陕西省西安市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

西安市2019-2020学年高二上学期期末考试
数学（理）试题
一?选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若分别是平面，的法向量，且，则( )
A. B. 1 C. D. 2
4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
6.已知下列命题:
①到两定点，距离之和等于1点的轨迹为椭圆；
②，；
③已知，，则“为共线向量”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则( )
A. B. C. D. 1
9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A. 8 B. 11 C. 13 D. 16
11.在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二?填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，，若，则________.
14.命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.
15.在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为______．
16.双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则_______．
三?解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.
18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
19.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
20.如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.
(1)证明:平面平面MDC.
(2)若，求二面角的余弦值.
21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.
22.已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.
答案与解析
一?选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题.
2.准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由准线方程为，可以得到参数以及确定抛物线的标准方程形式为，将代入即可求解.
【详解】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y轴负半轴上，且，得，
故其标准方程为.
故选：C
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，根据准线方程可以得到抛物线标准方程的形式，属于基础题.
3.已知向量，，若分别是平面，的法向量，且，则( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解.
【详解】由题可知，，则，即.
故选：C
【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.
4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据渐近线方程得出，再由离心率公式求解即可.
【详解】由题可知，则.
故选：D
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求解即可.
【详解】，解得.
故选：A
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题.
6.已知下列命题:
①到两定点，距离之和等于1点的轨迹为椭圆；
②，；
③已知，，则“为共线向量”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可判断①；取特殊值，可判断②；利用向量共线定理以及充分不必要条件的定义可判断③
【详解】对于①，由于两定点，的距离为2，
故到两定点，的距离之和等于1的点是不存在的，故①错误.
对于②，取，满足，故②正确.
当为共线向量时，则存在实数，使得，
即，解得，则.
当时，不一定为共线向量，
故“为共线向量”是“”的充分不必要条件，故③错误.
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、特称命题真假判断以及充分不必要条件、向量共线定理，属于基础题.
7.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.
【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，
直线与抛物不相切，可得命题是假命题，
当时，，
方程表示椭圆
命题是真命题，
则是真命题.
故选:B.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.
8.如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法以及减法的几何意义即可求解.
【详解】，所以，，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量的加法以及减法的几何意义，属于基础题.
9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.
【详解】表示双曲线，则，所以
故选：A
【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.
10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A. 8 B. 11 C. 13 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；
【详解】抛物线中p＝3，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，
又线段AB中点M的横坐标为5，
∴＝10，
∴|AF|+|BF|＝13；
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
11.在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，直径为正方体的对角线，即可求出四面体的外接球的体积.
【详解】由题意计算可得，，，.
，，，
所以平面ABC，故四面体SABC是底面ABC为等腰直角三角形，
侧棱SC垂直底面ABC的几何体，所以四面体的外接球就是棱长为4的正方体的外接球，
其直径为正方体的对角线的长，半径为.
所以该四面体外接球的表面积.
故选：D
【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积，考查了向量的数量积在几何中的应用，解决此题还需熟记球的表面积公式，属于中档题.
12.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.
【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，
则，，.
又因为A，B在椭圆C上，所以，，
两式相减可得，即.
又点M在l上，故，解得，.
因为点M在椭圆C内部，所以，解得.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
二?填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量共线定理即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了向量共线定理，需熟记定理的内容，属于基础题.
14.命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得当时，恒成立，分离参数只需，由函数在上单调递增即可求解.
【详解】若“，使得”为假命题，
可得当时，恒成立，只需.
又函数在上单调递增，所以.
故答案：
【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.
15.在正方体中，，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，算出和的坐标，然后即可算出
【详解】
如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴
建立空间直角坐标系，令
则，，，
故，
所以
故异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
【点睛】求空间中的线线角、线面角、面面角常采用向量方法.
16.双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据双曲线的焦点三角形公式，求出三角形面积，然后求，把代入，求得，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.
【详解】设点，，则，，，又， ，如下图，过点P作x轴垂线，垂足为M，则有，所以，即， ，代入得， ，
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.
三?解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的性质得出方程即可；
（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.
【详解】解：（1）由题意知，，
所以，，所以
又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为
（2）双曲线E的标准方程为
由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以
又双曲线E过点，所以，解得，
所以双曲线E的标准方程为
【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.
18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；
（2）由必要不充分条件的定义得出(，讨论的取值结合包含关系得出的范围.
【详解】解：（1）因为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.
当时，不符合题意；
当时，则有，则.
综上，k的取值范围为.
（2）由，得.
由（1）知，当为真命题时，则
令令
因为p是q的必要不充分条件，所以(
当时，，，解得
当时，(，符合题意；
当时，(，符合题意；
所以取值范围是
【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
19.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的投影，P为侧棱SD的中点，且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OP，可得，利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积结合图形即可求解.
【详解】(1)证明:连接OP，因为O，P分别为BD和SD的中点，所以，
又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
(2)解:如图，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，
OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设，
则，，，，
则，，.
设平面PAC的一个法向量为，
则，，
所以，令，得，
所以
所以
故直线BC与平面PAC的夹角为.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及利用空间向量的数量积求线面角，是立体几何中的基本知识，属于基础题.
20.如图，几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体，这两个四棱锥的底面ABCD为正方形，，平面平面ABCD.
(1)证明:平面平面MDC.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意由面面垂直的性质可得平面MAD，即可证出，又，利用线面垂直的判定定理即可证出.
（2）以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，求出平面NAD的一个法向量以及平面MAD的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】(1)证明:因为平面平面ABCD，且相交于AD，又，
所以平面MAD
所以.
又，，
所以平面MDC.
因为平面MAB，所以平面平面MDC.
(2)解:以N为坐标原点，分别以NC，NB所在的直线为x，y轴，
过N作与平面NBC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，
所以，.
设平面NAD的一个法向量，则，
令，得.
又平面MAD的一个法向量
所以.
由图可知二面角为钝角，
所以所求二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、判定定理以及利用空间向量的数量积求二面角，属于基础题.
21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.
（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为，
因为准线过点，所以，即.
所以抛物线C的方程为.
(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.
当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，
过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.
设该切线方程为，
代入，可得.
由，得.
由，整理得，
又，解得，即.
因此，直线l方程为.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.
22.已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.
（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.
【详解】（1）解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.
又离心率，所以，则.
故椭圆C的方程为.
（2）证明：椭圆，
当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，
联立，得，即，
则.
当直线l的斜率存在时，设，
联立，得，
由，可得.
联立，得.
设，所以，
则.
因为原点到直线l的距离，
所以.
综上所述，面积为定值.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以与椭圆中弦长的计算及三角形面积公式的应用，属于中档题.