九年级第二学期 第二十七章 圆与正多边形 同步练习题
姓名： 班级：
一、选择题
1．如图，包含了圆和圆的位置关系有
A．内切、外切、相交 B．内切、外离、内含
C．内切、外切、外离 D．内切、外切、内含
2．已知，在中，，，，且．若以点为圆心，为半径作，以点为圆心，1为半径作，则与的位置关系是
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
3．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，若点的坐标是，则点与的位置关系是
A．点在外 B．点在内
C．点在上 D．点在上或在外
4．如图，的半径为4，点，在上，点在内，，，如果，那么的长为
A． B．3 C． D．
5．在矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在外，则半径的取值范围是
A． B． C． D．
6．如图，的半径为4，、、、是上的四点，过点，的切线，相交于点，点在弦上，交于点，于点，当时，的值是
A．4 B． C． D．值不确定
二．填空题（共12小题）
7．长度等于的弦所对的圆心角是，则该圆半径为 ．
8．如果圆的半径为3，圆的半径为2，且，那么圆和圆的位置关系是 ．
9．若相交两圆的半径长分别是方程的两个根，则它们的圆心距的取值范围是
10．如图，已知中，，，则 度．
11．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ．
12．已知半径为2的，圆内接的边，则 ．
13．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 ．
14．如图，为的弦，点在弧上，若，，则的度数为 ．
15．如图，正六边形的边长为2，它的外接圆半径的长为 ．
16．如图，的直径垂直于弦，垂足为，点为上一点，且满足，，则的长为 ．
17．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点．若，，则的周长为 ．
18．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在和中，，点在边的延长线上，如果，那么和的外心距是 ．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，在中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，且，求弦的长．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于，交弦于．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图的半径为，弦、的长度分别为，，
（1）求圆心到弦的距离；
（2）则弦、所夹的锐角的度数是多少？
22．如图，为的直径，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求的半径．
23．如图：是的内接三角形，，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果的半径为，求的长．
24．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
25．如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长．
26．如图1，已知是的直径，弦于点，点在上，．
（1）判断，的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）如图2，若恰好经过圆心，求的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．如图，包含了圆和圆的位置关系有
A．内切、外切、相交 B．内切、外离、内含
C．内切、外切、外离 D．内切、外切、内含
解：如图所示：圆和圆是外切；圆和圆是内切；圆和圆是内含；
故选：．
2．已知，在中，，，，且．若以点为圆心，为半径作，以点为圆心，1为半径作，则与的位置关系是
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
解：在的直角三角形中，因为，则，，
在等腰直角三角形中，求得，则，
因为的半径的半径，
所以两圆内切．
故选：．
3．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径作圆，若点的坐标是，则点与的位置关系是
A．点在外 B．点在内
C．点在上 D．点在上或在外
解：点的坐标是，
，
而的半径为5，
等于圆的半径，
点在上．
故选：．
4．如图，的半径为4，点，在上，点在内，，，如果，那么的长为
A． B．3 C． D．
解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，设，，
在中，，
解得（负根已经舍弃），
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
5．在矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在外，则半径的取值范围是
A． B． C． D．
解：连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
点在内，点在外，
半径，半径，
两圆外切，
，
．
故选：．
6．如图，的半径为4，、、、是上的四点，过点，的切线，相交于点，点在弦上，交于点，于点，当时，的值是
A．4 B． C． D．值不确定
解：当时，是定值．
理由：连接、、、，如图：
与相切，
．
，
．
．
，
是等边三角形．
．
同理可得：．
，，
，．
，．
．
．
．
当时，．
故选：．
二．填空题（共12小题）
7．长度等于的弦所对的圆心角是，则该圆半径为 6 ．
解：如图，，
，
，
故答案为6．
8．如果圆的半径为3，圆的半径为2，且，那么圆和圆的位置关系是 外切 ．
解：圆的半径为3，圆的半径为2，且，
，
两圆外切，
故答案为：外切．
9．若相交两圆的半径长分别是方程的两个根，则它们的圆心距的取值范围是
解：原方程可以变形为，
，．
即两圆半径为1和2．
它们的圆心距的取值范围是．
10．如图，已知中，，，则 50 度．
解：如图，，
，
，
．
故答案是：50．
11．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ．
解：设正六边形的中心为，连接，，如图所示：
