第一章 立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理(1)
课时跟踪检测
一、选择题
1．两个平面重合的条件是( )
A．有三个公共点 B．有无数个公共点
C．有一条公共直线 D．有两个相交公共直线
解析：由两条相交直线确定一个平面知，D正确．
答案：D
2．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
解析：A错，线面平行时，直线上的点都在平面外；B错，若无穷多个点在平面内，则直线必在平面内，不会有两个点在平面外；C错，直线与平面相交时，有一个点在平面内；D正确．
答案：D
3．对不重合的平面α，β，下列结论错误的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α
B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l?α，A∈l，则A?α
D．若A?α，A∈l，则l?α
解析：若l与α相交，也满足l?α，若l与α的交点为A.则A∈l且A∈α，C中结论错误．
答案：C
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线EF是平面ACD1与下面哪个平面的交线( )
A．平面BDB1
B．平面BDC1
C．平面ACB1
D．平面ACC1
解析：E∈DC1，F∈BD，又DC1?平面BDC1且BD?平面BDC1，∴E，F∈平面BDC1，即直线EF?平面BDC1.
答案：B
5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，D∈l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：∵AB∩l＝D，∴D∈AB，又∵AB?平面γ，∴D∈γ.由已知，C∈γ，且C∈β，D∈β.即点C和点D既在β内又在γ内，∴点C和点D在β与γ的交线上．
答案：D
6．已知空间中四点，如果其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面共有( )
A．一个或两个 B．一个或三个
C．两个或三个 D．一个或四个
解析：根据条件，这四点要么在同一平面上，要么每三点确定一个平面即共有四个平面．
答案：D
二、填空题
7．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．
解析：由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
答案：1
8．点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的交点有________个．
解析：由公理3可知，平面ABC与平面α相交，交点有无数个．
答案：无数
9．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，
①AA1∩AB＝A，
AA1∩A1B1＝A1，
直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，
AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
答案：1或2或3
三、解答题
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.
又∵D1F?平面BED1F，∴P在平面BED1F内，∵AD?平面ABCD，∴P∈平面ABCD，又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
11.已知：如图，a∩b＝C，b∩c＝B，a∩c＝A.求证：a，b，c共面．
证明：∵三条直线两两相交且不交于一点，
∴A，B，C三点不共线(否则与已知矛盾)，
∴可设A，B，C三点确定一个平面α，
∵A∈α，B∈α，∴AB?α，即c?α，
同理，b?α，a?α，所以a，b，c共面．
12．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.
又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．
求证：(1)E、F、D1、C四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
证明：(1)分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EFA1B.
又A1D1B1C1BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．
(2)由(1)可得EFCD1，
∴直线D1F和CE必相交，设D1F∩CE＝P.
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD.∴CE，D1F，DA三线共点．
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4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理(1)自主学习 梳理知识课前基础梳理点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 不在一条直线上 直线外一点 相交 平行 两点 有一个公共点 一条 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§4 空间图形的基本关系与公理
4.2 空间图形的公理(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：a与c不可能平行，若a∥c，由已知a∥b，则b∥c与b∩c＝A矛盾．a与c异面、相交都有可能．
答案：D
2．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．有一个角相等 D．无法判断
答案：B
3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是( )
A．OB∥O1B1且OB与O1B1方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：如图，在正方体中，OB与O1B1不平行，若它们在同一平面内，则OB∥O1B1.
答案：D
4．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
解析：PA与BC，PB与AC，PC与AB.
答案：B
5．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
解析：A中PQ∥RS；B中PQ∥RS；C中PQ与RS异面；D中PQ与RS相交．
答案：C
6．如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论不正确的是( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
解析：∵＝＝λ，
∴EH∥BD且EH＝λBD.
同理FG∥BD，且FG＝μBD，
∴EH∥FG.
当λ＝μ时，EH＝FG.
∴此时四边形EFGH是平行四边形．
∴A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，此时四边形EFGH是梯形，∴B正确．
答案：D
二、填空题
7．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D与BC1所成的角为________．
解析：取CD的中点E，连接B1C交BC1于F，连接EF，则EF∥B1D.
异面直线B1D与BC1所成的角即为EF与BC1所成的锐角或直角，显然EF⊥BC1，
∴所求角为90°.
答案：90°
8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
解析：将展开图恢复成正方体如图所示．
由图知异面直线有：AB与CD，EF与GH，AB与GH.
答案：3
9．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析：△BCD中，＝＝，
∴GF∥BD，＝.∴FG＝4 cm，
在△ABD中，点E，H是中点，
∴EH＝BD＝3 cm，
设EH，FG间的距离为d cm，
则×(4＋3)×d＝28，∴d＝8 cm.
答案：8 cm
三、解答题
10．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
证明：连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′AC.
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′.
∴四边形MNA′C′是梯形．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，
所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，
所以BE＝＝.
在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，
AE＝，所以EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，
所以BF＝.在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝＝＝，
所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
解：取CN的中点K，连接A1K，MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN，所以∠A1MK或其补角为异面直线A1M与DN所成的角，连接A1C1，AM.设正方体棱长为4.
则A1K＝＝，MK＝DN＝ ＝，
A1M＝ ＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，
∴∠A1MK＝90°.
13．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC.
证明：连接PD，PE并延长分别交AB，BC于点M，N，
∵D，E分别是△PAB，△PBC的重心，
∴M，N分别是AB，BC的中点．
连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
△PMN中，因为＝＝，
所以DE∥MN且DE＝MN.
综上得：DE∥AC且DE＝MN＝AC.
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