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§1 直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率
自主学习 梳理知识
课前基础梳理
一个点
相交
逆时针方向
和x轴平行
0°≤α＜180°
正切值
tanα
倾斜角
90°
非负的
越大
负的
越大
典例精析 规律总结
课堂互动探究
即学即练 稳操胜券
基础知识达标
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第二章 解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率
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一、选择题
1．下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以是－30°；
③倾斜角是0°的直线只有一条；
④任何一条直线都有唯一的斜率．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①真命题．②假，倾斜角范围[0°，180°)．③假，无数条．④假，倾斜角为90°的直线无斜率．
答案：B
2．直线l过原点(0,0)且不过第二象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°]
C．[0°，90°) D．(0°，90°)
解析：画出直线l知，0°≤α≤90°.
答案：A
3．若直线过A(1,2)，B(4,2＋)，则此直线倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：tanα＝＝.∴α＝30°.
答案：A
4．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：由题意知kAB＝kAC，即
＝，解得m＝.
答案：A
5．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
解析：由题意得得
答案：C
6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C. D．
解析：如图所示，kl1＝0，kl2＝kOA＝2，只有当直线落在阴影部分才符合题意．
∴k∈[0,2]．
答案：A
二、填空题
7．已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的斜率为－，则点Q的坐标为________．
解析：设Q(a,0)，则＝－，解得a＝3＋2.
∴点Q的坐标为(3＋2，0)．
答案：(3＋2，0)
8．已知m＞0，若斜率为m的直线上有两点P(m,3)，Q(1，m)，则此直线的倾斜角为________．
解析：由题意知＝m，
m－3＝m－m2，m2＝3，
又∵m＞0，
∴m＝，设直线的倾斜角为α，
则tanα＝，α＝60°.
答案：60°
9．在下列命题中：
① 一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα；
②若直线斜率k＝1，则它的倾斜角为45°；
③若A(1，－3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；
④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；
⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．
所有正确命题的序号是________．
解析：①当α＝90°时，斜率k不存在，故命题①错误；②倾斜角的正切值为1时，倾斜角为45°，故命题②正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故命题③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又＝1，故直线必过(3,4)，命题④正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，命题⑤错误．
答案：②③④
三、解答题
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB相交．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围(已知tan135°＝－1)．
解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．
11．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
解：①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴kPA＝＝.
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan60°＝，解得a＝1－.
∴点P的坐标为.
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
综上，点P的坐标为或(0,2－)．
12．直线l经过M(2,1)分别交x，y轴正方向于A，B两点，且△AOB的面积为4，求直线l的斜率．
解：设A(a,0)，B(0，b)，由题意知ab＝4，即ab＝8.
又A、M、B共线，∴kAM＝kBM，
即＝，
则解得
∴A(4,0)，B(0,2)．
kl＝kAB＝＝－，
∴直线l的斜率为－.
13．求经过两点M(－1,2)，N(m,3)(m∈R)的直线的斜率，并讨论m为何值时，倾斜角α是锐角，钝角或直角．
解：∵M(－1,2)，N(m,3)，∴tanα＝kMN＝＝(m≠－1)．
①当m＋1>0，即m>－1时，kMN>0，∴α为锐角；
②当m＋1<0，即m<－1时，kMN <0，∴α为钝角；
③当m＋1＝0，即m＝－1时，kMN不存在，∴α＝90°，即α为直角．
