九年级第二学期 第二十七章 圆与正多边形 单元测试卷
姓名： 班级：
一、选择题
1．已知 1O? 和 2O? ，其中 1O? 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2，那么两
圆外切时圆心距等于 ( )
A．1 B．4 C．5 D．8
2．若 A? 的半径为 5，圆心 A的坐标是 (1,2)，点 P的坐标是 (5,2)，那么点 P的位置为 ( )
A．在 A? 内 B．在 A? 上 C．在 A? 外 D．不能确定
3．在 ABC? 中， 9AB ? ， 2 12BC AC? ? ，点 D、 E分别在边 AB、 AC 上，且 / /DE BC，
2AD BD? ，以 AD为半径的 D? 和以CE 为半径的 E? 的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
4．如图，在矩形 ABCD中，点 E是CD的中点，联结 BE ，如果 6AB ? ， 4BC ? ，那么分
别以 AD、 BE 为直径的 M? 与 N? 的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．如图，在 ABC? 中， AB AC? ， 4BC ? ， tan 2B ? ，以 AB的中点 D为圆心， r 为半径
作 D? ，如果点 B在 D? 内，点C在 D? 外，那么 r 可以取 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在 O? 的内接四边形 ABCD中， AB是 O? 的直径， 120BCD? ? ?，过点 D的切
线 PD与直线 AB交于点 P，则 P? 的度数为 ( )
A． 90o B． 60o C． 40o D． 30o
二、填空题（共 12小题）
7．边长为 6的正六边形的边心距为 ．
8．一个正 n边形的中心角等于18?，那么 n ? ．
9．已知两圆外切，圆心距为 7，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径长为 ．
10．已知相交两圆的半径长分别为 8与 15，圆心距为 17，则这两圆的公共弦长为 ．
11．若两个圆的圆心距为 1.5，而两个圆的半径是方程 24 20 21 0x x? ? ? 的两个实数根，
则这两个圆的位置关系是 ．
12．如图， 已知 BD是 O? 的直径， 点 A、C在 O? 上，? ?AB BC? ， 60AOB? ? ?，
则 COD? 的度数是 度 ．
13．如图，点 A、B、C在圆O上，弦 AC 与半径OB互相平分，那么 AOC? 度数为 度．
14．如图，已知 AB是 O? 的弦，C是?AB的中点，联结OA， AC ，如果 20OAB? ? ?，那
么 CAB? 的度数是 ．
15．如图， AB是 O? 的弦， 30OAB? ? ?．OC OA? ，交 AB于点C，若 6OC ? ，则 AB的
长等于 ．
16．如图，在 ABC? 中， 2AB ? ， 2AC ? ，以 A为圆心，1 为半径的圆与边 BC相切，
则 BAC? 的度数是 度．
17．如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 B、C 分别在正方形 AGHI 的边 AG、GH 上，
如果 4AB ? ，那么CH 的长为 ．
18．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt ABC? 中， 90A? ? ?， 10BC ? ， 6AB ? ，
如果准外心 P在 AC边上，那么 PA的长为 ．
三．解答题（共 8小题）
19．如图，AB是 O? 的直径，弦CD与 AB相交于点 E， 13AE ? ， 3BE ? ， 3cos
5
AEC? ? ，
求弦CD的长．
20．如图，已知等腰直角 ABC? 中， 90BAC? ? ?，圆心O在 ABC? 内部，且 O? 经过 B、C
两点，若 8BC ? ， 1AO ? ，求 O? 的半径．
21．如图，点C在 O? 的直径 BA的延长线上， 2AB AC? ，CD切 O? 于点 D，连接CD，
OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若 O? 的半径 2r ? ，求 BD的长度．
22．如图，以Rt ABC? 的直角边 AB为直径的半圆O，与斜边 AC交于D，E是 BC边上
的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若 AD、 AB的长是方程 2 10 24 0x x? ? ? 的两个根，求 BD的长．
23．如图，已知 AB是圆O的直径，弦CD AB? ，垂足H 在半径OB上， 5AH ? ， 4 5CD ? ，
点 E在弧 AD上，射线 AE与CD的延长线交于点 F ．
（1）求圆O的半径；
（2）如果 6AE ? ，求 EF 的长．
24．如图，在等腰三角形 ABC中， AB AC? ，以 AC 为直径作圆O，与 BC交于点 E，过
点 E作 ED AB? ，垂足为点D，
（1）求证：DE为 O? 的切线；
（2）过O点作 EC的垂线，垂足为H ，求证： EH BE BD CO?? ? ．
