高中数学人教新课标A版选修3-1第二讲　古希腊数学四 数学之神──阿基米德 课件 29张PPT

(共29张PPT)
人教A版选修3-1

第二讲
古希腊数学

第二讲 古希腊数学
四.数学之神——阿基米德






数学之神
知
多
少
历史背景：
西西里岛
叙拉古
亚历山大

欧几里得(公元前300年)

阿基米德(公元前287-前212)
罗马

数学方面代表作：
平衡法
方法论
圆的度量
论球和圆柱
抛物线求积
论锥体和球体
论螺线
......

LOREM IPSUM DOLOR
02
01
阿基米德圆柱容球问题
03
阿基米德三角形问题
阿基米德螺线问题
情景一：阿基米德圆柱容球问题

假设：如图，球的直径与圆柱的高和底面直径相等为2r.假设圆柱的底面半径为r.
结论：


数学的美如此和谐！


01

情景一：阿基米德圆柱容球问题

例1：(2017年江苏卷 第六题）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，计圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1：V2的值是（ ）

3：2

01
我早以看透题目真相

杠杆原理：F1· L1=F2·L2
情景一：阿基米德圆柱容球问题
《处理力学问题的方法》

《平衡法》

01

阿基米德“平衡法”的中心思想：
要计算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小的量获得平衡，而后者的总和较容易计数.这实际上就是近代积分的基本思想.阿基米德的睿智在两千二百多年前就放射出耀眼的光芒！！！


情景一：阿基米德圆柱容球问题
《平衡法》
我们可以把整个球体分切成无数的锥体，每一个锥体的底面都是球体表面积的一小部分。当这些锥体不断进行分切时，每一个锥体的底面都越来越小，记作S1、S2、S3……Sn，而它们的高则向球体的半径趋近。因此我们可以得到：








解方程得：



01


情景一：阿基米德圆柱容球问题

例2：(2018年课标全国Ⅰ第五题）已知圆柱的上下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）

01
12Π

01

一题新作，创意无限

LOREM IPSUM DOLOR
01
阿基米德柱容球问题
02
阿基米德三角形问题
03
阿基米德螺线问题



02
情景二：阿基米德三角形问题

我们知道，面积计算起源很早。古时候，河流泛滥后，官方需要丈量土地，按土地征税。






古时候，人们在长期测量实践中总结了求直线形面积的方法

直线形面积求法
三角形的面积
求矩形的面积


通过分割，把多边形面积归结为求三角形面积
通过割补法，可划归为矩形问题



02
情景二：阿基米德三角形问题



萌芽思想

古希腊与苏格拉底同时期的安提丰提出：随着一个圆的内接正多边形的边数逐渐成倍增加，此圆与多边形的面积的差将被穷竭
那么，如何求圆的面积，甚至一般曲形的面积呢？这个问题，数学家们持续研究了约两千多年，直到微积分的产生，才获得圆满的解决.
刘徽



02
情景二：阿基米德三角形问题





发展思想
完善理论

直到1800年后，牛顿、莱布尼兹、柯西才建立起严格的穷竭法理论，也就是微积分的诞生！！！
那么，如何求圆的面积，甚至一般曲形的面积呢？这个问题，数学家们持续研究了约两千多年，直到微积分的产生，才获得圆满的解决.
后人欧多克斯给出了基础命题和双归谬法，这就有了穷竭法.阿基米德在考察弓形面积时，巧妙应用穷竭法思想，用多边形面积逐步逼近抛物线弓形面积.



02
情景二：阿基米德三角形问题







萌芽思想
发展思想
完善理论


古希腊与苏格拉底同时期的安提丰提出：随着一个圆的内接正多边形的边数逐渐成倍增加，此圆与多边形的面积的差将被穷竭
直到1800年后，牛顿、莱布尼兹、柯西才建立起严格的穷竭法理论，也就是微积分的诞生！！！
那么，如何求圆的面积，甚至一般曲形的面积呢？这个问题，数学家们持续研究了约两千多年，直到微积分的产生，才获得圆满的解决.
后人欧多克斯给出了基础命题和双归谬法，这就有了穷竭法.阿基米德在考察弓形面积时，巧妙应用穷竭法思想，用多边形面积逐步逼近抛物线弓形面积.



02
情景二：阿基米德三角形问题

阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积，是最早使用穷竭法进行积分运算的数学家，是微积分学的先驱。穷竭法被后人称为阿基米德原理。




02
情景二：阿基米德三角形问题

以 为例。如图，已知抛物线上两个点 以
A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称三角形PAB为阿基米德三角形.







02
情景二：阿基米德三角形问题

阿基米德三角形，这个两千多年前的古老图形，如同一个题库，里面蕴含着各种各类考试命题素材，衍生出的高考题主要有以下五种类型：



02
情景二：阿基米德三角形问题


如图，已知抛物线上两个点 以

A，B为切点的切线PA，PB相交于点P
求证：



02
情景二：阿基米德三角形问题






02
情景二：阿基米德三角形问题


如图，已知抛物线上两个点 以

A，B为切点的切线PA，PB相交于点P
求证：

LOREM IPSUM DOLOR
02
01
阿基米德圆柱容球问题
阿基米德三角形问题
03
阿基米德螺线问题

俗话说：人往高处走，水往低处流”。我们在大自然见到的水总是从高处往低处流，比如飞流直下三千尺的瀑布，顺流而下的山泉水。那么可不可以让水往高处流呢？



03
情景三：阿基米德螺线问题


阿基米德螺线

极坐标方程为：r = aθ

这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa.



03
情景三：阿基米德螺线问题
情景三：阿基米德螺线问题





螺旋无处不在
两千多年过去了，当今社会，阿基米德螺旋线应用仍然十分广泛。
自然界中螺线广泛存在，
在千姿百态的生命体上发
现了不少螺旋。

03





03
情景三：阿基米德螺线问题
阿基米德螺线

你还知道关于阿基米德螺线哪些性质呢？

阿基米德
一、时代简介：
时间:公元前287年—公元前212年
出生地：叙古拉
学派：亚历山大学派
职业：哲学家、数学家、发明家、天文学家、物理学家
在数学方面主要成就：
曲边图形的面积和曲面立方体的体积、微积分萌芽、螺旋曲线性质等
地位：几何著作代表了希腊数学的顶峰，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。


阿基米德

二、研究问题主要问题：
1、阿基米德圆柱容球问题:



2、阿基米德三角形问题

3、阿基米德螺线问题（拓展）
三、方法论
平衡法、穷竭法



数学和谐美！

敬请批评指正！