是正六边形的中心，
，，，
是等边三角形，
，
正六边形的周长．
故答案为：．
12．已知半径为2的，圆内接的边，则 或 ．
解：如图：连接并延长交于圆于点，连接．
，
则，
或．
故答案为：或．
13．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 6 ．
解：连接，
为的直径，，
，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案为6．
14．如图，为的弦，点在弧上，若，，则的度数为 ．
解：如图，连接．
，
，，
，
，
故答案为．
15．如图，正六边形的边长为2，它的外接圆半径的长为 2 ．
解：设正六边形的中心为，连接、，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，即它的外接圆半径的长为2，
故答案为：2．
16．如图，的直径垂直于弦，垂足为，点为上一点，且满足，，则的长为 ．
解：，
，
的直径垂直于弦，
，为等腰直角三角形，
，
．
故答案为
17．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点．若，，则的周长为 ．
解：、是的两条切线，
，，平分，，
，
是等边三角形，，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
18．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在和中，，点在边的延长线上，如果，那么和的外心距是 3 ．
解：，
和分别是，的中点，
两三角形的外心距为的中位线，即为．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
19．已知：如图，在中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，且，求弦的长．
解：连接，设的半径为，则，
，
，
，
，，
，即，解得；
，
，
．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于，交弦于．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
解：作弦的垂直平分线交直线于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．
21．如图的半径为，弦、的长度分别为，，
（1）求圆心到弦的距离；
（2）则弦、所夹的锐角的度数是多少？
解：（1）过点作于，连结、，如图，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
；
（2）连结、，如图，
，，
为等边三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
22．如图，为的直径，，垂足为点，，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求的半径．
解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的直径，，
，
．
（2）是的半径，
，
，
，
，
，
又，
，
，即的半径是．
23．如图：是的内接三角形，，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果的半径为，求的长．
【解】（1）证明：连接，则，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
（2）在中，，
是的切线，
，
是公共角，
，
，
，
，
，
解得：，
．
24．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
解：（1）作半径，垂足为点，连接，则即为弓形高
，
，，
，
，
米，即此时的水深为0.1米
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，直线与相交于点
同理可得，
当与在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；
当与在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．
25．如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长．
【解】（1）证明：，，
，
，
（2）证明：连结，如图所示：
则，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（3）解：是的切线，
，
由（2）知，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
26．如图1，已知是的直径，弦于点，点在上，．
（1）判断，的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）如图2，若恰好经过圆心，求的度数．
解：（1），
理由如下：由圆周角定理得，，又，
，
；
（2）连接，
，，
，
，
，
是的直径，弦，
；
（3），，
，
．
九年级第二学期 第二十七章 圆与正多边形 同步练习题
姓名： 班级：
一、选择题
1．如图，包含了圆和圆的位置关系有 ( )
A．内切、外切、相交 B．内切、外离、内含
C．内切、外切、外离 D．内切、外切、内含
2．已知，在 ABC? 中， 30A? ? ?， 135B? ? ?，CD AB? ，且 1CD ? ．若以点 A为圆心， 3
为半径作 A? ，以点 B为圆心，1为半径作 B? ，则 A? 与 B? 的位置关系是 ( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点 P的坐标是 (3,4)，则点 P
与 O? 的位置关系是 ( )
A．点 P在 O? 外 B．点 P在 O? 内
C．点 P在 O? 上 D．点 P在 O? 上或在 O? 外
4．如图， O? 的半径为 4，点 A， B在 O? 上，点 P在 O? 内， 3sin
5
APB? ? ， AB PB? ，
如果OP OA? ，那么OP的长为 ( )
A． 5
3
B．3 C． 9
5
D． 4
3
5．在矩形 ABCD中， 8AB ? ， 6AD ? ，分别以 A，C 为圆心的两圆外切，且点D在 A? 内，
点 B在 A? 外，则 C? 半径 r 的取值范围是 ( )
A． 0 8r? ? B．5 6r? ? C． 2 4r? ? D． 6 8r? ?
