18.1.1平行四边形的性质
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(共30张PPT)
华师大版 初中数学
18.1 平行四边形的性质
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行
一组对边不平行
四边形
梯形
平行四边形
两组对边分别平行
你能举出日常生活中涉及的平行四边形吗？
思考
常见的平行四边形
生活中的平行四边形
新知导入
例如
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
A
D
C
B
如图：四边形ABCD是平行四边形
记作：□ABCD
读作：平行四边形ABCD
温馨提示
（1）平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线；
（2）平行四边形相对的边称为对边；相对的角称为对角；
（3）平行四边形是特殊的四边形，特殊在两组对边分别平行哟！
平行四边形
按下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。
m
A
B
C
D
n
（1）任意画一条直线m；
（2）在直线m上任取点A，在直线m外任取点B，连结AB；
（3）过点B作直线m的平行线n，在直线n上任取点C；
（4）过点C作直线AB的平行线，交直线m与点D，就得到□ABCD.
平行四边形除对边平行外，还有其他的性质吗？
平行四边形的画法
探索
按照下面步骤操作，思考并解决问题：
步骤1：在□ABCD中连接AC，BD，它们的交点为O；
步骤3：把两个平行四边形叠合在一起，用一枚图钉在O点穿过,将
□ABCD绕点O旋转180°；
步骤2：用剪刀把□ ABCD从方格纸上剪下,再在白纸上沿□ ABCD
的边沿，画一个四边形记为EFGH。
A
B
C
D
O
E
H
G
F
O
中心对称图形
AD=BC，AB=CD
∠BAD=∠BCD
∠ABC=∠ADC
平行四边形的对称性
探索
猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是平行四边形
说明：AD=BC，AB=CD
∠BAD=∠BCD；∠ABC=∠ADC
1
2
3
4
BD=DB
∠1=∠2
∠3=∠4
思路解析
AD//BC
AB//CD
△ABD≌△CDB
∠A=∠C
AB=CD
AD=BC
思考
平行四边形的邻角有何关系呢？
平行四边形的性质
探索
问题：如图,在□ABCD中,当连结对角线AC、BD相交于点O时,除平行四边形中对边平行且相等、对角相等外,图中还有相等的线段吗？并说明理由。
A
B
C
D
O
O
发现
AO=CO，BO=DO
思考
（1）请你用演绎推理证明这个结论？
（2）你能归纳你得到的平行四边形的性质吗？
平行四边形对角线性质
思考
平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分。
A
B
C
D
O
几何语言
∴AO=CO，BO=DO
∵四边形ABCD是□
平行四边形的性质
例1 在□ABCD中，∠A=40 °，求其他各内角的大小．
解：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D（平行四边形的对角相等）．
∵ ∠A=40°（已知)，
∴ ∠C=40°．
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B= 180 －∠A= 180?－ 40°=140 °，
∠D= ∠B= 140 °．
新知讲解
例2 如图，在□ABCD中，AB=8，周长等于24．求其余三条边的长．
解： 在□ ABCD中，
AB=DC，AD=BC（平行四边形的对边相等）．
∵AB=8，
∴DC=8，
又∵AB+BC+DC+AD=24，
∴ AD=BC= ．
新知讲解
在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
平行线之间的距离处处相等．
新知讲解
例3 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长．
解：设AB的长为x，则BC的长为x＋4．
根据已知，可得，
2（AB ＋ BC）＝24，即2（x ＋x ＋4）＝24
4 x ＋8 ＝24，
解得x＝4 ．
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8 ．
新知讲解
例4 已知：如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E．求证：BE+BC=CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的对边平行），
∴∠CDE=∠AED．
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE， ∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
又∵AD=BC （平行四边形的对边相等），
∴ AE=BC．
BE+BC= BE+AE= CD．
新知讲解
例5 如图□ ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在□ ABCD中
∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9．
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．
新知讲解
例6 如图□ ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD相交于点E和点F．求证：OE=OF．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）．
又∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO．
又∵ ∠EBO=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
新知讲解
例7 如图□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2．求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）．
∵ △AOB的周+2= △BOC的周长，
∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，
即 AB+2=BC．
又∵ □ ABCD的周长=16，
∴2（AB+BC)=16，
即4AB+4=16．
∴AB=3，BC=5．
新知讲解
例8 如图，在□ ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E ，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm ，
则□ ABCD的面积等于AD·x．
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，
x=15(cm)，
即AD和BC之间的距离为15cm．
新知讲解
边的运算
C
D
A
B
１、如图，在
ABCD中
A 基础知识：
(1)若AB=1㎝，BC=2 ㎝,
则
ABCD的周长=______.
6cm
(2)若AB=4㎝， BC=______.
ABCD的周长为 18，
5cm
B变式训练：
(1)若AB：BC=3：4，AB=6 ㎝，则BC=____，周长=_____.
8cm
28cm
(2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=——DA=——.
3cm
4cm
1.如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点.若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是______.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD BC，AB DC.
∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE.
又∵E是AD边上的中点,
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12.
