解直角三角形及其应用
知识点1、2、3 已知两边解直角三角形、已知一边及一锐角解直角三角形、已知一边及一锐角函数值解直角三角形
(1)在直角三角形中，由已知元素求 元素的过程，叫做解直角三角形．
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边之间的关系：a2＋b2＝c2( )；两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；边角之间的关系：sinA＝ ＝，cosA＝ ＝，tanA＝ ＝.
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2．(知识点2)(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝α，则BC的长为( )
A．4sinα B.
C. D．4tanα
第2题
3．(知识点3)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为( )
A．6cm B．7cm
C．8cm D．9cm
4．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为 ．
第4题
5．(知识点2)(3分)(2019·舟山)如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2－BC2＝AB2，则tanC＝ ．
6．(知识点3)(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值．
7．(综合题)(8分)如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(计算过程和结果均保留根号)
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝，求AD的长．
知识点1 利用解直角三角形解决一般的实际问题
把实际问题转化为 问题，构造直角三角形，寻找解直角三角形所需要的角、边等 ，解直角三角形，求出实际问题中的 ．
知识点2 解与仰角、俯角有关的问题
测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角；视线在水平线 的角叫俯角．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(4分)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( A )
A．5米 B．6.5米
C．6米 D．12米
第1题
第2题
2．(知识点1)(4分)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( )
A. B.
C. D．h·cosα
3．(知识点2)(4分)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A.米 B．30sinα米
C．30tanα米 D．30cosα米
第3题
4．(知识点2)(4分)(2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m (精确到0.1m.参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
第4题
5．(知识点1)(4分)(2019·咸宁)如图，九(1)班数学课外活动小组在测量河宽AB(这段河的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，在D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为 m．(结果保留整数，≈1.73)
6．(知识点2)(10分)某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度，如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°，求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB(结果保留根号)．
当堂检测(总分30分)
知识点1 解与方位角有关的问题
指北或指南方向线与目标方向线所成的 的角叫做方位角．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
知识点2 解与坡度有关的问题
坡面的 与 之比叫做坡度(或坡比)，记作i.其中坡度(或坡比)是坡角的 ．解决坡度的实际问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(4分)如图，小雅家(图中点O处)门前一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )
A．250米 B．250米
C.米 D．500米
第1题
2．(知识点1)(4分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为( )
A．60海里 B．60海里
C．30海里 D．30海里
第2题
3．(知识点2)(4分)某人沿坡度为i＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的最大高度为( )
A．3米 B.米 C．2米 D.米
4．(知识点2)(4分)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
第4题
5．(知识点2)(4分)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED.tanE＝，则CE的长为 米．
第5题
6．(知识点1)(10分)如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1海里)
解直角三角形及其应用
知识点1、2、3 已知两边解直角三角形、已知一边及一锐角解直角三角形、已知一边及一锐角函数值解直角三角形
(1)在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的度数为( D )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2．(知识点2)(3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝α，则BC的长为( D )
A．4sinα B.
C. D．4tanα
第2题
3．(知识点3)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为( C )
A．6cm B．7cm
C．8cm D．9cm
4．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为3＋．
第4题
5．(知识点2)(3分)(2019·舟山)如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2－BC2＝AB2，则tanC＝．
6．(知识点3)(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值．
解：BC＝AB·sinA＝10×＝4.在Rt△ABC中，AC＝＝2，∴tanB＝＝＝.
7．(综合题)(8分)如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(计算过程和结果均保留根号)
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝，求AD的长．
解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝6·tan60°＝6.∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∴CE＝＝8，∴BC＝BE－CE＝6－8. (2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝，∴AD＝AE－DE＝10－＝.
知识点1 利用解直角三角形解决一般的实际问题
把实际问题转化为三角形问题，构造直角三角形，寻找解直角三角形所需要的角、边等已知量，解直角三角形，求出实际问题中的未知量．
知识点2 解与仰角、俯角有关的问题
测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(4分)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( A )
A．5米 B．6.5米
C．6米 D．12米
第1题
第2题
2．(知识点1)(4分)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)( B )
A. B.
C. D．h·cosα
3．(知识点2)(4分)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( C )
A.米 B．30sinα米
C．30tanα米 D．30cosα米
第3题
4．(知识点2)(4分)(2019·枣庄)如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．(精确到0.1m.参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
第4题
5．(知识点1)(4分)(2019·咸宁)如图，九(1)班数学课外活动小组在测量河宽AB(这段河的两岸平行)，他们在点C测得∠ACB＝30°，在D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为69m．(结果保留整数，≈1.73)
6．(知识点2)(10分)某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度，如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°，求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB(结果保留根号)．
解：设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝(x－50)m.在Rt△ABD中，tan60°＝＝＝，解得x＝25(＋3)．即摩天轮的高度AB为25(＋3)m.
当堂检测(总分30分)
知识点1 解与方位角有关的问题
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
知识点2 解与坡度有关的问题
坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)，记作i.其中坡度(或坡比)是坡角的正切值．解决坡度的实际问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(4分)如图，小雅家(图中点O处)门前一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( A )
A．250米 B．250米
C.米 D．500米
第1题
2．(知识点1)(4分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为( B )
A．60海里 B．60海里
C．30海里 D．30海里
第2题
3．(知识点2)(4分)某人沿坡度为i＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的最大高度为( B )
A．3米 B.米 C．2米 D.米
4．(知识点2)(4分)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
第4题
5．(知识点2)(4分)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED.tanE＝，则CE的长为8米．
第5题
6．(知识点1)(10分)如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1海里)
解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C.由题意可知∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20海里．在Rt△APC中，∵cos∠APC＝，∴PC＝20·cos60°＝10(海里)，∴AC＝＝10(海里)．在Rt△PBC中，∵∠BPC＝45°.∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝BC，∴AB＝AC－BC＝10－10≈7.3(海里)．即它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