6．如图， O? 的半径为 4，A、B、C、D是 O? 上的四点，过点C，D的切线CH ，DG
相交于点 M ，点 P 在弦 AB 上， / /PE BC 交 AC 于点 E ， / /PF AD 于点 F ，当
30ADG BCH? ? ? ? ?时， PE PF? 的值是 ( )
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．值不确定
二．填空题（共 12小题）
7．长度等于 6 2的弦所对的圆心角是 90?，则该圆半径为 ．
8．如果圆O的半径为 3，圆 P的半径为 2，且 5OP ? ，那么圆O和圆 P的位置关系是 ．
9．若相交两圆的半径长分别是方程 2 3 2 0x x? ? ? 的两个根，则它们的圆心距 d的取值范围
是
10．如图，已知 O? 中，? ?AB AC? ， 65C? ? ?，则 A? ? 度．
11．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形 ABCDEF 的半径是
2 3cm，则这个正六边形的周长是 ．
12．已知半径为 2的 O? ，圆内接 ABC? 的边 2 3AB ? ，则 C? ? ．
13．如图， AB为 O? 的直径，弦CD AB? 于点 E，若 10AB ? ， 1EB ? ，则CD的长
为 ．
14．如图， AC 为 O? 的弦，点 B在弧 AC 上，若 58CBO? ? ?， 20CAO? ? ?，则 AOB? 的
度数为 ．
15．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，它的外接圆半径的长为 ．
16．如图， O? 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ，点 F 为 O? 上一点，且满足
22.5AFC? ? ?， 8AB ? ，则CD的长为 ．
17．如图， PA， PB是 O? 的两条切线，切点分别为 A， B．连接OA，OB， AB， PO，
PO与 AB交于点C ．若 60APB? ? ?， 1OC ? ，则 PAB? 的周长为 ．
18．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在 Rt ABC? 和 Rt ACD? 中，
90ACB ACD? ? ? ? ?，点 D在边 BC的延长线上，如果 3BC DC? ? ，那么 ABC? 和 ACD?
的外心距是 ．
三．解答题（共 8小题）
19．已知：如图，在 O? 中，弦CD垂直于直径 AB，垂足为点 E，如果 30BAD? ? ?，且 2BE ? ，
求弦CD的长．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦 AB的垂直平分线交弧 AB于C，交弦 AB于D．求作此
残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图 O? 的半径为1cm，弦 AB、CD的长度分别为 2cm，1cm，
（1）求圆心O到弦 AB的距离；
（2）则弦 AC 、 BD所夹的锐角? 的度数是多少？
22．如图，CD为 O? 的直径，CD AB? ，垂足为点 F ， AO BC? ，垂足为点 E， 2CE ? ．
（1）求 AB的长；
（2）求 O? 的半径．
23．如图： ABC? 是 O? 的内接三角形， 45ACB? ? ?， 150AOC? ? ?，过点C作 O? 的切
线交 AB的延长线于点D．
（1）求证：CD CB? ；
（2）如果 O? 的半径为 2 ，求 AC 的长．
24．一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面
宽 AB为 0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度．
25．如图， D为 O? 上一点，点C在直径 BA的延长线上，且 CDA CBD? ? ? ．
（1）求证： 2CD CA CB? ? ；
（2）求证：CD是 O? 的切线；
（3）过点 B作 O? 的切线 BE 交CD的延长线于点 E，若 12BC ? ， 4CA ? ，求 BE 的长．
26．如图 1，已知 AB是 O? 的直径，弦CD AB? 于点 E，点M 在 O? 上， M D? ? ? ．
（1）判断 BC，MD的位置关系，并说明理由；
（2）若 16AE ? ， 4BE ? ，求线段CD的长；
（3）如图 2，若MD恰好经过圆心O，求 D? 的度数．
