锐角三角函数
知识点1、2 已知直角三角形的边长或边长间的数量关系求正弦值、已知正弦值求直角三角形的边长
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝＝.
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinB的值是( )
A. B.
C. D.
2．(知识点1)(3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A．sinB＝ B．sinB＝
C．sinB＝ D．sinB＝
第2题
3．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，则AC的长为( )
A．3 B．9
C．10 D．15
第3题
4．(知识点2)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB的长是( )
A．15 B．12
C．9 D．6
5．(综合题)(3分)如图，P是反比例函数y＝(x>0)图象上一点，PH⊥x轴于点H.若OP＝5，sin∠POH＝，则k＝ 6．(知识点1)(7分)在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，求sinA的值．
7．(综合题)(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求sinB及△ABC的面积．
知识点1 余弦
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝＝.
知识点2 正切
如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝＝.
知识点3 锐角三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A. B.
C. D.
第1题
2．(知识点1)(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
A. B.
C. D.
3．(知识点3)(3分)在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是( )
A. B.
C. D.
4．(知识点2)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A. B．3
C. D．2
5．(知识点2)(3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )
A. B.
C. D．2
6．(知识点3)(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝17.
(1)求BC的长；
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
7．(综合题)(8分)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．
知识点1、2 特殊角的三角函数值及有关计算、由三角函数值求特殊角
(1)30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下：sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝.
(2)在0°～90°之间，锐角A的正弦值随角度的增大(减小)而增大(减小)，锐角A的余弦值随角度的增大(减小)而减小(增大)，锐角A的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小)．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)3tan60°的值为( D )
A. B.
C. D．3
2．(知识点1)(3分)下列各数中是有理数的是( )
A. B．4π
C．sin45° D．
3．(知识点2)(3分)在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么下列关于△ABC的判断最准确的是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是钝角三角形
4．(知识点2)(3分)已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α的度数为( )
A．20° B．40°
C．60° D．80°
5．(知识点2)(3分)已知△ABC，若有|sinA－|与(tanB－)2互为相反数，则∠C的度数是90°．
6．(知识点1)(9分)求下列各式的值：
(1)cos245°＋tan60°·sin60°；
(2)－cos30°·tan30°；
(3)sin30°－cos245°＋tan230°＋sin260°－cos60°.
7．(综合题)(6分)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°的三角尺的斜边与含30°的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题，如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
知识点1 用计算器求已知锐角三角函数值
(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按，，键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按键，就可以在显示屏上显示出结果；
(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助键计算，按键顺序是：(或、)、度数、分数、秒数.
知识点2 用计算器求已知三角函数值的对应角
如果是特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按键，将、、转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)利用计算器计算cos55°，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2．(知识点1)(3分)用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( )
A．0.90 B．0.72
C．0.69 D．0.66
3．(知识点2)(3分)已知α为锐角，且tanα＝3.387，下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
4．(知识点2)(3分)为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A.
B.
C.
D.
5．(知识点1)(3分)运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9(结果精确到0.1)．
6．(知识点2)(6分)根据三角函数值用计算器求锐角A的大小(结果精确到0.01°)．
(1)sinA＝0.9333；
(2)cosA＝0.8032.
7．(综合题)(9分)已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
锐角三角函数
知识点1、2 已知直角三角形的边长或边长间的数量关系求正弦值、已知正弦值求直角三角形的边长
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝＝.
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinB的值是( B )
A. B.
C. D.
2．(知识点1)(3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )
A．sinB＝ B．sinB＝
C．sinB＝ D．sinB＝
第2题
3．(知识点2)(3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，则AC的长为( B )
A．3 B．9
C．10 D．15
第3题
4．(知识点2)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB的长是( A )
A．15 B．12
C．9 D．6
5．(综合题)(3分)如图，P是反比例函数y＝(x>0)图象上一点，PH⊥x轴于点H.若OP＝5，sin∠POH＝，则k＝12．
6．(知识点1)(7分)在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，求sinA的值．
解：此题分两种情况：①当AC，BC为两直角边时，AB＝＝＝5，所以sinA＝＝；②当BC为直角边，AC为斜边时，sinA＝＝.
