第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识
7.3 球
课时跟踪检测
一、选择题
1．若火星的半径与地球的半径之比为1∶2，则地球表面积与火星表面积的比是( )
A．1∶4 B．4∶1
C．1∶8 D．8∶1
答案：B
2．若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为( )
A. B．
C. D．2πc2
解析：设球的半径为R，则2πR＝c，∴R＝，
∴球的表面积S球＝4πR2＝4π2＝.
答案：C
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．π
C. D．2π
解析：由三视图知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，挖去的两个半球的半径均为1，所以该几何体的体积V＝π×12×2－2××π×13＝2π－＝.
答案：A
4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为( )
A．8π B．8π
C．4π D．4π
解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，πr2＝π，r＝1，R2＝r2＋d2＝1＋1＝2，∴S表＝4πR2＝4π×2＝8π.
答案：B
5．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为( )
A．1 B．3
C．2 D．
解析：4πR2＝πR3，R＝3.
答案：B
6．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．
C．8π D．4π
解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案：A
二、填空题
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为________．
解析：该几何体上半部分为半个球，下半部分为圆锥．
表面积为×＋×(6π)×5＝33π.
答案：33π
8．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．
解析：上升的水的体积即为球的体积，
即π2×9＝πR3，解得R＝12，
S表＝4π×R2＝4π×122＝576π.
答案：576π
9．如图，已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为________．
解析：∵该三棱柱外接球的表面积是16π，
∴该球的半径R＝2，又正三棱柱底面边长是2，
∴底面三角形的外接圆半径r＝＝，
∴该三棱柱的侧棱长是2 ＝.
答案：
三、解答题
10．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
解：∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆为过A、B、C的平面截球所得截面，2r＝30，r＝15.
由题意得2＋152＝R2，
解得R2＝300，R＝10.
∴S＝4πR2＝1 200π.
V＝πR3＝π·(10)3＝4 000π.
11．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．
解：V半球＝×πR3＝π，V锥＝πR2h＝π×42×10×＝π，π<π，∴不会溢出．
12．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
解：(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝ ＝ ＝8 cm.
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由△OCD∽△ACO1得＝.
所以＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π cm3.
13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上．若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为多少？
解：该几何体的轴截面如图，
设球的半径为R，圆锥底面半径为r，
由题意得πr2＝×4πR2，∴r＝R.
∴OO1＝＝R.
体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，
体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R，
∴这两个圆锥中，体积较小的高与体积较大者的高的比值为.
课件40张PPT。§7 简单几何体的再认识
7.3 球自主学习 梳理知识课前基础梳理经过球心的平面 球的小圆 有唯一交点 切点 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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