参考答案
一．选择题（共 6小题）
1．如图，包含了圆和圆的位置关系有 ( )
A．内切、外切、相交 B．内切、外离、内含
C．内切、外切、外离 D．内切、外切、内含
解：如图所示：圆 2O 和圆 3O 是外切；圆 2O 和圆 1O 是内切；圆 1O 和圆 3O 是内含；
故选：D．
2．已知，在 ABC? 中， 30A? ? ?， 135B? ? ?，CD AB? ，且 1CD ? ．若以点 A为圆心， 3
为半径作 A? ，以点 B为圆心，1为半径作 B? ，则 A? 与 B? 的位置关系是 ( )
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
解：在30?的直角三角形 ACD中，因为 1CD ? ，则 2AC ? ， 3AD ? ，
在等腰直角三角形 BCD中，求得 1BD CD? ? ，则 3 1AB ? ? ，
因为 A? 的半径 B?? 的半径 3 1 AB? ? ? ，
所以两圆内切．
故选： A．
3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点 P的坐标是 (3,4)，则点 P
与 O? 的位置关系是 ( )
A．点 P在 O? 外 B．点 P在 O? 内
C．点 P在 O? 上 D．点 P在 O? 上或在 O? 外
解：?点 P的坐标是 (3,4)，
2 23 4 5OP? ? ? ? ，
而 O? 的半径为 5，
OP? 等于圆的半径，
?点 P在 O? 上．
故选：C．
4．如图， O? 的半径为 4，点 A， B在 O? 上，点 P在 O? 内， 3sin
5
APB? ? ， AB PB? ，
如果OP OA? ，那么OP的长为 ( )
A． 5
3
B．3 C． 9
5
D． 4
3
解：如图，连接OB，作 BM OP? 交OP的延长线于M ，作 AN MB? 交MB的延长线于 N．则
四边形 AOMN是矩形，
90AOP ABP? ? ? ? ?? ，
A? 、O、 P、 B四点共圆，
BOP BAP?? ? ? ，
3sin
5
APB? ?? ，
4tan
3
BAP? ? ? ，
4tan tan
3
BMBOM BAP
OM
? ? ? ? ? ，设 4BM k? ， 3OM k? ，
在Rt OMB? 中， 2 2 2(4 ) (3 ) 4k k? ? ，
解得
4
5
k ? （负根已经舍弃），
16
5
BM? ? ， 12
5
OM ? ， 4
5
BN MN BM? ? ? ，
90MBP BPM? ?? ? ?? ， 90MBP ABN? ?? ? ?，
BPM ABN?? ? ? ，
90BMP ANB? ? ? ? ?? ，
BMP ANB?? ?∽ ，
?
PB PM
AB BN
? ，
?
4
43
5
PM
? ，
16
15
PM? ? ，
4
3
OP OM PM? ? ? ? ．
故选：D．
5．在矩形 ABCD中， 8AB ? ， 6AD ? ，分别以 A，C 为圆心的两圆外切，且点D在 A? 内，
点 B在 A? 外，则 C? 半径 r 的取值范围是 ( )
A． 0 8r? ? B．5 6r? ? C． 2 4r? ? D． 6 8r? ?
解：连接 AC ，
?四边形 ABCD是矩形，
90B?? ? ?， 6BC AD? ? ，
8AB ?? ，
10AC? ? ，
?点 D在 A? 内，点 B在 A? 外，
C?? 半径 6r ? ， A? 半径 6 8R? ? ，
?两圆外切，
10R r? ? ? ，
2 4r? ? ? ．
故选：C．
6．如图， O? 的半径为 4，A、B、C、D是 O? 上的四点，过点C，D的切线CH ，DG
相交于点 M ，点 P 在弦 AB 上， / /PE BC 交 AC 于点 E ， / /PF AD 于点 F ，当
30ADG BCH? ? ? ? ?时， PE PF? 的值是 ( )
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．值不确定
解：当 30ADG BCH? ? ? ? ?时， PE PF? 是定值．
理由：连接OA、OB、OC 、OD，如图：
DG? 与 O? 相切，
GDA ABD?? ? ? ．
30ADG? ? ?? ，
30ABD?? ? ?．
2 60AOD ABD?? ? ? ? ?．
OA OD?? ，
AOD?? 是等边三角形．
4AD OA? ? ? ．
同理可得： 4BC ? ．
/ /PE BC? ， / /PF AD，
AEP ACB?? ?∽ ， BFP BDA? ?∽ ．
?
