高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆 课件 21张PPT

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椭圆及其标准方程

高二数学人教版选修２－１
观察
演示
有哪些生活经验能得到椭圆
类比
圆：平面上到一个定点的 距离 等于定长的点的轨迹叫做 圆。
平面内到 的 等于定长的点的轨迹叫做 。



两个定点
距离和
椭圆

平面内到两个定点的距离和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。
大于两定点距离

这两个定点F1、F2叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距。
当 时，轨迹是线段。
椭圆：平面内到两个定点的距离和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹。

当 时，轨迹不存在。
探究一：椭圆的定义
例１
（１）平面内到A（-3,0），B（3,0）距离和等于８的点的轨迹
（２）平面内到A（-3,0），B（3,0）距离和等于６的点的轨迹
线段AB
椭圆
（３）平面内到A（-3,0），B（3,0）距离和等于５的点的轨迹 　　　　　　　
不存在

建系：
设点：
列式：
化简：
证明：
建立适当的直角坐标系；
设M（x,y）是曲线上任意一点；
建立关于x,y的方程 f(x,y)=0；
化简方程f(x,y)=0.
说明曲线上的点都符合条件，（纯粹性）；符合条件的点都在曲线上（完备性）。
探究二：求椭圆的标准方程
复习:求曲线方程的方法步骤是什么？
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”





M
F1
F2
方案一


O
x
y
方案二

F1
F2
M




如何求椭圆的方程？
思考：
y
x
O
y
x
O
y
x
O
x





F1
F2
M


0
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别 是(?c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得：
代入坐标
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆定义可知

两边再平方，得
移项，再平方



).
0
(
1
2
2
2
2
>
>
=
+
b
a
b
y
a
x

椭圆的标准方程
它表示：
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2


焦点在x轴上的椭圆的标准方程：



F1
F2
M

0
x
y



焦点在y轴上的椭圆的标准方程
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
③ c2= a2 - b2


x
M



F1
F2

y
O
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断









不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系



根据所学知识完成下表:






x
y


F1
F2
P
O





x
y



F1
F2
P
O
a2-c2=b2

　　　　椭圆的两个焦点的坐标分别是F1（－2，0），F2（2，0）椭圆过点M ( ， ) ，求椭圆的标准方程及三角形MF1F2的周长。




1
2





y
o
F
F
M
x






求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）一定焦点位置
（2）二设椭圆方程；
（3）三求a、b的值.(待定系数法)
（4）写出椭圆的标准方程.


例２
B
C
D
A
7

5
A
3
2
练习１.已知椭圆 上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 （ ）
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上,
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5.
如图，点C（2,0）为圆A　　　　　 半径AB上一点，点M在圆上，作MC的中垂线交AM于点P，当M在圆上运动时，点P的轨迹方程是什么？
思考　
提示∵PC+PA=PM+PA= R >AC，
∴P点轨迹为椭圆。


定义
椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数2a (大于│ F1F2│,)的点的轨迹，叫做椭圆.

两个方程
椭圆标准方程：
(1). 椭圆焦点在x轴上

(2). 椭圆焦点在y轴上

求曲线方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明。
作业　
１、预习例２
２、书面作业：
（１）课本４２面第２题
（２）　Ｂ组第一题　
３、查找生活的椭圆并利用信息技术知识探究与椭圆有关的知识
谢谢大家