b
一条直线
归
纳：
新知讲解
归
纳：
从函数的角度看二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例题讲解
例、考虑下面两种移动电话计费方式：
用函数方法解答何时两种计费方式费用相等.
方式一 方式二
月租费/(元/月) 30 0
本地通话费/(元/min) 0.30 0.40
例题讲解
解：设通话时间为x分，若按“方式一”计费方式，则收取费用y=30+0.3x；若按“方式二”计费方式收取费用，则收取费用y=0.4x.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图：
例题讲解
所以两图象交于点(300，120)，
当x=300时，30+0.3x=0.4x，
即当一个月内通话时间等于300分钟时，选择两种计费方式费用相等.
新知归纳
二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。
由此可得:
二元一次方程组的图象解法：
写函数，作图象，找交点，下结论
归
纳：
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
注 意
当堂检测
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在
一次函数 _________的图像上。
2、方程组 的解是_______ ，由此可知
一次函数 ___ 与 ___ 的图像必有一个
交点，且交点坐标是______ 。
y=2x-1
y=x+4
y=-3x+16
(6，2)
当堂检测
3、方程组 的解是
则函数 与 的交点P的坐标是______
4、一次函数y=3x-4的图象是一条直线，它由无数个点组成的，那么方程3x-y=4 的解有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
D
当堂检测
5、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )
D
点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合．
当堂检测
6、一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
1
2
B
当堂检测
7、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少kg的行李？
当堂检测
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
课堂总结
本节课你收获了什么？
解二元一次方程组：从“数”的角度看相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看相当于确定两条直线的交点坐标.
作业布置
教材99页8、10题
谢谢
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