2020年沪科版八下数学《第18章 勾股定理》
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，7 C．3，4，6 D．8，15，17
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．5 B．60 C．45 D．30
3．（4分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．+2 C．﹣2 D．2
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（ ）
A．S2＝S1+S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4
5．（4分）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的两个锐角顶点坐标为（2，3），（0，﹣1），则它的直角顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（﹣1，2）
C．（1，1） D．（3，0），（﹣1，2）
6．（4分）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．8
8．（4分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
9．（4分）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于 ．
12．（5分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
13．（5分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 cm．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．
16．（8分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
18．（8分）如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：
（1）AO，FO的长；
（2）图中半圆的面积．
19．（10分）（1）如图1，在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；
（2）在如，2所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．
20．（10分）如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
21．（12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
23．（14分）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 ．
2020年沪科版八下数学《第18章 勾股定理》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，7 C．3，4，6 D．8，15，17
解：A、不是勾股数，因为72+122≠132；
B、不是勾股数，因为32+42≠72；
C、不是勾股数，因为不是正整数；
D、是勾股数，因为82+152＝172；，且8，15，17是正整数．
故选：D．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．5 B．60 C．45 D．30
解：∵AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，
∴BC＝＝5．
∴△ABC的面积＝×12×5＝30，
故选：D．
3．（4分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B．+2 C．﹣2 D．2
解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝．
∴点D表示数为﹣2．
故选：C．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（ ）
A．S2＝S1+S3+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4
解：设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABD，△ACE，△CBF都是等边三角形，
∴，，．
∵∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2．
∴，
即S△ACE+S△BCF＝S△ABD．
∴S1+S3＝S2+S4．
故选：D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的两个锐角顶点坐标为（2，3），（0，﹣1），则它的直角顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（﹣1，2）
C．（1，1） D．（3，0），（﹣1，2）
解：将A（2，3），B（0，﹣1）描述在坐标系中，如图所示：
借助网格，可以作出AB的中垂线CD，此时由勾股定理可求出：
AD＝BD＝BC＝AC＝＝，
可得ACBD是正方形，从而△ACB，△DAB是等腰直角三角形，
∴C（﹣1，2），D（3，0）符合题意，
故选：D．
6．（4分）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．8
解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC＝＝＝9，
故选：C．
8．（4分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，
所以BC＝20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
9．（4分）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（ ）
A． B． C． D．
解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，
∴Sn＝（）n﹣1．
当n＝5时，S5＝（）5﹣1＝（）4，
故选：A．
10．（4分）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是6和3，
则所走的最短线段是＝3；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是4和5，
所以走的最短线段是＝；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和2，
所以走的最短线段是＝；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以它需要爬行的最短路线的长是，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于 2 ．
解：∵直角坐标平面内两点 A（3，﹣1）和B（﹣1，2），
∴A、B两点间的距离等于＝2，
故答案为2．
12．（5分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案是：1.5．
13．（5分）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 3或 ．
解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 cm．
解：连接AD，如图，
∵∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，
∴BC＝＝＝8（cm），
由作法得PQ垂直平分AB，
∴DA＝DB，
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．
解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，AC2＝AB 2+BC2＝8，
在△ACD中，∵AC2+CD2＝8+1＝9＝DA2，AD2＝32＝9，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°．
16．（8分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m，
故x2＝62+（x﹣3）2，
解得：x＝7.5，
答：绳索AD的长度是7.5m．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）试判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
解：（1）A（﹣1，5），B（﹣5，2），C（﹣3，1）；
（2）△ABC是直角三角形．
证明：∵AB＝，
BC＝，
AC＝，
∴．
由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
18．（8分）如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：
（1）AO，FO的长；
（2）图中半圆的面积．
解：（1）∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，
∴AO2＝BO2+AB2＝25，
∴AO＝5cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得FO2＝AO2+AF2＝132，
∴FO＝13cm；
（2）图中半圆的面积为：π×＝π×＝（cm2）．
19．（10分）（1）如图1，在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；
（2）在如，2所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．
解：（1）如图1，正方形ABCD为所作；
（2）如图2，点A为所作．
20．（10分）如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2
解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
21．（12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
（1）证明：由题意，得
△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
即△≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根
（2）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝1．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理可得AB＝5；
（2）依题意得AP＝t，
当AP＝AC时，t＝3，
当AP＝PC时，∠A＝∠ACP，
∴∠PCB＝∠B，
t＝5﹣t，
∴t＝2.5；
23．（14分）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 112+602＝612 ．
解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）由分析得出：第5组的式子为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．
