第二章 解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)
课时跟踪检测
一、选择题
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：∵圆心(0,0)到直线3x＋4y＝5的距离d＝＝1<4，∴直线与圆相交．
答案：A
2．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于( )
A．12 B．2
C．3 D．4
解析：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝2，∴圆心是(－2,2)，半径为，圆心(－2,2)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝0，∴直线过圆心，即弦长＝2r＝2.
答案：B
3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：设圆心坐标为(a,0)，a＞0.
则＝2，解得a＝2.
∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0.
答案：A
4．直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1没有公共点，则k的取值范围是( )
A．(－，)
B．(－，)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：直线方程为kx－y＋2＝0，
∵直线与圆没有公共点，
∴＞1，解得－＜k＜.
答案：B
5．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )
A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析：若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线斜率存在，设直线方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0.
∵该直线被圆截得的弦长为8，圆的半径为5.
∴圆心(0,0)到直线的距离为 ＝，解得k＝－，此时直线方程为3x＋4y＋15＝0.
答案：D
6．直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC的面积为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：圆C的圆心(2，－1)到直线2x－y＝0的距离d＝＝，则直线被圆截得的弦长|AB|＝2＝4，所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝×4×＝2.
答案：A
二、填空题
7．若圆心在直线y＝x上，半径为 的圆M与直线x＋y＝4相切，则圆M的标准方程是_________________________________________________．
解析：设圆心坐标为(a，a)，直线方程为x＋y－4＝0.
由题意知＝，解得a＝3或a＝1.
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2
8．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点的个数为________．
解析：圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，
半径r＝＝2.
∴圆上有3个点到直线的距离为.
答案：3
9．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝__________.
解析：圆的方程可化为标准方程：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
最大弦长为圆的直径，则m＝10；
当点(－1,0)为弦的中点时，弦长最小，此点到圆心的距离d＝ ＝3，
∴最小弦长为2＝2＝2.
∴m－n＝10－2.
答案：10－2
三、解答题
10．圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
解：(1)当α＝135°时，kAB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
故圆心(0,0)到AB的距离
d＝＝，
从而弦长|AB|＝2 ＝.
(2)解法一：由题可知kOP＝－2，故kAB＝，
所以l的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.
由
两式相减得
(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kAB＝＝.
∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
11．若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：由题易知，圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心为.
又直线l：4x＋3y－8＝0过圆C的圆心，∴4×＋3×0－8＝0，∴a＝4，∴圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴|AB|＝2r＝4.又点O(0,0)到直线l：4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝.
12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2外一点P(2，－1)，过点P作圆C的切线PA，PB，其中A，B是切点．
(1)求PA，PB所在的直线方程；
(2)求|PA||PB|的值；
(3)求直线AB的方程．
解：(1)由圆心C(1,2)，点P(2，－1)及半径r＝知，切线斜率一定存在．设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
因为圆心到切线的距离等于半径．
所以＝，
即k2－6k－7＝0.解得k＝－1或k＝7.
故切线方程为x＋y－1＝0或7x－y－15＝0.
即PA，PB所在的直线方程分别为x＋y－1＝0,7x－y－15＝0.
(2)因为|PC|＝＝，
所以|PA|＝|PB|＝ ＝2.
(3)由解得
所以A(0,1)．由
解得所以B.
故直线AB的方程为＝，即x－3y＋3＝0.
13．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在这个圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点为A′.
由已知得AA′为圆的弦，且AA′的对称轴x＋2y＝0过圆心．设圆心C(－2a，a)，半径为r，则r2＝|CA|2＝(－2a－2)2＋(a－3)2.
又弦长2＝2，d＝＝，
∴(2a＋2)2＋(a－3)2－＝2，
整理得：a2＋10a＋21＝0，解得a＝－3或a＝－7.
当a＝－3时，r＝，圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52；
当a＝－7时，r＝，圆的方程为(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
综上，圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
(共41张PPT)
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(2)
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相离
外切
相交
内切
内含
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第二章 解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－6y＝0的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．内含
解析：原方程可转化为O1：(x－1)2＋y2＝1，O2：x2＋(y－3)2＝9，∴O1(1,0)，O2(0,3)，r1＝1，r2＝3.
|O1O2|＝.∵3－1＜＜3＋1，
∴r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2.
∴两圆相交．
答案：A
2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：由题意得|C1C2|＝3＋2，即＝5.整理得m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
答案：C
3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
∴|C1C2|＝＝＜r1＋r2，且|C1C2|＞|r1－r2|∴两圆相交，公切线有两条．
答案：B
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：由题意知，所求圆圆心的轨迹是以(5，－7)为圆心，以4－1或4＋1为半径的圆，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案：D
5．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：A
6．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.2＋2＝
D.2＋2＝
解析：C1：(x＋2)2＋y2＝3，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，直线C1C2的方程为x＋y＋2＝0.公共弦所在直线方程为x－y＝0.
由得
故圆心为(－1，－1)，综合选项知选B.
答案：B
二、填空题
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________________．
解析：设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，
半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
解析：公共弦所在直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线y＝的距离d＝，由2＋2＝22，解得a＝1.
答案：1
9．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P坐标为(1,2)，则Q点的坐标为________．
解析：圆心分别为(－1,1)、(2，－2)，过圆心的直线方程为＝，即y＝－x.由题意知两圆交点关于直线y＝－x对称，∴Q(－2，－1)．
答案：(－2，－1)
三、解答题
10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为(2,1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为
4x＋4y＋r－8＝0.
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
所以圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
＝＝，解得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
11．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．将x2＋y2－2x＝0化为标准方程(x－1)2＋y2＝1.
则解得或
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
12．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
解：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
∵圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.②
由②－①，得两圆的公共弦方程
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得：r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，∴t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
13．已知实数x，y满足x2＋y2＋4x＋3＝0，求的最大值与最小值．
解：如图所示，设M(x，y)，则点M在圆O1：(x＋2)2＋y2＝1上．
令Q(1,2)，则设k＝kMQ＝，
即kx－y－k＋2＝0.
过Q作圆O1的两条切线QA，QB，则直线QM夹在两切线QA，QB之间，
∴kQA≤kQM≤kQB.
又由O1到直线kx－y－k＋2＝0的距离为1，
得＝1，即k＝.
∴的最大值为，最小值为.
(共42张PPT)
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)
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相离
相切
相交
2
1
0
d＜r
d＝r
d＞r
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
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