25．如图所示，该小组发现 8米高旗杆 DE的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，
于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6米，测得其影长为 2.4米，
同时测得 EG 的长为 3米，HF的长为 1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，
即MN 的长）为 2米，求小桥所在圆的半径．
26．已知圆O的直径 12AB ? ，点C是圆上一点，且 30ABC? ? ?，点 P是弦 BC上一动点，
过点 P作 PD OP? 交圆O于点 D．
（1）如图 1，当 / /PD AB 时，求 PD的长；
（2）如图 2，当 BP平分 OPD? 时，求 PC的长．
参考答案
一．选择题（共 6小题）
1．已知 1O? 和 2O? ，其中 1O? 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2，那么两
圆外切时圆心距等于 ( )
A．1 B．4 C．5 D．8
解：?两圆相内切，设小圆半径为 x，圆心距为 2，
3 2x? ? ? ，
1x? ? ，
?小圆半径为 1，
这两圆外切时，圆心距为：1 3 4? ? ．
故选： B．
2．若 A? 的半径为 5，圆心 A的坐标是 (1,2)，点 P的坐标是 (5,2)，那么点 P的位置为 ( )
A．在 A? 内 B．在 A? 上 C．在 A? 外 D．不能确定
解：?圆心 A的坐标是 (1,2)，点 P的坐标是 (5,2)，
2 2(5 1) (2 2) 4 5AP? ? ? ? ? ? ? ，
?点 P在 A? 内，
故选： A．
3．在 ABC? 中， 9AB ? ， 2 12BC AC? ? ，点 D、 E分别在边 AB、 AC 上，且 / /DE BC，
2AD BD? ，以 AD为半径的 D? 和以CE 为半径的 E? 的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
解：如图，
/ /DE BC? ，
?
DE AD
BC AB
? ，
12BC ?? ， 2AD BD? ，
?
2
12 3
DE
? ， 8DE ? ，
D?? 的半径为 6AD ? ， E? 的半径 2CE ? ，
6 2 8AD CE DE? ? ? ? ? ? ，
?以 AD为半径的 D? 和以CE 为半径的 E? 的位置关系是外切，
故选： B．
4．如图，在矩形 ABCD中，点 E是CD的中点，联结 BE ，如果 6AB ? ， 4BC ? ，那么分
别以 AD、 BE 为直径的 M? 与 N? 的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
解：如图所示：连接MN ，
可得M 是 AD的中点， N是 BE的中点，
则MN 是梯形 ABED的中位线，
则
1 ( ) 4.5
2
MN AB DE? ? ? ，
3EC ?? ， 4BC AD? ? ，
5BE? ? ，
则 N? 的半径为 2.5，
M? 的半径为 2，
则 2 2.5 4.5? ? ．
故 M? 与 N? 的位置关系是：外切．
故选： B．
5．如图，在 ABC? 中， AB AC? ， 4BC ? ， tan 2B ? ，以 AB的中点 D为圆心， r 为半径
作 D? ，如果点 B在 D? 内，点C在 D? 外，那么 r 可以取 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：如图，过点 A作 AF BC? 于点 F ，连接CD交 AF 于点G，
AB AC?? ， 4BC ? ，
2BF CF? ? ? ，
tan 2B ?? ，
? 2AF
BF
? ，即 4AF ? ，
2 22 4 2 5AB? ? ? ? ，
D? 为 AB的中点，
5BD? ? ，G是 ABC? 的重心，
1 4
3 3
GF AF? ? ? ，
2 24 2 13( ) 2
3 3
CG? ? ? ? ，
3 13
2
CD CG? ? ? ，
?点 B在 D? 内，点C在 D? 外，
? 5 13r? ? ，
故选： B．
6．如图，在 O? 的内接四边形 ABCD中， AB是 O? 的直径， 120BCD? ? ?，过点 D的切
线 PD与直线 AB交于点 P，则 P? 的度数为 ( )
A． 90o B． 60o C． 40o D． 30o
解：连接OD，如图，
180BAD BCD? ?? ? ?? ，
180 120 60BAD?? ? ? ? ? ? ?，
OA OD?? ，
AOD?? 是等边三角形，
60AOD?? ? ?，
PD? 为切线，
OD PD? ? ，
90ODP?? ? ?，
90 90 60 30P AOD?? ? ? ?? ? ? ? ? ?，
故选：D．
二．填空题（共 12小题）
7．边长为 6的正六边形的边心距为 3 3 ．
解：如图所示，此正六边形中 6AB ? ，
则 60AOB? ? ?；
OA OB?? ，
OAB?? 是等边三角形，
OG AB?? ，
30AOG?? ? ?，
3cos30 6 3 3
2
OG OA? ? ? ? ? ?? ，
故答案为3 3．
8．一个正 n边形的中心角等于18?，那么 n ? 20 ．
解：
360 20
18
n ?? ?
