初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.2 解直角三角形及其应用同步练习（含解析）

初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 28.2 解直角三角形及其应用
一、单选题
1.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ??） 21世纪教育网版权所有
A.?10m?????????????????????????????????B.?10 m?????????????????????????????????C.?15m?????????????????????????????????D.?5 m
2.如图,已知圆内接正三角形的面积为 ,则该圆的内接正六边形的边心距为(?? )
A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.如图，有一斜坡 ，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度为1：2，则此斜坡AB为(??? ??)
A.?m??????????????????????????????????B.?60m??????????????????????????????????C.?30m??????????????????????????????????D.?15m
4.在边长为1的菱形ABCD中，0°＜∠A＜90°，设∠A＝α，则菱形的面积S与α的函数关系式为（?? ）
A.?S＝sinα?????????????????????????????B.?S＝cosα?????????????????????????????C.?S＝tanα?????????????????????????????D.?S＝
5.如图某飞机于空中 处探测到目标 ，此时飞机高度 从飞机上看地平面指挥台 的俯角为 ，则飞机 到指挥台 的距离为（?? ） 21·cn·jy·com
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
二、填空题
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=4，则AB的长是________。
7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝ [MISSING IMAGE: , ]?，AC＝5，则AB的长________．www.21-cn-jy.com
8.如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2 ，则它的边长是________．
9.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形ABCD的面积为34，小正方形EFGH的面积为4，则tan∠DCG的值为________. 2-1-c-n-j-y
三、综合题
10.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人
在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．
11.如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 ，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 ，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知 ． 21*cnjy*com
（1）求楼间距AB；
（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？ 参考数据： ， ， ， ， ， 【来源：21cnj*y.co*m】
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sin A=
（1）求AB的长;
（2）若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE∽△ABC时，求CE的长.
13.如图，在电线杆上的点C处引同样长度的拉线CE，CF固定电线杆CD，在离电线杆6米处安置测角仪AB(其中点B、E、D、F在同一条直线上)，在A处测得电线杆上点C处的仰角为30°，测角仪AB的高为 米。 21教育网

（1）求电线杆上点C离地面的距离CD
（2）若拉线CE，CF的长度之和为18米，求固定点E和F之间的距离。
14.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3 米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2.
（1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