PE AP
BC AB
? ，
PF PB
AD AB
? ．
? 1PE PF AP PB
BC AD AB AB
? ? ? ? ．
? 1
4 4
PE PF
? ? ．
4PE PF? ? ? ．
?当 30ADG BCH? ? ? ? ?时， 4PE PF? ? ．
故选： A．
二．填空题（共 12小题）
7．长度等于 6 2的弦所对的圆心角是 90?，则该圆半径为 6 ．
解：如图 6 2AB ? ， 90AOB? ? ?，
OA OB?? ，
2 2 6 2 6
2 2
OA OB AB? ? ? ? ? ? ，
故答案为 6．
8．如果圆O的半径为 3，圆 P的半径为 2，且 5OP ? ，那么圆O和圆 P的位置关系是 外
切 ．
解：?圆O的半径为 3，圆 P的半径为 2，且 5OP ? ，
2 3 5OP R r? ? ? ? ? ? ，
?两圆外切，
故答案为：外切．
9．若相交两圆的半径长分别是方程 2 3 2 0x x? ? ? 的两个根，则它们的圆心距 d的取值范围
是 1 3d? ?
解：原方程可以变形为 ( 1)( 2) 0x x? ? ? ，
1 1x? ? ， 2 2x ? ．
即两圆半径为 1和 2．
?它们的圆心距 d的取值范围是1 3d? ? ．
10．如图，已知 O? 中，? ?AB AC? ， 65C? ? ?，则 A? ? 50 度．
解：如图，?? ?AB AC? ，
AB AC? ? ，
65B C?? ? ? ? ?，
180 50A B C?? ? ? ?? ?? ? ?．
故答案是：50．
11．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形 ABCDEF 的半径是
2 3cm，则这个正六边形的周长是 12 3cm ．
解：设正六边形的中心为O，连接 AO， BO，如图所示：
O? 是正六边形 ABCDEF 的中心，
AB BC CD DE EF FA? ? ? ? ? ? ， 60AOB? ? ?， 2 3AO BO cm? ? ，
AOB?? 是等边三角形，
2 3AB OA cm? ? ? ，
?正六边形 ABCDEF 的周长 6 12 3AB cm? ? ．
故答案为：12 3cm．
12．已知半径为 2的 O? ，圆内接 ABC? 的边 2 3AB ? ，则 C? ? 60?或120? ．
解：如图：连接 AO并延长交于圆于点 D，连接 BD．
90ABD?? ? ?， ADB ACB? ? ?
则
2 3 3sin
4 2
ABD
AD
? ? ? ? ，
60D?? ? ?或120?．
故答案为： 60?或120?．
13．如图， AB为 O? 的直径，弦CD AB? 于点 E，若 10AB ? ， 1EB ? ，则CD的长
为 6 ．
解：连接OC，
AB? 为 O? 的直径， AB CD? ，
1
2
CE DE CD? ? ? ，
在Rt OCE? 中， 2 2 2OC OE CE? ? ，
1BE ?? ， 10AB ? ，
5OC? ? ， 4OE ? ，
3CE? ? ，
6CD? ? ，
故答案为 6．
14．如图， AC 为 O? 的弦，点 B在弧 AC 上，若 58CBO? ? ?， 20CAO? ? ?，则 AOB? 的
度数为 76? ．
解：如图，连接OC ．
OA OC OB? ?? ，
20A OCA?? ? ? ? ?， 58B OCB? ? ? ? ?，
58 20 38ACB OCB OCA?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
2 76AOB ACB?? ? ? ? ?，
故答案为 76?．
15．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，它的外接圆半径的长为 2 ．
解：设正六边形的中心为O，连接OE、OD，
?六边形是正六边形，
360 60
6
EOD ??? ? ? ?，
EOD?? 是等边三角形，
2OE ED? ? ? ，即它的外接圆半径的长为 2，
故答案为：2．
16．如图， O? 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ，点 F 为 O? 上一点，且满足
22.5AFC? ? ?， 8AB ? ，则CD的长为 4 2 ．
解： 2 45AOC AFC? ? ? ? ?? ，
2 45BOC A?? ? ? ? ?，
O?? 的直径 AB垂直于弦CD，
CE DE? ? ， OCE? 为等腰直角三角形，
2 2 2
2
CE OC? ? ? ，
2 4 2CD CE? ? ? ．
故答案为 4 2
17．如图， PA， PB是 O? 的两条切线，切点分别为 A， B．连接OA，OB， AB， PO，
PO与 AB交于点C ．若 60APB? ? ?， 1OC ? ，则 PAB? 的周长为 6 3 ．
解： PA? 、 PB是 O? 的两条切线，
OA PA? ? ，OB PB? ，OP平分 APB? ， PA PB? ，
60APB? ? ?? ，
PAB?? 是等边三角形， 2AB AC? ， PO AB? ，
60PAB?? ? ?，
90 60 30OAC PAO PAB?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
2AO OC? ? ，
1OC ?? ，
2AO? ? ，
3AC? ? ，
2 2 3AB AC? ? ? ，
PAB?? 的周长 6 3? ．
故答案为： 6 3 ．
18．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在 Rt ABC? 和 Rt ACD? 中，
90ACB ACD? ? ? ? ?，点 D在边 BC的延长线上，如果 3BC DC? ? ，那么 ABC? 和 ACD?
