第一章 立体几何初步
§6 垂直关系
6.2 垂直关系的性质
课时跟踪检测
一、选择题
1．下面说法正确的是( )
A．若m α，l?α，则m∥l B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
C．若m∥n，n?α，则m∥α D．若m⊥l，m⊥n，则l∥n
解析：A中，mα，但m可能与α相交，此时m与l不平行，A错；C中，m也可以在α内，C错；D中，l与n还可能异面或相交，D错．
答案：B
2．若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P?l，则下列命题中的假命题为( )
A．过点P且垂直于α的直线平行于β
B．过点P且垂直于l的平面垂直于β
C．过点P且垂直于β的直线在α内
D．过点P且垂直于l的直线在α内
解析：对于D，过点P垂直于l的直线可能在α内，也可能不在α内．
答案：D
3．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相离，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析：若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，故A错；当两个平面相交时，也满足条件，故B错；若两个平面垂直于同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错．
答案：C
4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
解析：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.
答案：D
5．如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为( )
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图，平面EMN∥平面SBD，
EP?平面EMN，∴EP∥平面SBD，
又∵AC⊥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，
又∵EP? 平面EMN，
∴AC⊥EP，即EP⊥AC，则①③正确，②④错误．
答案：B
6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：
如图，连接AC1，
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.
又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又AC?ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，且平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．
答案：A
二、填空题
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取BC的中点F，连接EF，DF.
则EF∥C1C，且EF＝C1C＝1.
又∵C1C⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∴∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角．
又∵DF＝＝，
∴tan∠EDF＝＝＝.
答案：
8．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：作AE⊥BC于E，连接DE.
由条件知，E为BC的中点，且AE⊥DE.
AE＝DE＝BC＝a，
∴AD＝＝a.
答案：a
9．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
解析：取AB的中点E，连接PE.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB.
∵平面PAB∩平面ABC＝AB，
又平面PAB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，连接CE，则PE⊥CE.
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，
PC＝＝7.
答案：7
三、解答题
10．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，且OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知，PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
11．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF＝AD＝a，G是EF的中点．
(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；
(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．
解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AG，GB?平面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD＝2a，AF＝a，四边形ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG＝BG＝a，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2，
∴AG⊥BG，∵BC∩BG＝B，
∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，
故平面AGC⊥平面BGC.
(2)由(1)知平面AGC⊥平面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，
∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角，
∴在Rt△CBG中，
BH＝＝＝a，
又BG＝a，∴sin∠BGH＝＝.
12．如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点．在梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC.
求证：(1)直线AB⊥平面ACDE；
(2)直线BE∥平面DOF.
证明：(1)∵BC是圆O的直径，
∴AB⊥AC.
又∵平面ACDE⊥平面ABC，AC为两平面的交线，AB?平面ABC.∴AB⊥平面ACDE.
(2)设OF∩AC＝M，
连接DM，
∵F为弧AC的中点，
∴M为AC的中点，
∵AC＝2DE，AC∥DE，
∴DEAC，即DEAM.
∴四边形AMDE是平行四边形．
∴DM∥AE.又∵DM?平面ABE，AE?平面ABE，
∴DM∥平面ABE.
在△ABC中，OM∥AB.
又∵OM?平面ABE，AB?平面ABE，
∴OM∥平面ABE.
又OM?平面DOF，DM?平面DOF，OM∩DM＝M，
∴平面DOF∥平面ABE.
又∵BE?平面ABE.∴BE∥平面DOF.
13．把一副三角板按图(1)拼接，设BC＝2a，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，再把三角板ABC沿BC边折起，使两块三角板所在的平面互相垂直(如图(2))，试推断平面ABD和平面ACD是否垂直？并说明理由．
解：垂直．理由如下：取BC的中点E，BD的中点F，连接AE，EF.
则有AE⊥BC，EF∥CD，
∵CD⊥BC，∴EF⊥BC.
又∵两块三角板所在的平面互相垂直，
∴∠AEF为二面角A－BC－D的平面角．
∴∠AEF＝90°，即EF⊥AE，
∴CD⊥AE.
又AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.
∵AB?平面ABC，∴CD⊥AB.
∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，∴AB⊥平面ACD.
又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.
课件50张PPT。§6 垂直关系
6.2 垂直关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理交线 l⊥β 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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