第一章 立体几何初步
§6 垂直关系
6.1 垂直关系的判定
课时跟踪检测
一、选择题
1．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．只存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条直线与l垂直
D．以上都不对
解析：可在正方体中考虑问题．设平面A1B1C1D1为平面α，直线B1C为直线l，且l与α不垂直．但在底面内，所有与A1B1平行的直线都与l垂直．
答案：C
2．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线有如下情况：
①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
不能保证直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
解析：①三角形任意两边为相交直线．②若与两底所在直线垂直，则不能判断线面垂直．③直径必相交．④若垂直于正六边形互相平行的边，则不能保证线面垂直．
答案：C
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.
答案：B
4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )
A．60° B．30°
C．45° D．90°
解析：∵AB是圆的直径，
∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，即BC⊥PA，
又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC.
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．
又∵PA＝AC，
∴∠PCA＝45°.
答案：C
5．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，则下列结论不正确的是( )
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
解析：由正六边形的性质及PA⊥平面ABCDEF，可推得A，B，C均正确，而D不正确．因为四边形ACDF不是正方形，CF与AD不垂直．
答案：D
6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
解析：A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；
B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，
∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
答案：D
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
解析：由题意知，AC⊥平面BB1D1D，且AC?平面ACD1.
∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案：平面ACD1⊥平面BB1D1D
8．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于________．
解析：如图，O为△ABC的中心，∠SCO即为所求角．
由题意，设底面边长为a，则侧棱长为2a|CO|＝××a＝a.
∴cos∠SCO＝＝＝.
答案：
9．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β，BC⊥平面α 于C，AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．
解析：当二面角α－l－β是锐二面角时，因为AB⊥β且l?β，所以AB⊥l.因为BC⊥α，l?α，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，所以l⊥AC.设垂足为H.所以BH?平面ABC，所以l⊥BH，所以∠AHB为二面角α－l－β的平面角．Rt△BCA中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°.Rt△ABH中，因为∠BAH＝30°，所以∠AHB＝60°.同理，当二面角α－l－β为钝二面角时，可得所求二面角的平面角为120°.综上，所求角大小为60°或120°.
答案：60°或120°
三、解答题
10．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)∵SA＝SC，D为AC中点，
∴SD⊥AC，Rt△ABC中，AD＝CD＝BD.
又∵SA＝SB，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
由(1)知SD⊥面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面SAC.
11.(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，
∵AB⊥AD，EF⊥AD，
∴EF∥AB.
又∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，∴BC⊥平面ABD.
∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，∴AD⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC，
∴AD⊥AC.
12．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
证明：(1)因为DEF－ABC是三棱台，且AB＝2DE，所以BC＝2EF，AC＝2DF.
因为点G，H分别是AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
因为AB?平面FGH，GH?平面FGH，所以AB∥平面FGH.
因为EF∥BH且EF＝BH，所以四边形BHFE是平行四边形，所以BE∥HF.
因为BE?平面FGH，HF?平面FGH，所以BE∥平面FGH；
又因为AB∩BE＝B，所以平面ABE∥平面FGH，因为BD?平面ABE，
所以BD∥平面FGH.
(2)因为AB＝2DE，所以BC＝2EF，因为H是BC的中点，所以HC＝BC＝EF，又HC∥EF，所以四边形HCFE是平行四边形，所以HE∥CF.
因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.
因为GH∥AB，AB⊥BC.
所以GH⊥BC.因为GH∩HE＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
(1)证明：EF∥平面A1CD；
(2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE＝AC，
且DE∥AC，
又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，
所以EF∥DA1.
又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
所以A1A⊥CD，
又A1A∩AB＝A，
因此CD⊥平面A1ABB1，而CD?平面A1CD，
所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.
由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，
故BG⊥平面A1CD.
由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．
设棱长为a，可得A1D＝，
由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.
在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
课件53张PPT。§6 垂直关系
6.1 垂直关系的判定自主学习 梳理知识课前基础梳理任何一条直线 两条相交 两部分 每一部分 两个半平面 棱 这两个半平面 二面角α－AB－β 任一点 垂直于棱 直二面角 直二面角 另一个平面的一条垂线 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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