的外心距是 3 ．
解： 90ACB ACD? ? ? ? ?? ，
Rt ABC? ? 和Rt ACD? 分别是 AB， AD的中点，
?两三角形的外心距为 ABD? 的中位线，即为 1 3
2
BD ? ．
故答案为：3．
三．解答题（共 8小题）
19．已知：如图，在 O? 中，弦CD垂直于直径 AB，垂足为点 E，如果 30BAD? ? ?，且 2BE ? ，
求弦CD的长．
解：连接OD，设 O? 的半径为 r ，则 2OE r? ? ，
30BAD? ? ?? ，
60DOE?? ? ?，
CD AB?? ，
2CD DE? ? ， 30ODE? ? ?，
2OD OE? ? ，即 2( 2)r r? ? ，解得 4r ? ；
4 2 2OE? ? ? ? ，
2 2 2 24 2 2 3DE OD OE? ? ? ? ? ? ，
2 4 3CD DE? ? ? ．
20．如图，破残的圆形轮片上，弦 AB的垂直平分线交弧 AB于C，交弦 AB于D．求作此
残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
解：作弦 AC 的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片
所在的圆，如图．
21．如图 O? 的半径为1cm，弦 AB、CD的长度分别为 2cm，1cm，
（1）求圆心O到弦 AB的距离；
（2）则弦 AC 、 BD所夹的锐角? 的度数是多少？
解：（1）过点O作OE AB? 于 E，连结OA、OB，如图，
1
2
AE BE AB? ? ? ，
1OA OB? ?? ， 2AB ? ，
2 2 2OA OB AB? ? ? ，
OAB?? 为等腰直角三角形，
1 2
2 2
OE AB? ? ? ；
（2）连结OC 、OD，如图，
1OC OD? ?? ， 1CD ? ，
OCD?? 为等边三角形，
60COD?? ? ?，
1 30
2
CAD COD?? ? ? ? ?，
OAB?? 为等腰直角三角形，
90AOB?? ? ?，
1 45
2
ADB AOB?? ? ? ? ?，
30 45 75CAD ADB??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?．
22．如图，CD为 O? 的直径，CD AB? ，垂足为点 F ， AO BC? ，垂足为点 E， 2CE ? ．
（1）求 AB的长；
（2）求 O? 的半径．
解：（1） CD AB?? ， AO BC?
90AFO CEO?? ? ? ? ?，
在 AOF? 和 COE? 中，
AFO CEO
AOF COE
AO CO
? ? ??
?? ? ??
? ??
，
AOF COE?? ? ? ，
CE AF? ? ，
2CE ?? ，
2AF? ? ，
CD? 是 O? 的直径，CD AB? ，
?
1
2
AF BF AB? ? ，
4AB? ? ．
（2） AO? 是 O? 的半径， AO BC?
2CE BE? ? ? ，
4AB ?? ，
?
1
2
BE AB? ，
90AEB? ? ?? ，
30A?? ? ?，
又 90AFO? ? ?? ，
2 3cos
2
AFA
AO AO
? ? ? ? ，
?
