第二章 解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程
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一、选择题
1．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则此圆的圆心和半径分别是( )
A．(1，－1)，4 B．(1，－1)，2
C．(－1,1)，4 D．(－1,1)，2
解析：∵圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心(a，b)，半径为r，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心(1，－1)，半径r＝2.
答案：B
2．点A(m,6)与圆x2＋y2＝25的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
解析：把点A的坐标(m,6)代入x2＋y2＝25，得m2＋36>25，∴点A在圆外．
答案：C
3．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3平分，则a等于( )
A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
解析：由题意知，(a，－5)在直线上，
∴a＋2×(－5)＋3＝0，a＝7.
答案：B
4．方程y＝ 表示的图形是( )
解析：原式可转化为：x2＋y2＝1(y≥0)，它表示原点为圆心，半径为1的圆位于x轴及上面部分．
答案：C
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵直线通过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，∴－a>0，－b<0，
∴圆心(－a，－b)位于第四象限．
答案：D
6．已知直线l的方程为3x＋4y－25＝0，则圆x2＋y2＝1上的点到直线l的距离的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：圆心到直线的距离d＝＝5，圆半径r为1，d－r＝4就是圆上的点到直线l距离的最小值．
答案：B
二、填空题
7．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________________________________________________．
解析：直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．
∴r2＝|AB|2＝(2－0)2＋(0－4)2＝20.
∴圆的方程为x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20.
答案：x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20
8．若圆C和圆(x－2)2＋(y＋2)2＝1关于直线x－y＋1＝0对称，则圆C的方程___________________________________．
解析：设C(a，b)．已知圆心坐标为(2，－2)．
由题意知，解得
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝1.
答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝1
9．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为________．
解析： 表示点A(1,1)到点P(x，y)的距离，它的最大值为A到圆心(0,0)的距离加上半径，即＋1.
答案：＋1
三、解答题
10．一圆经过点P(－4,3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上，且半径为5，求该圆的方程．
解：设圆心坐标为(a，b)．
则
解得或
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25或(x＋1)2＋(y＋1)2＝25.
11．已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线l：3x－2y＝0平分圆C，求圆C的方程．
解：由于直线l：3x－2y＝0平分圆C，故圆C的圆心C(a，b)在直线l上，即3a－2b＝0.①
又|CA|＝|CB|
∴＝.②
把①代入②得a＝2，b＝3，
∴|CA|＝＝1，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|＝ ＝2，
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
13．平面上两点A(－1,0)，B(1,0)，在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上取一点P，求使|PA|2＋|PB|2取最小值时点P的坐标．
解：设P点的坐标为(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)，
∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝
2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小．
又点P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的点，
∴|OP|min＝|OC|－r(r为半径)．
由(x－3)2＋(y－4)2＝4知：C(3,4)，r＝2.
∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，
即|OP|min＝3，
∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.
此时x2＋y2＝9且＝，
解得x＝，y＝，
∴P点坐标为.
(共34张PPT)
§2 圆与圆的方程
2.1 圆的标准方程
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