第一章 立体几何初步
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
课时跟踪检测
一、选择题
1．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AC在此平面内
解析：如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC.
显然EF?平面EFG，AC平面EFG，
所以有AC∥平面EFG.
答案：A
2．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出1个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
解析：设直线l外两点确定直线AB，①当AB与l相交时，满足题意的平面不存在；②当AB与l异面时，满足题意的平面只能作一个；③当AB∥l时，满足题意的平面有无数多个．
答案：D
3．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
解析：如图，正方体的面ABCD为平面α，A1B1为直线a，若B1C1为直线b，则b∥α，若B1B为直线b，则b与α相交．
答案：D
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D( )
A．1 B．
C. D．
解析：当F为BC的中点时，EF∥A1C1，则EF∥平面A1C1D.
答案：B
5．若直线l不平行于平面α，且lα，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：由题意可得α内不存在与l平行的直线．若α内存在直线m与l平行，由于l不在α内，则可得到l与α平行，与已知矛盾．
答案：B
6．在三棱锥P－ABC中，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．
解析：
如图，易知△DEF∽△ABC，由PD＝DA，知PD＝PA.
∴＝＝.
∴＝2＝.
又S△ABC＝9，∴S△DEF＝1.
答案：A
二、填空题
7．下列三个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，直线a?α，b?α，则a∥α；
③若a∥b，b?α，则a与α内任意直线平行．
其中正确的有________．
解析：直线a在平面α外，包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况，①不正确；由直线和平面平行的判定定理知②正确；③中a与α内的直线可能平行，相交、异面，③不正确．
答案：②
8．三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系是________．
解析：如图，取BC中点F，连接SF.
∵G为△ABC的重心，
∴A，G，F共线且AG＝2GF.
又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.
又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：平行
9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF的交线为AC，M为线段EF的中点，则AM与平面BDE的位置关系是________．
解析：设AC与BD交于点O，
连接OE.
由题意知EMAO，∴四边形MAOE为平行四边形，∴AM∥OE.
又∵AM平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
答案：平行
三、解答题
10．在如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线和平面AC是什么位置关系？
解：(1)如图，在平面A′C′内，经过P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF，BE，CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′，由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC，又EF?平面AC，BC?平面AC，则EF∥平面AC.BE，CF显然都与平面AC相交．
11．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
证明：连接DE.因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC且DE＝AC.因为ABC－A1B1C1是三棱柱，
所以AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1且AC＝A1C1.
因为F是A1C1的中点，所以A1F∥AC且A1F＝AC，所以DE∥A1F且DE＝A1F，
所以四边形A1DEF是平行四边形，所以EF∥A1D，又EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)∵F、E分别是DC、BC的中点，∴FE∥BD.
又∵BD?平面BDD1B1，
FE?平面BDD1B1，
∴FE∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
13．已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，若存在，请说出点P的位置．
解：存在．如图，连接BD交AC于O，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于F，连接BF.
∵BG∥OE，BG平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，
∴平面BGF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．
又∵GF∥CE，∴F是PC的中点．
综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
课件48张PPT。§5 平行关系
5.1 平行关系的判定自主学习 梳理知识课前基础梳理平面外 此平面内 相交直线 平行于 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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