7．(综合题)(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求sinB及△ABC的面积．
解：∵sinA＝，∴AB＝3BC＝3×3＝9，∴AC＝＝＝＝6，∴sinB＝＝＝，S△ABC＝AC·BC＝×6×3＝9.
知识点1 余弦
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝＝.
知识点2 正切
如上图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝＝.
知识点3 锐角三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( A )
A. B.
C. D.
第1题
2．(知识点1)(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( D )
A. B.
C. D.
3．(知识点3)(3分)在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是( B )
A. B.
C. D.
4．(知识点2)(3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( D )
A. B．3
C. D．2
5．(知识点2)(3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( C )
A. B.
C. D．2
6．(知识点3)(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，AB＝17.
(1)求BC的长；
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：(1)BC＝＝＝8. (2)sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
7．(综合题)(8分)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．
解：(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB.∴?ABCD是菱形．∴AC⊥BD. (2)在Rt△AOB中，cos∠OAB＝＝，AB＝14，∴AO＝AB＝.在Rt△ABE中，cos∠EAB＝＝，AB＝14，∴AE＝AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－＝.
知识点1、2 特殊角的三角函数值及有关计算、由三角函数值求特殊角
(1)30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下：sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝.
(2)在0°～90°之间，锐角A的正弦值随角度的增大(减小)而增大(减小)，锐角A的余弦值随角度的增大(减小)而减小(增大)，锐角A的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小)．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)3tan60°的值为( D )
A. B.
C. D．3
2．(知识点1)(3分)下列各数中是有理数的是( D )
A. B．4π
C．sin45° D．
3．(知识点2)(3分)在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么下列关于△ABC的判断最准确的是( C )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是钝角三角形
4．(知识点2)(3分)已知α为锐角，sin(α－20°)＝，则α的度数为( D )
A．20° B．40°
C．60° D．80°
5．(知识点2)(3分)已知△ABC，若有|sinA－|与(tanB－)2互为相反数，则∠C的度数是90°．
6．(知识点1)(9分)求下列各式的值：
(1)cos245°＋tan60°·sin60°；
(2)－cos30°·tan30°；
(3)sin30°－cos245°＋tan230°＋sin260°－cos60°.
解：(1)原式＝()2＋×＝＋＝2. (2)原式＝－×＝－＝1. (3)原式＝－()2＋×()2＋()2－＝＋－＝.
7．(综合题)(6分)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°的三角尺的斜边与含30°的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题，如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝＝2，则EF＝AC＝2，∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝，∴AF＝AC－FC＝2－.
知识点1 用计算器求已知锐角三角函数值
(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按，，键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按键，就可以在显示屏上显示出结果；
(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助键计算，按键顺序是：(或、)、度数、分数、秒数.
知识点2 用计算器求已知三角函数值的对应角
如果是特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按键，将、、转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)利用计算器计算cos55°，按键顺序正确的是( C )
A.
B.
C.
D.
2．(知识点1)(3分)用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( B )
A．0.90 B．0.72
C．0.69 D．0.66
3．(知识点2)(3分)已知α为锐角，且tanα＝3.387，下列各值中与α最接近的是( A )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
4．(知识点2)(3分)为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A )
A.
B.
C.
D.
5．(知识点1)(3分)运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9(结果精确到0.1)．
6．(知识点2)(6分)根据三角函数值用计算器求锐角A的大小(结果精确到0.01°)．
(1)sinA＝0.9333；
(2)cosA＝0.8032.
解：(1)∠A≈68.96°. (2)∠A≈36.56°.
7．(综合题)(9分)已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
解：(1)∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴sin∠EBP＝＝sin40°，sin∠FBP＝＝sin20°.又∵sin40°>sin20°，∴>，∴PE>PF. (2)∵α，β都是锐角，且α>β，∵sinα>sinβ.又∵sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ，∴>，∴PE>PF.
