相似三角形的判定
知识点1 相似三角形的定义
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫相似三角形．相似三角形对应边的比，叫做相似比．
知识点2 平行线分线段成比例
(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
知识点3 用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于( )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
第1题
2．(知识点3)(3分)如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．4对 B．3对
C．2对 D．1对
第2题
3．(知识点2、3)(3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(知识点2、3)(3分)(2019·哈尔滨)如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
第4题
5．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝．
第5题
6．(知识点1、3)(7分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6cm，EC＝10cm，FA－FC＝3cm，求FC的长．
7．(知识点1、2)(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AG于点N.
求证：AN＝CN.
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似．
知识点2 网格中的相似三角形的判定
在网格中判定三角形相似，通常要先根据勾股定理计算出相应线段的长度，再进行判断．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( B )
A．3，6，7 B．6，15，18
C．3，8，9 D．8，10，12
2．(知识点1)(3分)若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21cm，则其余两边长的和为( )
A．24cm B．21cm
C．19cm D．9cm
3．(知识点1)(3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
4．(知识点2)(3分)如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
第4题
5．(知识点1)(3分)如图，若＝＝，∠BAE＝30°，∠BAC＝70°，则∠DAB＝
第5题
6．(知识点1)(7分)如图是一名学生制作的劳技作品，他把△ABC各边中点连接起来得到△DEF并涂色，试问△DEF与△ABC相似吗？为什么？
解：相似．理由如下：由D，E，F是△ABC三边中点可得EF＝BC，DE＝AC，DF＝AB，则＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.
7．(知识点2)(8分)如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是相同的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是( C )
2．(3分)不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( )
A.＝＝
B.＝，且∠A＝∠A′
C.＝，且∠B＝∠A′
D.＝，且∠B＝∠C′
3．(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
4．(3分)如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的( )
A．点F B．点G
C．点H D．点K
5．(3分)在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝2cm或cm时，△ABC与△DEF相似．
6．(7分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
7．(8分)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，则以下条件中不能证明△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A′＝30° B．∠C′＝60°
C．∠C＝60° D．∠A′＝∠C′
2．(3分)下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′
3．(3分)如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4
C. D．4
第3题
4．(3分)如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝；⑤AC2＝AD·AE，使△ADE与△ACB一定相似的有( )
A．①②④ B．②④⑤
C．①②③④ D．①②③⑤
第4题
5．(3分)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．
6．(7分)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
7．(8分)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径r的长．
知识点 直角三角形相似的判定
(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；
(3)有斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( )
A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ
C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ
第1题
2．(3分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数为( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
第2题
3．(3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中：
①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB，正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第3题
4．(3分)如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB
B．AD＝DE
C．AD2＝BD·CD
D．AD·AB＝AC·BD
第4题
5．(3分)(2019·凉山州)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．
6．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝，AB＝2.
求证：Rt△ADC∽Rt△BAC.
7．(8分)已知正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．
相似三角形的判定
知识点1 相似三角形的定义
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫相似三角形．相似三角形对应边的比，叫做相似比．
知识点2 平行线分线段成比例
(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
知识点3 用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于( C )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
第1题
2．(知识点3)(3分)如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( B )
A．4对 B．3对
C．2对 D．1对
第2题
3．(知识点2、3)(3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(知识点2、3)(3分)(2019·哈尔滨)如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( D )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
第4题
5．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且＝，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝．
第5题
6．(知识点1、3)(7分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6cm，EC＝10cm，FA－FC＝3cm，求FC的长．
解：∵DE∥AC，BE＝6cm，EC＝10cm，∴＝＝＝.又∵DF∥BC，∴＝＝.而FA－FC＝3cm，∴FA＝FC＋3cm.∴＝.∴FC＝4.5cm.
7．(知识点1、2)(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AG于点N.
求证：AN＝CN.
证明：过点D作DE∥BN，交AC于点E.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC.又∵DE∥BN，∴CE＝NE.又∵M是AD的中点，DE∥MN，∴AN＝NE.∴AN＝NE＝CE.又∵CN＝NE＋CE＝2AN，∴AN＝CN.
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似．
知识点2 网格中的相似三角形的判定
在网格中判定三角形相似，通常要先根据勾股定理计算出相应线段的长度，再进行判断．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( B )
A．3，6，7 B．6，15，18
C．3，8，9 D．8，10，12
2．(知识点1)(3分)若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21cm，则其余两边长的和为( A )
A．24cm B．21cm
C．19cm D．9cm
3．(知识点1)(3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( D )
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
4．(知识点2)(3分)如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
第4题
5．(知识点1)(3分)如图，若＝＝，∠BAE＝30°，∠BAC＝70°，则∠DAB＝40°．
第5题
6．(知识点1)(7分)如图是一名学生制作的劳技作品，他把△ABC各边中点连接起来得到△DEF并涂色，试问△DEF与△ABC相似吗？为什么？
解：相似．理由如下：由D，E，F是△ABC三边中点可得EF＝BC，DE＝AC，DF＝AB，则＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.
7．(知识点2)(8分)如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是相同的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：(1)△ACF∽△GCA.理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为：AC＝a，CF＝a，AF＝a，△ACG的三边长分别为：AC＝a，CG＝2a，AG＝a.∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ACF与△GCA相似． (2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF，∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是( C )
2．(3分)不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( D )
A.＝＝
B.＝，且∠A＝∠A′
C.＝，且∠B＝∠A′
D.＝，且∠B＝∠C′
3．(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
4．(3分)如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的( C )
A．点F B．点G
C．点H D．点K
5．(3分)在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝2cm或cm时，△ABC与△DEF相似．
6．(7分)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，∴∠ADE＝∠C.又∵＝，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.又∵＝，∴＝，∴＝1.
7．(8分)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小．
解：(1)证明∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，又∵＝.∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
知识点 两角分别相等的两个三角形相似
两角分别相等的两个三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝30°，则以下条件中不能证明△ABC与△A′B′C′相似的是( C )
A．∠A′＝30° B．∠C′＝60°
C．∠C＝60° D．∠A′＝∠C′
2．(3分)下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( C )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′
3．(3分)如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )
A．4 B．4
C. D．4
第3题
4．(3分)如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝；⑤AC2＝AD·AE，使△ADE与△ACB一定相似的有( A )
A．①②④ B．②④⑤
C．①②③④ D．①②③⑤
第4题
5．(3分)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．
6．(7分)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG.
7．(8分)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径r的长．
解：(1)证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.∵BE⊥CD，∴∠CDO＝90°＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE. (2)在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9.∴BC＝＝15.∵△COD∽△CBE，∴＝，即＝，解得r＝.
知识点 直角三角形相似的判定
(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；
(3)有斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( A )
A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ
C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ
第1题
2．(3分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数为( A )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
第2题
3．(3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中：
①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB，正确的个数是( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第3题
4．(3分)如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( D )
A．∠ACD＝∠DAB
B．AD＝DE
C．AD2＝BD·CD
D．AD·AB＝AC·BD
第4题
5．(3分)(2019·凉山州)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．
6．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝，AB＝2.
求证：Rt△ADC∽Rt△BAC.
证明：由勾股定理得AC＝＝＝2.∵＝，＝＝，∴＝，∴Rt△ADC∽Rt△BAC.
7．(8分)已知正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．
解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.①当＝时，△ADP∽△PCQ，即＝，得CQ＝.故BQ＝1－＝.②当＝时，△ADP∽△QCP，即＝，得QC＝1，故BQ＝0.所以当△ADP与△QCP相似时，BQ的值为0或.
