第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积
课时跟踪检测
一、选择题
1．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为×(1＋2)×2×2＝6，故选C.
答案：C
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．12 B．4
C． D．
解析：如图，此几何体为四棱锥．
V＝××2＝4.
答案：B
3．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为.则该几何体的俯视图可以是( )
解析：当俯视图为C时，有体积V＝×1×1×1＝，其它体积均不为.
答案：C
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.π＋4 B．2π＋4
C．π＋4 D．π＋2
解析：该几何体为半个圆柱与长方体的组合体V＝×π×12×2＋1×2×2＝π＋4.
答案：C
5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是( )
A．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为
B．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为
C．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为
D．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为
解析：由正视图可得PA＝AC＝4，点D为棱PC的中点，由侧视图得BC＝4.因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故BD与平面PAC不垂直，排除B、D；AD?平面PAC，所以AD⊥BC.又在等腰直角三角形PAC中，点D是斜边PC的中点，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AD⊥平面PBC.且三棱锥D－ABC的体积VD－ABC＝VB－ACD＝××4×2×4＝，C正确，A错误，故选C.
答案：C
6.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
解析：解法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.
解法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.
答案：B
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体为长为3，宽为2，高为1的四棱柱截去一个长为2，宽为1，高为1的四棱柱．
∴体积为3×2×1－2×1×1＝4.
答案：4
8．已知圆柱的底面周长为c，侧面展开图矩形的面积为S，则它的体积为________．
解析：设圆柱底面半径为r，高为h，
则∴r＝，h＝，
∴V＝πr2h＝π×2·＝.
答案：
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2＝________.
解析：＝＝＝.
答案：1∶24
三、解答题
10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上，下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积．
解：∵32＋42＝52，
∴底面是直角三角形．∴上、下底面内切圆半径r＝＝1(cm)．
∴S表＝(3＋4＋5)×6＋2×－2π×12＋2π×1×6＝72＋12－2π＋12π＝84＋10π(cm2)，
V＝×3×4×6－π×12×6＝36－6π(cm3)．
故剩余部分形成几何体的表面积是84＋10π(cm2)，
体积是36－6π(cm3)．
11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
(1)该几何体的体积V；
(2)该几何体的侧面积S.
解：由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．
作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC.
∴PM＝ ＝ ＝5，
PN＝ ＝ ＝4.
(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64.
(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24.
12.(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.
因为AD＝CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
(2)连接EO.
由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，所以
BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
能力提升
13．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，AB⊥AC.
又BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×
2sin45°＝1.
课件44张PPT。§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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