?
，
故答案为：20．
9．已知两圆外切，圆心距为 7，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径长为 4 ．
解：?两圆外切，圆心距为 7，若其中一个圆的半径为 3，
?另一个圆的半径 7 3 4? ? ? ．
故答案为：4．
10．已知相交两圆的半径长分别为 8与 15，圆心距为 17，则这两圆的公共弦长为 240
17
．
解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，
其三边分别为 8，15，17，
由于 2 2 217 15 8? ? ，
?这个三角形是以 17为斜边的直角三角形，
斜边上的高
8 15 120
17 17
?
? ? ，
故公共弦长
120 2402
17 17
? ? ? ，
故答案为
240
17
．
11．若两个圆的圆心距为 1.5，而两个圆的半径是方程 24 20 21 0x x? ? ? 的两个实数根，
则这两个圆的位置关系是 内含 ．
解： 24 20 21 0x x? ? ?? ，
(2 3)(2 7) 0x x? ? ? ? ，
解得： 1 1.5x ? ， 2 3.5x ? ，
?两圆的半径分别是 1.5，3.5，
?两圆的圆心距等于 1.5，
?这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为内含．
12．如图， 已知 BD是 O? 的直径， 点 A、C在 O? 上，? ?AB BC? ， 60AOB? ? ?，
则 COD? 的度数是 120 度 ．
解：? ? ?AB BC? ， 60AOB? ? ?，
60BOC AOB?? ?? ? ?，
BD? 是 O? 的直径，
180BOD?? ? ?，
180 120COD BOC?? ? ??? ? ?．
故答案为 120 ．
13．如图，点 A、 B、C在圆O上，弦 AC 与半径OB互相平分，那么 AOC? 度数为 120
度．
解：?弦 AC 与半径OB互相平分，
OA AB? ? ，
OA OC?? ，
OAB?? 是等边三角形，
60AOB?? ? ?，
120AOC?? ? ?，
故答案为 120．
14．如图，已知 AB是 O? 的弦，C是?AB的中点，联结OA， AC ，如果 20OAB? ? ?，那
么 CAB? 的度数是 35? ．
解：连接OC 交 AB于 E．
C? 是?AB的中点，
OC AB? ? ，
90AEO?? ? ?，
20BAO? ? ?? ，
70AOE?? ? ?，
OA OC?? ，
55OAC C?? ? ? ? ?，
35CAB OAC OAB?? ? ? ?? ? ?，
故答案为35?．
15．如图， AB是 O? 的弦， 30OAB? ? ?．OC OA? ，交 AB于点C，若 6OC ? ，则 AB的
长等于 18 ．
解：过O点作OD AB? 于D，
30OAB? ? ?? ．OC OA? ， 6OC ? ，
6 3OA? ? ，
OD AB?? ，
36 3 9
2
AD? ? ? ? ，
9 2 18AB? ? ? ? ．
故答案为：18．
16．如图，在 ABC? 中， 2AB ? ， 2AC ? ，以 A为圆心，1 为半径的圆与边 BC相切，
则 BAC? 的度数是 105 度．
解：设圆 A与 BC切于点D，连接 AD，
则 AD BC? ，
在直角 ABD? 中， 2AB ? ， 1AD ? ，则 1sin
2
ADB
AB
? ? ，
30B?? ? ?，
60BAD?? ? ?，
同理，在直角 ACD? 中， 1 2tan
22
C ? ? ，
得到 45CAD? ? ?，
因而 BAC? 的度数是105?．
故答案为：105．
17．如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 B、C 分别在正方形 AGHI 的边 AG、GH 上，
如果 4AB ? ，那么CH 的长为 6 2 3? ．
解：正六边形的内角的度数
(6 2) 180 120
6
? ? ?