答案：12
∥
＝
∥
＝
2.如图，在平面直角坐标系中，□ OBCD的顶点O,B,D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ）
x
y
C
O (0,0)
B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
C
角的运算
C
D
A
B
1、如图，在
ABCD中，
A:基础知识：
若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、∠D=______.
50°
130°
50°
B:变式训练：
若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______.
100°
80°
２.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连结EF，则∠E+∠F的值为（ ）
A.110° B.30° C.50° D.70°
【解析】选D.在□ABCD中，∠B=110°，∴∠ADC=∠B=110°，∴∠CDF=70°,由三角形外角的性质得，∠E+∠F=70°.
与对角线相关的运算
１、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及□ ABCD的面积.
解：
∴△ABC是直角三角形，
又∵AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
又∵OA=OC ,∴
∴
∴S□ABCD= BC×AC=8×6=48。
8
10
B
C
D
A
●
O
2.如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，AC+BD=14 cm，则△OBC的周长是____cm.
【解析】在□ABCD中，BC=AD,OA=OC,OB=OD.
∵AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，∴AD=4 cm，BC=4cm.
∵AC+BD=14 cm，
∴OB+OC=7 （cm），
∴△OBC的周长为OB+OC+BC=11（cm）.
答案：11
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，OA，OB，AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，求其他各边以及两条对角线的长度.
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
又∵OA=3 cm，OB=4 cm，AB=5 cm，
∴AC=6 cm，BD=8 cm，CD=5 cm.
∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD，
∴在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
∴AD=5 cm，BC=5 cm.
答：这个平行四边形的其他各边长都是5 cm，两条对角线长分别为6 cm和8 cm.
１.如图，在□ ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )
A.3 B.6
C.12 D.24
【解析】选C.观察图形会发现，每一小块阴影三角形都与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半.故S阴影= = ×6×4=12.
与对称性相关的运算
1、【2019?贵州】如图，在□ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
2、【2019?江苏】如图，在□ABCD中，∠A ＝70°，DC ＝ DB ，则∠CDB ＝_________ ．
3、【2019?湖北】如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为_________ ．
D
40°
14
中考链接
平行四边形的性质
结论
对称性：平行四边形是中心对称图形；
性质定理1：平行四边形的对边平行且相等；
边
性质定理2：平行四边形的对角相等。
平行四边形邻边之和等于周长的一半。
平行四边形的邻角互补。
A
B
C
D
AD//BC；AB//DC
=
=
角
∠A=∠C；∠B=∠D
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
华师大版 初中数学
18.1 平行四边形的性质
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行
一组对边不平行
四边形
梯形
平行四边形
两组对边分别平行
你能举出日常生活中涉及的平行四边形吗？
思考
常见的平行四边形
生活中的平行四边形
新知导入
例如
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
A
D
C
B
如图：四边形ABCD是平行四边形
记作：□ABCD
读作：平行四边形ABCD
温馨提示
（1）平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线；
（2）平行四边形相对的边称为对边；相对的角称为对角；
（3）平行四边形是特殊的四边形，特殊在两组对边分别平行哟！
平行四边形
按下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。
m
A
B
C
D
n
（1）任意画一条直线m；
（2）在直线m上任取点A，在直线m外任取点B，连结AB；
（3）过点B作直线m的平行线n，在直线n上任取点C；
（4）过点C作直线AB的平行线，交直线m与点D，就得到□ABCD.
平行四边形除对边平行外，还有其他的性质吗？
平行四边形的画法
探索
按照下面步骤操作，思考并解决问题：
步骤1：在□ABCD中连接AC，BD，它们的交点为O；
步骤3：把两个平行四边形叠合在一起，用一枚图钉在O点穿过,将
□ABCD绕点O旋转180°；
步骤2：用剪刀把□ ABCD从方格纸上剪下,再在白纸上沿□ ABCD
的边沿，画一个四边形记为EFGH。
A
B
C
D
O
E
H
G
F
O
中心对称图形
AD=BC，AB=CD
∠BAD=∠BCD
∠ABC=∠ADC
平行四边形的对称性
探索
猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是平行四边形
说明：AD=BC，AB=CD
∠BAD=∠BCD；∠ABC=∠ADC
1
2
3
4
BD=DB
∠1=∠2
∠3=∠4
思路解析
AD//BC
AB//CD
△ABD≌△CDB
∠A=∠C
AB=CD
AD=BC
思考
平行四边形的邻角有何关系呢？
平行四边形的性质
探索
问题：如图,在□ABCD中,当连结对角线AC、BD相交于点O时,除平行四边形中对边平行且相等、对角相等外,图中还有相等的线段吗？并说明理由。
A
B
C
D
O
O
发现
AO=CO，BO=DO
思考
（1）请你用演绎推理证明这个结论？
（2）你能归纳你得到的平行四边形的性质吗？
平行四边形对角线性质
思考
平行四边形的性质3：平行四边形的对角线互相平分。
A
B
C
D
O
几何语言
∴AO=CO，BO=DO
∵四边形ABCD是□
平行四边形的性质
例1 在□ABCD中，∠A=40 °，求其他各内角的大小．
解：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D（平行四边形的对角相等）．
∵ ∠A=40°（已知)，
∴ ∠C=40°．
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B= 180 －∠A= 180?－ 40°=140 °，
∠D= ∠B= 140 °．
新知讲解
例2 如图，在□ABCD中，AB=8，周长等于24．求其余三条边的长．
解： 在□ ABCD中，
AB=DC，AD=BC（平行四边形的对边相等）．
∵AB=8，
∴DC=8，
又∵AB+BC+DC+AD=24，
∴ AD=BC= ．
新知讲解
在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
平行线之间的距离处处相等．
新知讲解
例3 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长．
解：设AB的长为x，则BC的长为x＋4．
根据已知，可得，
2（AB ＋ BC）＝24，即2（x ＋x ＋4）＝24
4 x ＋8 ＝24，
解得x＝4 ．
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8 ．
