苏科版七年级数学下册7．1直线平行的条件和探索学案（含练习答案）

苏科版七年级数学下册直线平行的条件和探索
【直线平行的条件和性质】
【学习目标】
1.同位角、内错角、同旁内角的识别；
2.会判定两条直线平行；
3.平行线的性质.
【基础知识梳理】
1．如图，同位角的是；
内错角的是；
同旁内角的是　．　
2．直线平行的条件：（1）基本事实：，两直线平行；
（2）定理：，两直线平行；
（3）定理：，两直线平行．
3．平行线的性质：（1）基本事实：两直线平行，；
（2）定理：两直线平行，；
（3）定理：两直线平行，．
【典型例题】
1、 三线八角模型
例1：如图所示，同位角一共有　　对，分别是　　；内错角一共有　　对，分别是　　；同旁内角一共有　　对，分别是　　．


【变式】
已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1一同旁内角→∠9一内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6一同位角→∠10一同旁内角→∠3．
试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？


二、平行线的判定
例2：如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有　　．（填写所有满足条件的序号）

三、平行线的性质
例3：如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，求图2中∠AEF的度数.

【变式】
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠F的度数.



四、综合运用
例4：填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝　　．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（　　）
∴∠2＝　　．（　　）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝　　．（　　）
∴CD∥FH（　　）
∴∠BDC＝∠BHF＝　　．°（　　）
∴CD⊥AB．

例5：（1）如图(1)，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图(2)，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．

【变式】
问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．


【拓展应用】
例6：如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【能力提升】
1．如图所示，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行 B．垂直 C．共线 D．平行或共线
3．如图，FA⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（　　）
A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CD
C．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD
4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在所作的图形中，∠A与　　是内错角；∠B与　　是同位角；∠ACB与　　是同旁内角．


5．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝　　　　　　（度）．
6．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝　　　　　　度．
7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.




8.（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．

9.如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．




10.【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、C．
（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝　　度，∠FOH＝　　度．
（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．
【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）


【能力提升】答案
1．如图所示，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行 B．垂直 C．共线 D．平行或共线
解：如图所示：

不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．
故选：D．
3．如图，FA⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（　　）

A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD
B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CD
C．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD
D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD
解：A、正确，同位角∠CAB＝∠NCD，故AB∥CD；
B、错误，∠DCN＝∠BAC不是同位角，所以B不对；
C、正确，∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，可得同位角∠BAN＝∠DCN，故AB∥CD；
D、正确，同位角∠MAB＝∠ACD，故AB∥CD．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与　 　是内错角；∠B与　 　是同位角；∠ACB与　 　是同旁内角．

解：如图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角．
5．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝　75　（度）．

解：如图所示：∠1+∠3＝180°，
∵m∥n，
∴∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝180°，
∴3x+24+5x+20＝180°，
解得：x＝17，
则∠1＝（3x+24）°＝75°．

6．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝　180　度．

解：如图所示，

由图知∠A+∠B＝∠BPD，
∵BE∥CF，
∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，
又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°.
7. 如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.

解：如图，∵∠ACB＝90°
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝30°，
∴∠3＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝60°.


8.（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．

解：（1）AB∥CD，
理由：如图（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；

（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．


9. 如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．

证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°，
又∵∠EFC＝140°，
∴∠BCF+∠EFC＝180°，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD．
10. 【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．
（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝　　　度，∠FOH＝　　　度．
（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．
【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）

解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝30°；
∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝25°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°－∠OFH－∠OHF＝125°；
故答案为：30，125；
（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF＝100°，
∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．
∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，
∴∠FOH＝180°－（∠EOF+∠GOH ）＝180°－50°＝130°．
【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，
∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，
∴∠FOH＝∠OHI－∠OFH
＝（∠CHI－∠AFH）
＝（180°－∠CHF－∠AFH）
＝（180°－α）
＝90°－α．




第6题

第5题

第4题

第3题

第1题