答案解析部分
一、单选题
1. A
解：在Rt△ABC中，∵BC=5m， ∴ = ， ∴ ?m， ∴?m. 故答案为：A. 分析：根据坡度先求出AC，再利用勾股定理求出坡面AB的长即可.21cnjy.com
2. B
解：如图,设△ABC的边长为a,则S△ABC= a2,??? ∴ a2= ,解得a=2或a=-2(舍),∴BC=2. ∵∠BAC=60°,BO=CO,∴∠BOC=120°,则∠BCO=30°.??? 【出处：21教育名师】
∵OH⊥BC,∴BH= BC=1,在Rt△BOH中,BO=BH÷cos30°= , ∴圆的半径r= .【来源：21·世纪·教育·网】
如图,正六边形内接于圆O,且半径为 ,可知∠EOF=60°,OF= .
在△EOF中,OE=OF,OD⊥EF,∴∠FOD=30°.
在Rt△DOF中,OD=OF·cos30°= × =1,? ∴边心距为1 故答案为：B.
分析：利用等边三角形的面积就可求出此三角形的边长BC的长，再求出正三角形的中心角∠BOC的度数，从而可求出∠BCO的度数，利用解直角三角形求出圆的半径r，然后利用正六边形的性质，可证得∠EOF=60°，∠FOD=30°，在Rt△DOF中，利用解直角三角形求出边心距OD的长。
3. A
解：∵∠BCA=90°，斜坡AB的坡度为1：2，BC=30m， ∴
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得
，
故答案为：A．
分析：根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，再利用勾股定理求AB即可．
4. A
过点D作DE⊥AB，如下图所示：
则DE＝AD?sinα＝sinα，
∴菱形的面积＝AB?DE＝1?sinα＝sinα．
故答案为：A．
分析：过点D作DE⊥AB，根据菱形的面积=底边×高，底边为1，高为sinα，继而即可选出答案．
5. C
解：根据题意可知∠B=α，
在Rt△ABC中，∵sinB= =sinα，
∴
∴AB=
故答案为：C．
分析：先利用平行线的性质得到∠B=α，然后利用∠B的正弦计算AB的长．
二、填空题
6.
解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=4， ∴ ∴ 解之：. 故答案为：. 【版权所有：21教育】
分析：利用锐角三角函数的定义：， 然后代入计算可求解。
7. 3
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝ ?＝ ?，
设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，
∴5k＝5，
∴k＝1，
∴CD＝AB＝3，
故答案为3.
分析：先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB.
8. 2
如图，过B作BG⊥AC于点G，
正六边形每个内角为 ，
∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，
∵在等腰△ABC中，BA=BC，BG⊥AC，
∴AG=GC= AC= ，
在Rt△ABG中，cos∠BAG=
∴
故答案为：2.
分析：过B作BG⊥AC于点G，易求正六边形的内角度数为120°，所以∠BAG=30°，在Rt△ABG中，利用三角函数可求出AB.21教育名师原创作品
9.
由题意可知：大正方形 的面积为 ，小正方形的面积为
? ，
?四个直角三角形全等，
设 ，则
由勾股定理可得：在 中，
?
解之得：
?
在 中，
故答案为：
分析：根据大正方形 的面积为 ，小正方形的面积为 即可得到 , ，再根据勾股定理，即可得到 ，进而求得 的值.21*cnjy*com
三、综合题
10. 解：过A作AD⊥BC于点D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x，则CD＝AD＝x，
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
由tan∠ABD＝ ，即tan60°＝ ，∴BD＝ x，
又∵BC＝4，即BD＋CD＝4，
∴ x＋x＝4，解得x＝6－2 ，
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为(6－2 )公里．
分析：过点A作AD⊥BC于点D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD＝x，得出CD＝AD＝x，再解Rt△ABD，得出BD==， 再由BD+CD=4，得出方程， 解方程求出x的值，即为点A到岸边BC的最短距离. 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是本题解题的关键.
11. （1）解：如图，
作 于M， 于 则 ，设 ．
在 中， ，
在 中， ，
，
，
，
的长为50m．
（2）解：由 可知： ，
， ，
， ，
冬至日20层 包括20层 以下会受到挡光的影响，春分日6层 包括6层 以下会受到挡光的影响
分析：（1）如图，作 于M， 于 则 ，设 想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．
12. （1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，
设BC=3x，AB=5x，则 ，
∵AC=8，
∴4x=8，解得：x=2，
∴AB=5x=5×2=10
（2）解：分两种情况：
①当点E在AB上时，△CFE∽△ABC，如图
∴∠FEC=∠BCA=90°，∠ECF=∠CAB，
∴AE=CE（等腰三角形三线合一）
∵AC=8，
∴CE=4；
②当点E在BC上时，△CFE∽△ABC，如图
∴∠ECF=∠CAB， ，
∵∠CAB+∠ACF=∠ECF+∠ACF=90°，
∴CF⊥AB，
∴CF= =4.8，
∴ =4.8× =
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，可设设BC=3x，AB=5x，求得AC=4x，进而求出AB的值；（2）当△CFE∽△ABC时，分两种情况：①当点E在AB上，②当点E在BC上，分别求出CE的长，即可.21·世纪*教育网
13. （1）解：过A作AH⊥CD于H，由条件知，ABDH为矩形

∴DH=AB= ，BD=AH=6
在Rt△ACH中，tm∠CAH=
即 ∴CH=2
∴CD=2 + =3
∴CD为3 米
（2）解：∵CE=CF，CE+CF=18，∴CE=9，
在R△CED中，CD=3 ，CE=9，
∴DE=
∵CE=CF，CD⊥EF，∴DF=DE=3
∴EF=6 ，
∴E、F之间的距离为6 米
分析：（1）过A作AH⊥CD于H，利用矩形的对边相等可求出DH，AH的长，再在Rt△ACH中，利用解直角三角形求出CH的长，然后根据CD=CH+DH，即可求出CD的长。 （2）由题意可知CE=CF，先求出CE的长，再在Rt△CED中，利用勾股定理求出DE的长，然后根据EF=2DE，就可求出EF的长。www-2-1-cnjy-com
14. （1）解：作DH⊥AE于H，如图1所示：
在Rt△ADH中，∵ ，∴AH=2DH.
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）解：如图2所示：延长BD交AE于点G，
设BC=xm，由题意得：∠G=31°，∴GH 5.
∵AH=2DH=6，∴GA=GH+AH=5+6=11.
在Rt△BGC中，tan∠G ，∴CG x.
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，∴AC=BC=x.
∵GC﹣AC=AG，∴ x﹣x=11，解得：x=16.5.
答：大树的高度约为：16.5米.
分析：（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；（2）延长BD交AE于点G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；设BC=x米，根据正切的概念用x表示出GC、AC，根据GC﹣AC=AG列出方程，解方程得到答案.2·1·c·n·j·y