第二章 解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.2 直线的方程(1)
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一、选择题
1．过点(0,2)且斜率为－2的直线方程是( )
A．y＝－2x＋2 B．y＝－2x－2
C．y＝－2x－4 D．y＝－2x＋4
解析：点斜式方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.
答案：A
2．过点A(，1)且倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 D．y＝x＋2
解析：直线的斜率k＝tan60°＝，方程为y－1＝(x－)，即y＝x－2.
答案：A
3．直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则有( )
A．k·b>0 B．k·b<0
C．k·b≥0 D．k·b≤0
解析：由题意知k≤0，b>0，∴k·b≤0.
答案：D
4．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的已知点与倾斜角分别为( )
A．(4,3)，60° B．(3,4)，60°
C．(－4，－3)，30° D．(4,3)，30°
解析：由直线的点斜式方程：y－3＝(x－4)，知斜率k＝，∴倾斜角为60°，又过定点(4,3)．
答案：A
5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
解析：所求直线斜率为×2＝，则y－1＝(x＋1)．
答案：C
6．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
解析：如图．∵AO＝AB，∴B(2,0)，kAB＝＝－3，则直线AB点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．
答案：D
二、填空题
7．已知直线的方程为y－＝(a－2)(x＋1)，且其倾斜角为钝角，则a的取值范围是________．
解析：由直线方程的点斜式可知直线的斜率k＝a－2，又∵直线的倾斜角为钝角，∴k＜0，即a－2＜0，∴a＜2.
答案：(－∞，2)
8．直线l的方程为y－x＋m2－m＋1＝0，直线l在y轴上的截距为－3，则m的值为________
解析：令x＝0，则y＝－m2＋m－1.∵直线在y轴上截距为－3，∴－m2＋m－1＝－3，m2－m－2＝0，解得m＝－1或2.
答案：－1或2
9．直线l经过点P(1,2)，且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________．
解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上截距为3.即直线l与y轴交点的坐标为(0,3)，故直线斜率为＝－1.∴直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
10．根据下列条件，写出直线的方程．
(1)斜率是，经过点A(8，－2)；
(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(3)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．
解：(1)y＋2＝(x－8)，
整理得x－3y－8－6＝0.
(2)y＝－4x＋7，即4x＋y－7＝0.
(3)k＝＝＝－2，∴y－8＝－2(x＋1)，即2x＋y－6＝0.
11．已知△ABC的三个顶点在第一象限，且A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边和BC边所在直线的方程．
解：根据已知条件，画出示意图如图所示．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以kAC＝tan45°＝1.又直线经过点A(1,1)，所以直线AC的方程的点斜式为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.
同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，所以kBC＝tan135°＝－1，又直线过点B(5,1)，所以直线BC的方程的点斜式为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.
12．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝x＋b.
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－6b，
∴S＝|b|·|－6b|＝3，
即|b|2＝1|b|＝1，b＝±1.
∴所求方程为y＝x＋1或y＝x－1.
13．是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l的方程．
解：假设存在满足题设条件的直线l的方程，显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＋4＝k(x＋5)．
令x＝0，得与y轴的交点(0,5k－4)；
令y＝0，得与x轴的交点.
由题意得·|5k－4|＝5.
即25k2－30k＋16＝0(无解)或25x2－50k＋16＝0.
解得k＝或k＝.
所以直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)．
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§1 直线与直线的方程
1.2 直线的方程(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．过两点(2,5)，(2，－5)的直线方程是( )
A．x＝5 B．y＝2
C．x＋y＝2 D．x＝2
答案：D
2．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＝1或y＝x
C．x＋y＝2或y＝x D．x＝1或y＝1
解析：当截距均为0时，直线方程为y＝x，
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
∵直线经过点M(1,1)，∴＋＝1，a＝2，∴直线方程为x＋y＝2.
∴所求方程为x＋y＝2或y＝x.
答案：C
3．直线5x－4y－20＝0在x轴上的截距，在y轴上的截距和斜率分别是( )
A．4,5， B．5,4，
C．4，－5， D．4，－5，
解析：5x－4y＝20，得－＝1，
即＋＝1，在x轴、y轴上的截距分别为4和－5.化为斜截式：y＝x－5，则斜率为.
答案：C
4．若(m2－4)x＋(m2－4m＋3)y＋1＝0表示直线，则( )
A．m≠±2且m≠1，m≠3
B．m≠±2
C．m≠1且m≠3
D．m∈R
解析：方程若表示直线，则x、y系数不同时为0，若m2－4＝0，则m＝±2；若m2－4m＋3＝0，则m＝1或m＝3.显然m2－4与m2－4m＋3不同时为0，所以m∈R.
答案：D
5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵AC<0，BC<0，∴令x＝0，得y＝－>0，
令y＝0，得x＝－>0，
∴直线Ax＋By＋c＝0经过一，二，四象限，
即直线不经过第三象限．
答案：C
6．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是( )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3
C．y＝3x＋5 D．y＝－＋
解析：A(3，－1)关于直线x＝0的对称点A1(－3，－1)必在直线BC上，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点A2(－1,3)也在直线BC上，∴直线BC的方程为＝，即y＝2x＋5.
答案：A
二、填空题
7．直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过定点________．
解析：直线方程可转化为：
(2x－y－1)m＋(11－x－3y)＝0，
由题意知，解得
答案：(2,3)
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则直线在y轴上的截距为__________．
解析：直线过点(3,0)，代入直线方程得：
3(a＋2)－2a＝0，解得a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－，
∴直线在y轴上截距为－.
答案：－
9．在直线方程kx－y＋b＝0中，当x∈[－3,4]时，恰好y∈[－8，13]，则此直线的方程为____________________________________________．
解析：方程化为y＝kx＋b(k≠0)．
k＞0时，y＝kx＋b为增函数，
解得此时方程为y＝3x＋1；
当k＜0时，y＝kx＋b为减函数，
解得
此时直线方程为y＝－3x＋4.
∴直线方程为3x－y＋1＝0或3x＋y－4＝0.
答案：3x－y＋1＝0或3x＋y－4＝0
三、解答题
10．一条直线从点A(3,2)出发，经x轴反射经过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程的一般式．
解：由光的反射性质可得A关于x轴的对称点A′(3，－2)．A′B的方程为＝，即2x＋y－4＝0.
直线A′B与x轴交点C(2,0)，则入射光线AC的方程为＝，即2x－y－4＝0.
∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
11．根据下列所给条件求直线方程的一般式．
(1)△ABC的顶点A(－1,3)，B(2,4)，C(3，－2)，求BC边上中线所在直线的方程；
(2)?ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解：(1)BC边中点D，则中线AD方程为：
＝，整理得：4x＋7y－17＝0，
∴BC边上中线所在直线方程为4x＋7y－17＝0.
(2)设D(x0，y0)，由题意知kAD＝kBC，kAB＝kDC.
∴
即解得
即D(2,0)，∴直线BD方程为x＝2，即x－2＝0.
12．已知直线l经过点P(－5,4)，且与坐标轴的正半轴围成三角形的面积为5，求直线l的方程．
解：由题意知，直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
∵直线l经过点P(－5,4)，
∴＋＝1，
又∵直线l与坐标轴的正半轴围成三角形的面积为5，
∴ab＝5，即ab＝10.
由解得
∴直线方程为＋＝1，即2x＋5y－10＝0.
13．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，
∴a＝2，方程即3x＋y＝0；
若a≠2，由于截距存在，
∴＝a－2，
即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
或
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
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