(共32张PPT)
章末总结归纳
阶段性测试题二
第二章 解析几何初步
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：∵|AB|＝＝＝2.∴x＝6或－2.
答案：D
2．若直线ax＋2y＋a－1＝0与直线2x＋3y－4＝0垂直，则a的值为( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由题意知，·＝－1，解得a＝－3.
答案：B
3．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：∵l1∥l2，∴＝，(k－3)(k－5)＝0，解得k＝3或k＝5.
答案：C
4．两平行直线x＋2y－1＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为( )
A. B．
C. D．
解析：两平行直线2x＋4y－2＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为d＝＝＝.
答案：B
5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0，则直线l的方程为( )
A.x－y＋＋2＝0
B.x＋y＋＋2＝0
C.x－y＋－2＝0
D.x－y－＋2＝0
解析：圆x2＋y2＋2x＋4y－4＝0的圆心(－1，－2)，直线l的斜率k＝tan60°＝，又过点(－1，－2)，∴直线l的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y＋－2＝0.
答案：C
6．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△EOF(O是圆心)的面积为( )
A. B．
C．2 D．
解析：圆心(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为
d＝＝|EF|＝2＝4.
∴S△EOF＝|EF|·d＝×4×＝2.
答案：C
7．M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的两点，且M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )
A．2 B．
C．3 D．1
解析：∵M，N在圆上，且关于直线x－y＋1＝0对称，
∴直线x－y＋1＝0经过圆心.∴－＋1＋1＝0，k＝4，则圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，化为标准方程得：(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，∴半径为3.
答案：C
8．从点P(1，－2)引圆C：x2＋y2－20x－16y＋149＝0的切线，则切线长为( )
A．14 B．142
C. D．
解析：圆的方程可化为(x－10)2＋(y－8)2＝15，切线长的平方等于|PC|2－15＝(1－10)2＋(－2－8)2－15＝166，∴|PC|＝.
答案：C
9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是( )
A．6 B．4
C．5 D．1
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值是d－r＝5－1＝4.
答案：B
10．已知直线l：y＝k(x－4)(k≠0)被圆C：(x＋3)2＋(y－1)2＝4截得的弦长为2，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B．
C. D．
解析：圆心C(－3,1)到直线kx－y－4k＝0的距离d＝＝，解得k＝－或k＝0(舍)，
∴直线方程为y＝－(x－4)，与坐标轴交点分别为A，B(4,0)，∴l与坐标轴围成的三角形面积为×4×＝.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．在空间直角坐标系中，点A(1，－2,1)与点B(0,1，－1)的距离为________．
解析：|AB|＝ ＝.
答案：
12．直线l经过点A(a＋1,2－b)、点B(a－2,5－b)，则直线l的倾斜角的大小是________．
解析：k＝＝＝－1.∴α＝135°.
答案：135°
13．若⊙O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题意知△O1AO2构成直角三角形，又|O1A|＝|O2A|＝2|O1O2|＝|m|则|m|2＝()2＋(2)2＝25，∴m＝±5.设△O1AO2斜边O1O2上的高为h，由三角形面积相等，得h＝＝2，
∴弦长|AB|＝2h＝4.
答案：4
14．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时，∠APB＝________.
解析：如图，四边形PACB面积＝2S△PAC＝
2×＝
|AC|·|PA|＝|PA|＝
，
则当|PC|最小时，四边形面积最小．
此时|PC|＝＝＝2.Rt△PAC中，
sin∠APC＝＝，∴∠APC＝30°，同理∠BPC＝30°，∴∠APB＝60°.
答案：60°
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)求满足下列条件的直线方程：
(1)求经过直线l1：x＋3y－3＝0和l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线2x＋y－3＝0的直线l方程；
(2)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l的方程．
解：(1)由得交点坐标为(0,1)．
∵直线l平行于直线2x＋y－3＝0，∴直线l的斜率为－2，
∴直线l的方程为y－1＝－2(x－0)，即2x＋y－1＝0.
(2)解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
即直线l的方程为y＝kx－(k＋1)．
∵直线l与l1相交于点B，
联立方程组解得点B的坐标为.
又|AB|＝＝5，解得k＝－.
∴直线l的方程为3x＋4y＋1＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与l1的交点为(1,4)，
也满足题意，故直线x＝1符合题设．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
解法二：设点B的坐标为(m，n)，
∵点B在直线l1：2x＋y－6＝0上，
∴2m＋n－6＝0.①
又∵|AB|＝5，且点A(1，－1)，
∴＝5.②
联立①②，解得B的坐标为(1,4)和(5，－4)，
由此可得直线l的方程为：3x＋4y＋1＝0或x＝1.
16．(12分)在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A(2,4)，B(1，－3)，C(－2,1)．
(1)求BC边上的高所在的直线方程；
(2)设AC中点为D，求△DBC的面积．
解：(1)∵kBC＝＝－，∴BC边上的高的斜率为.
则BC边上的高所在的直线方程为y－4＝(x－2)，
即3x－4y＋10＝0.
(2)直线BC的方程为y＋3＝－(x－1)，即4x＋3y＋5＝0.
∵点D是AC的中点，
∴点D的坐标为，即.
此时点D到直线BC的距离
d＝＝，
又|BC|＝ ＝5，
则△DBC的面积S＝·|BC|·d＝·5·＝.
17．(12分)圆C经过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在P点的切线斜率为1，试求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将P、Q、R的坐标代入，得
∴圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心为.
又∵kCP＝－1，∴k＝－3.
∴圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
18．(14分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.
(1)求实数a、b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．
解：(1)连接OP，
∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又已知|PQ|＝|PA|故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2.化简得实数a、b间满足的等量关系为2a＋b－3＝0.
(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2a＋3.
|PQ|＝＝＝
.
故当a＝时|PQ|min＝，即线段PQ长的最小值为.
(3)设圆P的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，
即R≥||OP|－1|且R≤|OP|＋1.
而|OP|＝＝＝
.
故当a＝时|OP|min＝.
此时，b＝－2a＋3＝.Rmin＝－1.
半径取最小值时圆P的方程为2＋2＝2.
