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§3 空间直角坐标系
3.3 空间两点间的距离公式
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第二章 解析几何初步
§3 空间直角坐标系
3.3 空间两点间的距离公式
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一、选择题
1．设点B是点A(2，－3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|＝( )
A．10 B．
C． D．38
解析：B(2，－3，－5)，
|AB|＝ ＝10.
答案：A
2．已知点A(1,1，a)，B(0,2,0)，且|AB|＝3，则a的值为( )
A．7 B．
C．－ D．±
解析：|AB|＝ ＝ ＝3，∴a2＝7，a＝±.
答案：D
3．在空间直角坐标系中，点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(0,1,0)或(0，－1,0)
B．(1,0,0)
C．(1,0,0)或(－1,0,0)
D．(0,1,0)或(0,0,1)
解析：设P(x,0,0)，∵|PP1|＝2，
即＝2，
解得x2＝1，x＝±1.
∴P(1,0,0)或(－1,0,0)．
答案：C
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：|AB|＝＝|BC|＝＝|AC|＝＝，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.所以△ABC为直角三角形．
答案：C
5．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于( )
A．28 B．－28
C．14 D．－14
解析：因为AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°.所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146|AB|2＝44|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.
答案：D
6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当A，B两点间距离取最小值时，x的值为( )
A．19 B．－
C． D．
解析：|AB|＝
＝ ＝ ，
当x＝时|AB|取得最小值．
答案：C
二、填空题
7．在空间直角坐标系中，点A(1,1,3)与点B(1，－3,0)的距离为________．
解析：|AB|＝＝＝5.
答案：5
8．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0,0,0)到点(x，y，z)的距离的平方，则点(0,0,0)到(3,4，－5)的距离d＝＝5，则x2＋y2＋z2的最小值为(5－)2＝(4)2＝32.
答案：32
9．正方体不在同一表面上的两顶点P(－1,2，－1)，Q(3，－2，3)，则正方体的体积是________．
解析：由题意可知PQ为正方体的一条对角线，且|PQ|＝4，∴棱长为4，体积为64.
答案：64
三、解答题
10．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．
(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
(2)若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解：(1)由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|
得 ＝ ，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，
所以点P的坐标为P(1,0,0)．
(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，
由|MA|＝|MB|
得 ＝
，即x＋3z－1＝0.
所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.
11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长．
解：如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵CA＝CB＝1，AA1＝2，
∴A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，A(1,0,0)，
∴M，N(1,0,1)．
∴|MN|＝
＝
＝.
12．已知点A(2,3,1)，B(－1,2，－3)，点P在y轴上，求|PA|2＋|PB|2的最小值以及此时点P的坐标．
解：设P(0，t,0)，则|PA|2＋|PB|2＝(0－2)2＋(t－3)2＋(0－1)2＋(0＋1)2＋(t－2)2＋(0＋3)2＝2t2－10t＋28＝22＋.
当t＝时|PA|2＋|PB|2有最小值.
此时P.
13．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点，探求|PQ|的最小值．
解：如图，过P作PE⊥OA于E，则PE⊥平面xOy，
设P的横坐标为x，由正方体性质得点P的纵坐标为x，取正方体棱长为1，
则AE＝(1－x)．∵＝，
∴PE＝＝1－x(0≤x≤1)．
∴P点坐标为(x，x,1－x)，
又Q，
∴|PQ|＝
＝
＝ ，
当x＝时|PQ|min＝，
此时点P坐标为.
即P为AB中点时|PQ|有最小值.