新知讲解
例4 已知：如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E．求证：BE+BC=CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的对边平行），
∴∠CDE=∠AED．
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE， ∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
又∵AD=BC （平行四边形的对边相等），
∴ AE=BC．
BE+BC= BE+AE= CD．
新知讲解
例5 如图□ ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在□ ABCD中
∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9．
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．
新知讲解
例6 如图□ ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD相交于点E和点F．求证：OE=OF．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）．
又∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO．
又∵ ∠EBO=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
新知讲解
例7 如图□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2．求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）．
∵ △AOB的周+2= △BOC的周长，
∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，
即 AB+2=BC．
又∵ □ ABCD的周长=16，
∴2（AB+BC)=16，
即4AB+4=16．
∴AB=3，BC=5．
新知讲解
例8 如图，在□ ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E ，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm ，
则□ ABCD的面积等于AD·x．
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，
x=15(cm)，
即AD和BC之间的距离为15cm．
新知讲解
边的运算
C
D
A
B
１、如图，在
ABCD中
A 基础知识：
(1)若AB=1㎝，BC=2 ㎝,
则
ABCD的周长=______.
6cm
(2)若AB=4㎝， BC=______.
ABCD的周长为 18，
5cm
B变式训练：
(1)若AB：BC=3：4，AB=6 ㎝，则BC=____，周长=_____.
8cm
28cm
(2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=——DA=——.
3cm
4cm
1.如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点.若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是______.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD BC，AB DC.
∵∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE.
又∵E是AD边上的中点,
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12.
答案：12
∥
＝
∥
＝
2.如图，在平面直角坐标系中，□ OBCD的顶点O,B,D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（ ）
x
y
C
O (0,0)
B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
C
角的运算
C
D
A
B
1、如图，在
ABCD中，
A:基础知识：
若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、∠D=______.
50°
130°
50°
B:变式训练：
若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______.
100°
80°
２.如图，在□ ABCD中， ∠B=110°，延长AD至点F，延长CD至点E，连结EF，则∠E+∠F的值为（ ）
A.110° B.30° C.50° D.70°
【解析】选D.在□ABCD中，∠B=110°，∴∠ADC=∠B=110°，∴∠CDF=70°,由三角形外角的性质得，∠E+∠F=70°.
与对角线相关的运算
１、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及□ ABCD的面积.
解：
∴△ABC是直角三角形，
又∵AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
又∵OA=OC ,∴
∴
∴S□ABCD= BC×AC=8×6=48。
8
10
B
C
D
A
●
O
2.如图，在□ ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，AC+BD=14 cm，则△OBC的周长是____cm.
【解析】在□ABCD中，BC=AD,OA=OC,OB=OD.
∵AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2 cm，∴AD=4 cm，BC=4cm.
∵AC+BD=14 cm，
∴OB+OC=7 （cm），
∴△OBC的周长为OB+OC+BC=11（cm）.
答案：11
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，OA，OB，AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm，求其他各边以及两条对角线的长度.
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD.
又∵OA=3 cm，OB=4 cm，AB=5 cm，
∴AC=6 cm，BD=8 cm，CD=5 cm.
∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD，
∴在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
∴AD=5 cm，BC=5 cm.
答：这个平行四边形的其他各边长都是5 cm，两条对角线长分别为6 cm和8 cm.
１.如图，在□ ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )
A.3 B.6
C.12 D.24
【解析】选C.观察图形会发现，每一小块阴影三角形都与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半.故S阴影= = ×6×4=12.
与对称性相关的运算
1、【2019?贵州】如图，在□ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
2、【2019?江苏】如图，在□ABCD中，∠A ＝70°，DC ＝ DB ，则∠CDB ＝_________ ．
3、【2019?湖北】如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为_________ ．
D
40°
14
中考链接
平行四边形的性质
结论
对称性：平行四边形是中心对称图形；
性质定理1：平行四边形的对边平行且相等；
边
性质定理2：平行四边形的对角相等。
平行四边形邻边之和等于周长的一半。
平行四边形的邻角互补。
A
B
C
D
AD//BC；AB//DC
=
=
角
∠A=∠C；∠B=∠D
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