初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.1 锐角三角函数同步练习（含解析）

初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.1 锐角三角函数
一、单选题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是(??? )

A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝ 21·cn·jy·com
④AD=BD?cos45°．其中正确的一组是（ ??）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?③④
3.如图， AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝ ，BD＝5，则OH的长度为( ??)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?
4.在 中， ， ， ，则 的值为（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.已知△ABC中，∠C=90°，若AC= ，BC=1，则sinA的值是（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么 的值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
7.计算sin60°tan60°- cos45°cos60°的结果为________?。
8.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4 ， 相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝________． 21世纪教育网版权所有
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是________． www.21-cn-jy.com
三、计算题
10.2sin60°?tan45°+4cos230°﹣tan60°

先化简，再求代数式 ÷（1+ ）的值，其中a＝3tan30°+1．
四、解答题
12.太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米) 【来源：21cnj*y.co*m】
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)【出处：21教育名师】

五、综合题
13.如图，在等腰 中， ， ， 是 上一点，若 .
（1）求 的长；
（2）求 的值.
14.对钝角α，定义三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
（1）求sin120°，cos120°的值；
（2）若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数． 21教育名师原创作品
15.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点， 沿BE折叠为 ，点F落在AD上
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．

答案解析部分
一、单选题
1. D
解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5， ∴ sinB=. 故答案为：D. 【来源：21·世纪·教育·网】
分析：根据正弦函数的定义sinB=即可直接得出答案.
2. B
①∵△ABD为直角三角形， ∴BD2=AD2+AB2? ， ∴BD≠AD2+AB2 ，错误； ②根据折叠性质可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS），正确； ③根据②可以得到△ABF≌△EDF，∴ ＝ ?=1，正确； ④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD?cos45°，错误. 综上，正确的有 ?②③?. 故答案为：B. 分析：①由于△ABD为直角三角形，由勾股定理可得BD2=AD2+AB2；②根据矩形的性质结合折叠的性质DE=CD=AB，利用角角边定理可证△ABF≌△EDF；③由于△ABF≌△EDF，对应边之比等于1；④用三角函数的定义可得AD≠BD?cos45°.21cnjy.com
3. D
解：如解图，连接OD， ∵AB是⊙O的直径，点H是弦CD的中点，?? ∴由垂径定理可知AB⊥CD， 在Rt△BDH中， ∵cos∠CDB＝ ，BD＝5， ∴DH＝4，∴BH＝ ＝ ＝3， 设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3， 在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2 ， ∴(x＋3)2＝x2＋42 ， 解得x＝ ，即OH＝ . 故答案为：D. 分析：连接OD，利用垂径定理可证得AB⊥CD，在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义及勾股定理求出DH，BH的长，设OH＝x，用含x的代数式表示出OD，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到OH的长。21·世纪*教育网
4. A
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12，
∴AB= =13，
则cosB= = ，
故答案为：A．
分析：利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
5. C
在直角△ABC中，AB＝ ＝
则sinA＝ ．
故答案为：C．
分析：在直角△ABC中首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦函数的定义求解．
6. D
解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC，
又∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得AC= ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得， ，
所以，cosB= ．
故答案为：D．
分析：先证明△ACD与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．www-2-1-cnjy-com
二、填空题
7. 1
解：原式=×-×× =- =1 分析：根据特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案。2·1·c·n·j·y
8.
解：过D作DF⊥l1, 交i2于点E， ∵∠ADF+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠ADF=∠DCE， ∵∠AFD=∠CED， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD， ∴△AFD≌△DEC（AAS）， ∴∴AF=DE=2， ∴AD=， ∴sin α ==. 故答案为：. 分析：过D作DF⊥l1, 交i2于点E，由同角的余角相等推得∠ADF=∠DCE，结合正方形的边长相等，利用角角边定理可证△AFD≌△DEC，则对应边AF=DE=2，于是在Rt△AFD中利用勾股定理即可求出AD的长，则sin α可求. ?21*cnjy*com
9. 或
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝ AC＝2，作DM⊥AB于M，如图1所示：
∵sinA＝ ＝ ，
即 ＝ ，
∴DM＝ ，
分三种情况：
①当DE＝DF时，
∵tan∠DFE＝ ＝ ，
∴FM＝ DM＝ × ＝ ，
∴DE＝DF＝ ＝ ＝ ；
②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，如图2所示：
由①得：DM＝ ，FM＝ ，DF＝ ；
∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝ DF＝ ，
∵tan∠EFD＝ ＝ ，
∴EN＝ FN＝ ，
∴ED＝EF＝ ＝ ；
③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G，如图3所示：
则EG＝DG，
同①得：EM＝ ，DE＝ ，
∴EG＝ ，
∵tan∠DEF＝ ＝ ，
∴GF＝ EG＝ ，
∴EF＝ ＝ ；
综上所述，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是 时，△DEF腰长的值是 或 ；
故答案为： 或 ．
分析：由勾股定理得出AB＝ ＝5，作DM⊥AB于M，由三角函数得出DM＝ ，分三种情况：①当DE＝DF时，②当ED＝EF时，作EN⊥DF于N，③当FE＝FD时，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性质、三角函数定义和勾股定理即可得出答案．21教育网
三、计算题
10. 解：2sin60°?tan45°+4cos230°﹣tan60°
＝2× ×1+4×（ ）2﹣
＝ +3﹣
＝3．
分析：直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
11. 解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝3tan30°+1＝3× +1＝ +1时，原式＝ ．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝3tan30°+1化简后代入进行计算即可．【版权所有：21教育】
四、解答题
12. 解：∵∠BDC=90°，BC=10， ，
∴ = ，
∵在Rt△BCD中，
∴ ，
∴在Rt△ACD中， ，
∴ = （米）．
答：改建后南屋面边沿增加部分 的长约为1.9米。
分析：根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度，在直角三角形ACD中，根据锐角三角形函数的性质，即可得到AD的长度。21*cnjy*com
五、综合题
13. （1）解：过点 作 于点 ，
等腰三角形 ， ，
，
设
，
由勾股定理可知： .
由勾股定理可知：
（2）解：由于 ， ，
由勾股定理可知：
分析：(1) 过点 作 于点 ，求出AB的长，设 ，根据勾股定理即可求解.（2）由（1）得AD=4，由勾股定理求出DB的长，再根据三角函数的定义求解即可.
14. （1）解：
（2）解：三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°，
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ，
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ，不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ，将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 不是方程4x2-1=0的根.2-1-c-n-j-y
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°
分析：(1)按照题目所给的信息求解即可;(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°，∠B=30°时;③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可.
15. （1）证明：∠A=∠D=900
在△
∴
∴∠ABF=∠DFE
∴
（2）解：在Rt△ ,
设
由折叠的性质知EF=EC,则AB=DC=5
由 ，得
故
分析：（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE；（2）已知 ，设DE=2a，EF=3a，DF= a，由折叠的性质知EF=EC,则BC=DC= 由 ，得 即可得到 .