? ? ?，
则 180 120 60CBG? ? ? ? ? ? ?，
30BCG?? ? ?，
1 2
2
BG BC? ? ? ， 3 2 3
2
CG BC? ? ，
6AG AB BG? ? ? ? ，
?四边形 AGHI 是正方形，
6GH AG? ? ? ，
6 2 3CH HG CG? ? ? ? ? ，
故答案为： 6 2 3? ．
18．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt ABC? 中， 90A? ? ?， 10BC ? ， 6AB ? ，
如果准外心 P在 AC边上，那么 PA的长为 4 或 7
4
．
解：在Rt ABC? 中，
90A? ? ?? ， 10BC ? ， 6AB ? ，
2 2 2 210 6 8AC BC AB? ? ? ? ? ? ，
若 PB PC? ，连结 PB，
设 PA x? ，则 8PB PC x? ? ? ，
在Rt PAB? 中，
2 2 2PB AP AB? ?? ，
2 2 2(8 ) 6x x? ? ? ? ，
7
4
x? ? ，即 7
4
PA ? ，
若 PA PC? ，则 4PA ? ，
若 PA PB? ，由图知，在Rt PAB? 中，不可能，
故 PA的长为：4 或 7
4
．
三．解答题（共 8小题）
19．如图，AB是 O? 的直径，弦CD与 AB相交于点 E， 13AE ? ， 3BE ? ， 3cos
5
AEC? ? ，
求弦CD的长．
解：作OM CD? 于点M ，连接OC ．
13AE ?? ， 3BE ? ，
1 ( ) 8
2
OC OA OB AE BE? ? ? ? ? ? ，
8 3 5OE OB BE? ? ? ? ? ? ．
在Rt OME? 中， 3cos
5
EMAEC
OE
? ? ? ，
解得， 3EM ? ，
4OM? ? ，
在Rt OCM? 中， 2 2 4 3CM OC OM? ? ? ，
2 8 3CD CM? ? ? ．
20．如图，已知等腰直角 ABC? 中， 90BAC? ? ?，圆心O在 ABC? 内部，且 O? 经过 B、C
两点，若 8BC ? ， 1AO ? ，求 O? 的半径．
解：连结 BO、CO，延长 AO交 BC于 D．
ABC?? 是等腰直角三角形， 90BAC? ? ?，
AB AC? ?
O? 是圆心，
OB OC? ? ，
?直线OA是线段 BC的垂直平分线，
AD BC? ? ，且D是 BC的中点，
在Rt ABC? 中， 1
2
AD BD BC? ? ，
8BC ?? ，
4BD AD? ? ? ，
1AO ?? ，
3OD BD AO? ? ? ? ，
AD BC?? ，
90BDO?? ? ?，
2 2 2 23 4 5OB OD BD? ? ? ? ? ? ．
21．如图，点C在 O? 的直径 BA的延长线上， 2AB AC? ，CD切 O? 于点 D，连接CD，
OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若 O? 的半径 2r ? ，求 BD的长度．
解：（1） CD? 切 O? 于点 D，
CD OD? ? ，
又 2AB AC?? ，
1
2
OD AO AC CO? ? ? ?
30C?? ? ?
