第一章 立体几何初步
§5 平行关系
5.2 平行关系的性质
课时跟踪检测
一、选择题
1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析：长方体的两组相对的面与截面分别相交，交线分别平行，则四边形EFGH为平行四边形．
答案：B
2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：若l∥α，则所得交线互相平行；若l与α相交，则所得交线必交于一点．
答案：D
3．若平面α∥平面β，直线m?α，b?β，则①m∥b；②m，n为异面直线；③m，n一定不相交；④m∥n或m，n异面．其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
解析：若平面α∥平面β，直线m?α，直线b?β，则直m与n没有公共点，即m与n平行或异面，故③④正确．
答案：C
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q三点的截面是( )
A．邻边不相等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．矩形
D．正方形
解析：如图所示，设经过P、B、Q三点的截面为平面γ，由平面ABB1A1∥平面DCC1D1；平面ADD1A1∥平面BCC1B1.知γ与两组平面的交线平行．所以截面为平行四边形．
又因为△ABP≌△CBQ，
所以PB＝QB.知截面为菱形．
又PQ≠BD1，知截面不可能为正方形．应选B.
答案：B
5．给出下列命题：
①m?α，n?α，m∥β，n∥β ?α∥β；
②α∥β，m?α，n?β ?m∥n；
③α∥β，l?α?l∥β；
④α内的任一直线都平行于β?α∥β.
其中正确的命题是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：①错，m与n应为相交直线；②错，m、n分别位于两平行平面内，则m与n无公共点，可能平行，可能异面；③正确；④正确．
答案：C
6．下列说法正确的个数为( )
①若点A不在平面α内，则过点A只能作一条直线与α平行；
②若直线a与平面α平行，则a与α内的直线的位置关系有平行和异面两种；
③若a、b是两条异面直线，则过a且与b平行的平面有且只有一个；
④若直线a与平面α平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于α.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①错，过A可作一平面β与α平行，在β内过点A的直线都与α平行；②正确，a与α平行，则a与α内的所有直线无公共点；③正确，假设过a且与b平行的平面有两个：α和β，则过b作一平面γ，设γ∩α＝a′，γ∩β＝b′，则a′，b′与a共点，由线面平行性质定理可得，b∥a′，b∥b′，所以a′∥b′，这与a′，b′与a共点矛盾；④错，b可能与α平行，也可能在α内．
答案：B
二、填空题
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：由EF∥平面AB1C可知，EF∥AC，
∴EF＝AC＝×＝×2＝.
答案：
8．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中正确的是________．
①AC⊥BD ②AC∥平面PQMN ③AC＝BD ④异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：由MN∥PQ，得PQ∥平面ACD.又平面ABC∩平面ADC＝AC，得PQ∥AC，从而AC∥平面PQMN，故②正确；同理可得MQ∥BD，又MQ⊥PQ，得AC⊥BD，故①正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确；因为P，Q，M，N四点在相应边上的位置不知，AC＝BD不一定成立，故③错误．
答案：①②④
9．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝________.
解析：当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图．
由题意知：AC∥BD，＝＝.又CP＋PD＝CD＝34，
∴CP＝16.当交点位于BA延长线上时，AC∥BD.
∴＝＝，＝，CP＝272.
答案：16或272
三、解答题
10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明：∵BC∥AD，AD?平面PAD，BC平面PAD.∴BC∥平面PAD.又∵BC?平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD＝EF.
∴BC∥EF.又∵EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．
11．如图，在棱长为a的正方体中，点M为A1B上任意一点，求证：DM∥平面D1B1C.
证明：由正方体ABCD－A1B1C1D1，知A1B1AB，ABCD，
所以A1B1CD.
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C.
而B1C?平面CB1D1，A1D平面CB1D1，所以A1D∥平面CB1D1.
同理BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D.
所以平面A1BD∥平面CB1D1.
因为DM?平面A1BD，所以DM∥平面CB1D1.
12．如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
∵OM?平面BMD，
PA平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH.PA?平面PAHG，
∴PA∥GH.
13．如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1 B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.又因为OD1?平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知得平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1 ∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，
同理AD1∥DC1.
所以＝，＝.
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
课件48张PPT。§5 平行关系
5.2 平行关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理交线 该直线 交线平行 a∥b 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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