4 3
3
AO ? ，即 O? 的半径是 4 3
3
．
23．如图： ABC? 是 O? 的内接三角形， 45ACB? ? ?， 150AOC? ? ?，过点C作 O? 的切
线交 AB的延长线于点D．
（1）求证：CD CB? ；
（2）如果 O? 的半径为 2 ，求 AC 的长．
【解】（1）证明：连接OB，则 2 2 45 90AOB ACB? ? ? ? ? ? ? ?，
OA OB?? ，
45OAB OBA?? ? ? ?，
150AOC? ? ?? ，OA OC? ，
15OCA OAC?? ? ? ? ?，
60OCB OCA ACB?? ? ? ?? ? ?，
OBC?? 是等边三角形，
60BOC OBC?? ? ? ? ?，
180 75CBD OBA OBC?? ? ? ?? ?? ? ?，
CD? 是 O? 的切线，
OC CD? ? ，
360 360 (60 75 ) 60 90 75D OBD BOC OCD?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
CBD D?? ? ? ，
CB CD? ? ；
（2）在Rt AOB? 中， 2 2 2 2AB OA? ? ? ? ，
CD? 是 O? 的切线，
DCB CAD?? ? ? ，
D?? 是公共角，
DBC DCA?? ?∽ ，
?
CD BD
AD CD
? ，
2 ( )CD AD BD BD BD AB? ? ? ?? ? ，
2CD BC OC? ? ?? ，
2 (2 )BD BD? ? ?? ，
解得： 3 1BD ? ? ，
3 1AC AD AB BD? ? ? ? ? ? ．
24．一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面
宽 AB为 0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度．
解：（1）作半径OC AB? ，垂足为点 D，连接OA，则CD即为弓形高
OC AB?? ，
?
1
2
AD AB?
0.5AO ?? ， 0.6AB ? ，
1 1 0.6 0.3
2 2
AD AB? ? ? ? ? ，
2 2 2 20.5 0.3 0.4OD AO AD? ? ? ? ? ? ，
0.5 0.4 0.1CD OC OD? ? ? ? ? ? 米，即此时的水深为 0.1米
（2）当水位上升到水面宽MN 为 0.8米时，直线OC 与MN 相交于点 P
同理可得 0.3OP ? ，
当MN 与 AB在圆心同侧时，水面上升的高度为 0.1米；
当MN 与 AB在圆心异侧时，水面上升的高度为 0.7米．
25．如图， D为 O? 上一点，点C在直径 BA的延长线上，且 CDA CBD? ? ? ．
（1）求证： 2CD CA CB? ? ；
（2）求证：CD是 O? 的切线；
（3）过点 B作 O? 的切线 BE 交CD的延长线于点 E，若 12BC ? ， 4CA ? ，求 BE 的长．
【解】（1）证明： CDA CBD? ? ?? ， C C? ? ? ，
ADC DBC?? ?∽ ，
?
CD CA
CB CD
? ， 2CD CA CB? ? ?
（2）证明：连结OD，如图所示：
则 ADO BAD? ? ? ，
AB? 是 O? 的直径，
90BDA?? ? ?，
90CBD BAD?? ?? ? ?，
CDA CBD? ? ?? ，
90CDA ADO CDO?? ? ? ? ? ? ? ，
CD OD? ? ，
CD? 是 O? 的切线；
（3）解： BE? 是 O? 的切线，
90CBE?? ? ?，
由（2）知 90CDO? ? ?，
CDO CBE?? ? ? ，
又 C C? ? ?? ，
CDO CBE?? ?∽ ，
?
CD OD
CB BE
? ，
12BC ?? ， 4CA ? ，
8AB? ? ，
4OA OD? ? ? ，
8OC CA OA? ? ? ? ，
在Rt CDO? 中， 2 2 2 28 4 4 3CD OC OD? ? ? ? ? ，
?
4 3 4
12 BE
? ，
解得： 4 3BE ? ．
26．如图 1，已知 AB是 O? 的直径，弦CD AB? 于点 E，点M 在 O? 上， M D? ? ? ．
（1）判断 BC，MD的位置关系，并说明理由；
（2）若 16AE ? ， 4BE ? ，求线段CD的长；
（3）如图 2，若MD恰好经过圆心O，求 D? 的度数．
解：（1） / /BC MD，
理由如下：由圆周角定理得， M C? ? ? ，又 M D? ? ? ，
C D?? ? ? ，
/ /BC MD? ；
（2）连接OD，
16AE ?? ， 4BE ? ，
10OB? ? ，
10 4 6OE? ? ? ? ，
2 2 8ED OD OE? ? ? ? ，
AB? 是 O? 的直径，弦CD AB? ，
2 16CD ED? ? ? ；
（3） 1
2
M BOD? ? ? ， M D? ? ? ，
1
2
D BOD?? ? ? ，
30D?? ? ?．
