1.不等式的基本性质 课件 23张PPT

(共23张PPT)
不等式的性质
青海师大附中 庞志雷
内容说明内容说明
内容说明内容说明
活动一：现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水（甲的水壶比乙的小），设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1 、t2 分钟，且t1 与t2 不相等，问：只有一个水龙头时，应如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？最少总时间为多少？
01
什么？
有两种情况：
甲先注水：T1= t1 + t1 + t2 = 2 t1 + t2
乙先注水：T2= t2 + t2 + t1 = 2 t2 + t1
（作差） T1 - T2 = 2 t1 + t2 -（2 t2 + t1）= t1 - t2
因为t1 < t2 , 所以T1 - T2 < 0即T1

结论：谁的水壶比较小，即谁注水的时间比较短，谁先打水，则等待的总时间最少.
学习目标：
1、经历探索不等式基本性质的过程，掌握证明不等式的基本方法.
2、在不等式基本性质的探索过程中，培养逻辑推理与合作交流能力；
理解类比，归纳，数形结合等思想方法.
3、通过类比体会数学各个内容之间的联系，学会从已有的知识出发猜想、探索新知识.


01
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02
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03
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活动二：写出等式的基本性质，然后类比写出不等式的基本性质，并自主证明。
等式的基本性质 不等式的基本性质





如果a=b,那么b=a
如果a=b,b=c,那么a=c

如果a＝b，那么a+c＝b+c

如果a＝b，那么ac＝bc

（1）aa
（2）a>b，b>c? a>c

（3）a>b ? a+c>b+c

（4）a>b且c>0 ?ac>bc
a>b且c<0?ac
性质2：若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性)
证明：∵a＞b ∴a－b＞0
∵b＞c ∴b－c＞0
∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0 (正负数运算性质)
则a＞c

性质1：a>b? b 证明： ∵ a>b ∴ a-b>0
∴ -(a-b)<0
∴ b-a<0 ∴ b





性质3：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质)
证明：∵a＞b ∴a－b＞0
∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0
∴a＋c＞b＋c

性质4：若a＞b，c＞0，则ac＞bc
若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)
证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)
∵a＞b ∴a－b＞0
当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)
当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)







等式的倒数性质：如果a＝b，那么








不等式是否具有倒数的性质？

1、若a>b>0,则 0＜ (不等式的倒数性质)





注意作差
中的运算
技巧
（通分）








能不能用性质证明呢？

2、若0>a>b ,

3、若a>0>b ,









还有什么
证明方法吗？
1、若a>b>0,则 0＜ (不等式的倒数性质)



还可以利用反比例函数图像来解决
↑
→
b
由图像可知
x
y

2、若0>a>b,则 (不等式的倒数性质)



↑
→
b
由图像可知
x
y

01
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02
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活动四：前面我们在不等式两边加、乘了相同的数，那在不等式两边加、乘不同的数，是否也具有保持不等号不变或改变的特性？
加不同的数 乘不同的数


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02
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你能给出证明吗？
性质5：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)

证明1：∵a＞b ∴a－b＞0 ∵c＞d ∴c－d＞0
则(a＋c)－(b＋d)=(a－b)＋(c－d)＞0 (作差比较法)
即a＋c＞b＋d

证明2：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质3)
∵c＞d ∴b＋c＞b＋d (性质3)
则a＋c＞b＋d (性质2)






























性质6：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向同正不等式相乘性质)


证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞ac (性质3)
∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)
则ac＞bd (性质1)

，



















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活动五：除了加减乘除还可以进行什么运算？
乘方 开方
(不等式的乘方性质)
(不等式的开方性质)

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02
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你能给出证明吗？
a>b>0


性质7 ： 若
(乘方法则）
可用幂函数图像证明,构造函数

构造幂函数：
a

b


由图像可知：


仍可用幂函数图像证明,构造函数
性质8： 若
（开方法则）
能类比性质7的证明吗？
a

b


由图像可知：
有两种情况：
甲先注水：T1= t1 + t1 + t2 = 2 t1 + t2
乙先注水：T2= t2 + t2 + t2 = 2 t2 + t1
若 t1 < t2 ，则 t1 +（t1 + t2） < t2 +（t1 + t2） （性质3）
即 2 t1 + t2 < 2 t2 + t1








能用性质证明吗？
现有甲、乙两人拿着不同的水壶去打水（甲的水壶比乙的小），设水龙头注满甲、乙水壶的时间分别为t1 、t2 分钟，且t1 与t2 不相等，问：只有一个水龙头时，应如何安排两人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？最少总时间为多少？








能从中提炼出什么结论吗？
若： 1 < 2

t1 < t2
则： 2 t1 + t2 < 2 t2 + t1


若： a1 < a2

b1 < b2
则： a1b2 + a2 b1 < a1 b1 + a2 b2








课后拓展
有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第ｉ（ｉ＝1、2…、10）个人的水桶需要ti分钟，假定桶各不相同，问：只有一个水龙头时，应如何安排这10个人的顺序，才能使他们等候的总时间最少？最少总时间为多少？
课堂小结：
1、知识：
2、方法：
3、数学思想：

类比等式的性质猜想得到了不等式的五条性质，又通过加、乘不同的数得到了其他的两条性质；又通过乘方开方运算得到性质7、8。其中，我们在验证猜想的过程中使用了作差比较法、性质证明法、数形结合的思想等。
课后作业：

谢谢大家！