3tan
3
C? ? ? ；
（2）连接 AD，
AB? 是直径，
90ADB?? ? ?，
90 30 60DOA? ? ? ? ? ? ?? ，
又 OD OA?? ，
DAO?? 是等边三角形．
2DA r? ? ? ，
2 24 2 2 3DB? ? ? ? ．
22．如图，以Rt ABC? 的直角边 AB为直径的半圆O，与斜边 AC交于D，E是 BC边上
的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若 AD、 AB的长是方程 2 10 24 0x x? ? ? 的两个根，求 BD的长．
【解答】证明：（1）DE与半圆O相切，理由为：
连接OD， BD，如图所示：
AB? 为圆O的直径， 90ADB?? ? ?，
在Rt BDC? 中， E为 BC的中点，
1
2
DE BE BC? ? ? ，
EBD EDB?? ? ? ，
OB OD?? ， OBD ODB?? ?? ，
又 90ABC? ? ?，即 90OBD EBD? ?? ? ?，
90EDB ODB?? ?? ? ?，即 90ODE? ? ?，
DE? 为圆O的切线；
解：（2）方程 2 10 24 0x x? ? ? ，
因式分解得： ( 4)( 6) 0x x? ? ? ，
解得： 1 4x ? ， 2 6x ? ，
AD? 、 AB的长是方程 2 10 24 0x x? ? ? 的两个根，且 AB AD? ，
4AD? ? ， 6AB ? ，
在Rt ABD? 中，根据勾股定理得： 2 2 2 5BD AB AD? ? ? ．
23．如图，已知 AB是圆O的直径，弦CD AB? ，垂足H 在半径OB上， 5AH ? ， 4 5CD ? ，
点 E在弧 AD上，射线 AE与CD的延长线交于点 F ．
（1）求圆O的半径；
（2）如果 6AE ? ，求 EF 的长．
解：（1）连接OD，
?直径 AB ?弦CD， 4 5CD ? ，
1 2 5
2
DH CH CD? ? ? ? ，
在Rt ODH? 中， 5AH ? ，
设圆O的半径为 r ，
根据勾股定理得： 2 2 2( )OD AH OA DH? ? ? ，即 2 2(5 ) 20r r? ? ? ，
解得： 4.5r ? ，
则圆的半径为 4.5；
（2）过O作OG AE? 于G，
1 1 6 3
2 2
AG AE? ? ? ? ? ，
A A? ? ?? ， AGO AHF? ? ? ，
AGO AHF?? ?∽ ，
?
AG AH
AO AF
? ，
?
3 5
9
2
AF
? ，
15
2
AF? ? ，
15 36
2 2
EF AF AE? ? ? ? ? ? ．
24．如图，在等腰三角形 ABC中， AB AC? ，以 AC 为直径作圆O，与 BC交于点 E，过
点 E作 ED AB? ，垂足为点D，
（1）求证：DE为 O? 的切线；
（2）过O点作 EC的垂线，垂足为H ，求证： EH BE BD CO?? ? ．
【解答】（1）证明：连接OE， AB AC?? ， B C?? ? ? （1分）
OC OE?? ， C CEO?? ? ? ，（1分）
B CEO?? ? ? ， / /AB EO? ，（1分）
DE AB?? ， EO DE? ? ，（1分）
EO? 是圆O的半径，
D? 为 O? 的切线．（1分）
（2）解： OH BC?? ， EH HC? ? ， 90OHC? ? ?（1分）
B C? ? ?? ， 90BDE CHO? ? ? ? ?
BDE CHO?? ?∽ ，
?
BD BE
CH CO
? （1分）
EH HC?? ，
EH BE BD CO? ?? ? ．（1分）
25．如图所示，该小组发现 8米高旗杆 DE的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，
于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6米，测得其影长为 2.4米，
同时测得 EG 的长为 3米，HF的长为 1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，
即MN 的长）为 2米，求小桥所在圆的半径．
解：?小刚身高 1.6米，测得其影长为 2.4米，
8? 米高旗杆DE的影子为：12m，
?测得 EG 的长为 3米，HF的长为 1米，
12 3 1 8( )GH m? ? ? ? ? ，
4GM MH m? ? ? ．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM 、OG．
设小桥所在圆的半径为 r ，
2MN m?? ，
( 2)OM r m? ? ? ．
在Rt OGM? 中，由勾股定理得：
2 2 24OG OM? ? ? ，
2 2( 2) 16r r? ? ? ? ，
解得： 5r ? ，
答：小桥所在圆的半径为 5m．
26．已知圆O的直径 12AB ? ，点C是圆上一点，且 30ABC? ? ?，点 P是弦 BC上一动点，
过点 P作 PD OP? 交圆O于点 D．
（1）如图 1，当 / /PD AB 时，求 PD的长；
（2）如图 2，当 BP平分 OPD? 时，求 PC的长．
解：如图 1，联结OD
?直径 12AB ?
6OB OD? ? ?
PD OP??
90DPO?? ? ?
/ /PD AB?
