陕西省西安市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析

西安市2019-2020学年高二上学期期末考试
数学（文）试题
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：北师大版选修1-1.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知抛物线的方程为，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.若函数，则（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
6.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B. “”是“双曲线的离心率大于”的充要条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题
7.命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A. 8 B. 11 C. 13 D. 16
11.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
12.若函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若，则_______．
14.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则__________．
15.椭圆与x轴交于A，B两点，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为，，则________.
16.双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.
18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
19.已知为函数的导函数，且.
（1）求的值；
（2）求的单调区间与极值.
20.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点.
（1）证明：为定值.
（2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值.
21.已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C方程；
（2）设过点的直线l与椭圆C交于，两点，求的取值范围.
22.已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
答案与解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
存在量词改为全称量词，再否定结论，即可得到本题答案.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属基础题.
2.已知抛物线的方程为，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质求出焦点坐标.
【详解】抛物线方程化为标准方程为，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，且，所以.故抛物线的焦点坐标为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了由抛物线方程求焦点坐标，属于基础题.
3.若函数，则（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，再计算.
【详解】，.
故选：C
【点睛】本题主要考查了求某点出的导数值，属于基础题.
4.已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据渐近线方程得出，再由离心率公式求解即可.
【详解】由题可知，则.
故选：D
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
5.若抛物线上一点到其焦点F的距离为2p，则（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求解即可.
【详解】，解得.
故选：A
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于基础题.
6.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B. “”是“双曲线的离心率大于”的充要条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；
B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；
C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；
D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.
【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；
双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；
命题“，”的否定是“，”， 所以C选项不正确；
命题“在中，若，则是锐角三角形”， 在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.
故选：D
【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.
7.命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于命题为假命题，则它的逆否命题一定为真，得出其逆否命题，构造函数，利用单调性得出函数在的最小值，即可得到的取值范围.
【详解】若“，使得”为假命题，可得当时，恒成立只需又函数在上单调递增，所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查了原命题与逆否命题等价性的应用以及函数不等式恒成立问题，属于中档题.
8.已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题为假；当时，，命题为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.
【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，
直线与抛物不相切，可得命题是假命题，
当时，，
方程表示椭圆
命题是真命题，
则是真命题.
故选:B.
【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.
9.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据方程表示双曲线列出不等式，得出，再由充分不必要条件的定义得出答案.
【详解】表示双曲线，则，所以
故选：A
【点睛】本题主要考查了由方程表示双曲线求参数范围以及由充分不必要条件求参数范围，属于基础题.
10.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A. 8 B. 11 C. 13 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；
【详解】抛物线中p＝3，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，
又线段AB中点M的横坐标为5，
∴＝10，
∴|AF|+|BF|＝13；
故选：C.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
11.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.
【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，
因为，
所以.
因为，得，
所以，则.
故选：B.
【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.
12.若函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令，得出或，构造函数，利用导数得出单调性，结合图象确定的范围即可.
详解】
令，则或
令，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，结合的图象，可知.
并且此时的两个零点，则
故函数恰有3个零点，则a的取值范围
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若，则_______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据导数的定义，对比所求式子，即可求解.
【详解】.
故答案为:6.
【点睛】本题考查导数的定义，要注意函数值的变化量与自变量的变化量要对应，是解题的易错点，属于基础题.
14.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求原函数的导函数再利用导数的几何意义可得得解.
【详解】解：因为，
所以
由已知有
即，
故答案为.
【点睛】本题考查了导数的几何意义及两直线垂直的斜率运算，属基础题.
15.椭圆与x轴交于A，B两点，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质得出，，设，利用两点的斜率公式以及椭圆的方程化简，即可得出答案.
【详解】由题意可得，
设，则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求椭圆的顶点坐标以及两点的斜率公式，属于基础题.
16.双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由两直线垂直斜率的乘积等于，得出直线的斜率，由点到圆心的距离等于半径得出，再将，代入双曲线方程，两式相减，结合中点坐标公式化简得出，即可得出双曲线的方程.
【详解】设点，，直线l的斜率为k，则
所以，，即，则，.
两式相减，得
则，即，所以双曲线C的方程为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.
17.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.
（1）求椭圆C标准方程；
（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的性质得出方程即可；
（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出，将点代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程.
【详解】解：（1）由题意知，，
所以，，所以
又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为
（2）双曲线E的标准方程为
由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以
又双曲线E过点，所以，解得，
所以双曲线E的标准方程为
【点睛】本题主要考查了由求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题.
18.已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；
（2）由必要不充分条件的定义得出(，讨论的取值结合包含关系得出的范围.
【详解】解：（1）因为为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.
当时，不符合题意；
当时，则有，则.
综上，k的取值范围为.
（2）由，得.
由（1）知，当为真命题时，则
令令
因为p是q的必要不充分条件，所以(
当时，，，解得
当时，(，符合题意；
当时，(，符合题意；
所以的取值范围是
【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
19.已知为函数的导函数，且.
（1）求的值；
（2）求的单调区间与极值.
【答案】（1） （2）在上单调递减；在上单调递增；极小值为，无极大值.
【解析】
【分析】
（1）利用题设条件求出，再对求导，得出，代入即可得出的值；
（2）利用导数得出函数的单调性以及极值即可.
【详解】（1）解：（1）由，得.
因为，所以，解得.
（2）因为，则.
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增.
故在处取得极小值，极小值为，无极大值.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及极值，属于中档题.
20.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点.
（1）证明：为定值.
（2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值.
【答案】（1）证明见解析 （2）4
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的性质得出，设出直线AB的方程，并代入抛物线方程利用韦达定理即可证明；
（2）由抛物线的定义结合抛物线方程，得出，，由（1）得出，根据三角形面积公式计算即可得出结论.
【详解】（1）证明：，设直线AB的方程为，
联立，得，
故.
（2）解：由抛物线的定义，得，得，
则，所以.
由（1）知
故.
【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用以及抛物线中的三角形面积问题，属于中档题.
21.已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C方程；
（2）设过点的直线l与椭圆C交于，两点，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，联立方程组，求解即可得出椭圆的方程；
讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，当直线l的斜率为0时，，得出；
当直线l的斜率不为0时，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得出，的值，进而得出，换元令，得出，由二次函数的性质求出的取值范围.
【详解】解：（1）因为椭圆C经过点，所以，①
因为椭圆C的离心率为，所以，所以.②
由①②得，.
故椭圆C的方程为.
（2）①当直线l的斜率为0时，，所以.
②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为.
联立，整理得
则，
设，则，从而
因，所以，即
综上的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了利用离心率求椭圆方程以及韦达定理求参数的范围，属于中档题.
22.已知函数的图象在处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）求，由条件可得，得出关于的方程组，求解可得；
（2）令，注意，所以在具有单调性时，则方程无解，求，对分类讨论，求出单调区间，结合函数值的变化趋势，即可求得结论.
【详解】解：（1），
因为，所以，
解得，，所以.
（2）令，
则.
令，则在上单调递增.
当，即时，，
所以单调递增，又，所以；
当，即时，则存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，则.
当时，，所以在上有解.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题考查导数的几何意义求参数，考查导数的综合应用，涉及到单调区间、函数零点的问题，考查分类讨论思想，属于较难题.