180DPO POB?? ? ? ? ?
90POB?? ? ?
又 30ABC? ? ?? ， 6OB ?
? tan30 2 3OP OB? ? ??
?在Rt POD? 中， 2 2 2PO PD OD? ?
? 2 2 2(2 3) 6PD? ?
? 2 6PD ?
（2）如图 2，过点O 作OH BC? ，垂足为H
OH BC??
90OHB OHP?? ? ? ? ?
30ABC? ? ?? ， 6OB ?
?
1 3
2
OH OB? ? ， cos30 3 3BH OB? ? ??
?在 O? 中，OH BC?
? 3 3CH BH? ?
BP? 平分 OPD?
?
1 45
2
BPO DPO? ? ? ? ?
cot 45 3PH OH? ? ? ??
? 3 3 3PC CH PH? ? ? ? ．
九年级第二学期 第二十七章 圆与正多边形 单元测试卷
姓名： 班级：
一、选择题
1．已知和，其中为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于
A．1 B．4 C．5 D．8
2．若的半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点的位置为
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
3．在中，，，点、分别在边、上，且，，以为半径的和以为半径的的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
4．如图，在矩形中，点是的中点，联结，如果，，那么分别以、为直径的与的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．如图，在中，，，，以的中点为圆心，为半径作，如果点在内，点在外，那么可以取
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
二、填空题（共12小题）
7．边长为6的正六边形的边心距为 ．
8．一个正边形的中心角等于，那么 ．
9．已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为 ．
10．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ．
11．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 ．
12．如图， 已知是的直径， 点、在上，，，则的度数是 度 ．
13．如图，点、、在圆上，弦与半径互相平分，那么度数为 度．
14．如图，已知是的弦，是的中点，联结，，如果，那么的度数是 ．
15．如图，是的弦，．，交于点，若，则的长等于 ．
16．如图，在中，，，以为圆心，1为半径的圆与边相切，则的度数是 度．
17．如图，正六边形 的顶点、 分别在正方形 的边、 上，如果，那么的长为 ．
18．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在中，，，，如果准外心在边上，那么的长为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，是的直径，弦与相交于点，，，，求弦的长．
20．如图，已知等腰直角中，，圆心在内部，且经过、两点，若，，求的半径．
21．如图，点在的直径的延长线上，，切于点，连接，．
（1）求角的正切值：
（2）若的半径，求的长度．
22．如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连接．
（1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若、的长是方程的两个根，求的长．
23．如图，已知是圆的直径，弦，垂足在半径上，，，点在弧上，射线与的延长线交于点．
（1）求圆的半径；
（2）如果，求的长．
24．如图，在等腰三角形中，，以为直径作圆，与交于点，过点作，垂足为点，
（1）求证：为的切线；
（2）过点作的垂线，垂足为，求证：．
25．如图所示，该小组发现8米高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得的长为3米，的长为1米，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
26．已知圆的直径，点是圆上一点，且，点是弦上一动点，过点作交圆于点．
（1）如图1，当 时，求的长；
（2）如图2，当平分时，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．已知和，其中为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于
A．1 B．4 C．5 D．8
解：两圆相内切，设小圆半径为，圆心距为2，
，
，
小圆半径为1，
这两圆外切时，圆心距为：．
故选：．
2．若的半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点的位置为
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
解：圆心的坐标是，点的坐标是，
，
点在内，
故选：．
3．在中，，，点、分别在边、上，且，，以为半径的和以为半径的的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
解：如图，
，
，
，，
，，
的半径为，的半径，
，
以为半径的和以为半径的的位置关系是外切，
故选：．
4．如图，在矩形中，点是的中点，联结，如果，，那么分别以、为直径的与的位置关系是
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
解：如图所示：连接，
可得是的中点，是的中点，
则是梯形的中位线，
则，
，，
，
则的半径为2.5，
的半径为2，
则．
故与的位置关系是：外切．
故选：．
5．如图，在中，，，，以的中点为圆心，为半径作，如果点在内，点在外，那么可以取
A．2 B．3 C．4 D．5
解：如图，过点作于点，连接交于点，
，，
，
，
，即，
，
为的中点，
，是的重心，
，
，
，
点在内，点在外，
，
故选：．
6．如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
解：连接，如图，
，
，
，
是等边三角形，
，
为切线，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．边长为6的正六边形的边心距为 ．
解：如图所示，此正六边形中，
则；
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为．
8．一个正边形的中心角等于，那么 20 ．
解：，
故答案为：20．
9．已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为 4 ．
解：两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3，
另一个圆的半径．
故答案为：4．
10．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ．
解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，
其三边分别为8，15，17，
由于，
这个三角形是以17为斜边的直角三角形，
斜边上的高，
故公共弦长，
故答案为．
11．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 内含 ．
解：，
，
解得：，，
两圆的半径分别是1.5，3.5，
两圆的圆心距等于1.5，
这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为内含．
12．如图， 已知是的直径， 点、在上，，，则的度数是 120 度 ．
解：，，
，
是的直径，
，
．
故答案为 120 ．
13．如图，点、、在圆上，弦与半径互相平分，那么度数为 120 度．
解：弦与半径互相平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为120．
14．如图，已知是的弦，是的中点，联结，，如果，那么的度数是 ．
解：连接交于．
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
15．如图，是的弦，．，交于点，若，则的长等于 18 ．
解：过点作于，
．，，
，
，
，
．
故答案为：18．
16．如图，在中，，，以为圆心，1为半径的圆与边相切，则的度数是 105 度．
解：设圆与切于点，连接，
则，
在直角中，，，则，
，
，
同理，在直角中，，
得到，
因而的度数是．
故答案为：105．
17．如图，正六边形 的顶点、 分别在正方形 的边、 上，如果，那么的长为 ．
解：正六边形的内角的度数，
则，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
故答案为：．
18．根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在中，，，，如果准外心在边上，那么的长为 4或 ．
解：在中，
，，，
，
若，连结，
设，则，
在中，
，
，
，即，
若，则，
若，由图知，在中，不可能，
故的长为：4或．
三．解答题（共8小题）
19．如图，是的直径，弦与相交于点，，，，求弦的长．
解：作于点，连接．
，，
，
．
在中，，
解得，，
，
在中，，
．
20．如图，已知等腰直角中，，圆心在内部，且经过、两点，若，，求的半径．
解：连结、，延长交于．
是等腰直角三角形，，
是圆心，
，
直线是线段的垂直平分线，
，且是的中点，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
21．如图，点在的直径的延长线上，，切于点，连接，．
（1）求角的正切值：
（2）若的半径，求的长度．
解：（1）切于点，
，
又，
；
（2）连接，
是直径，
，
，
又，
是等边三角形．
，
．
22．如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连接．
（1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若、的长是方程的两个根，求的长．
【解答】证明：（1）与半圆相切，理由为：
连接，，如图所示：
为圆的直径，，
在中，为的中点，
，
，
，，
又，即，
，即，
为圆的切线；
解：（2）方程，
因式分解得：，
解得：，，
、的长是方程的两个根，且，
，，
在中，根据勾股定理得：．
23．如图，已知是圆的直径，弦，垂足在半径上，，，点在弧上，射线与的延长线交于点．
（1）求圆的半径；
（2）如果，求的长．
解：（1）连接，
直径弦，，
，
在中，，
设圆的半径为，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
则圆的半径为4.5；
（2）过作于，
，
，，
，
，
，
，
．
24．如图，在等腰三角形中，，以为直径作圆，与交于点，过点作，垂足为点，
（1）求证：为的切线；
（2）过点作的垂线，垂足为，求证：．
【解答】（1）证明：连接，，（1分）
，，（1分）
，，（1分）
，，（1分）
是圆的半径，
为的切线．（1分）
（2）解：，，（1分）
，
，
（1分）
，
．（1分）
25．如图所示，该小组发现8米高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得的长为3米，的长为1米，测得拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
解：小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
米高旗杆的影子为：，
测得的长为3米，的长为1米，
，
．
如图，设小桥的圆心为，连接、．
设小桥所在圆的半径为，
，
．
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
答：小桥所在圆的半径为．
26．已知圆的直径，点是圆上一点，且，点是弦上一动点，过点作交圆于点．
（1）如图1，当 时，求的长；
（2）如图2，当平分时，求的长．
解：如图1，联结
直径
又，
在 中，
（2）如图2，过点 作，垂足为
，
，
在 中，
平分
．
