沪教版数学八年级2019-2020学年度第二学期20.3一次函数的深度应用之二学案（含答案）

沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度八年级数学同步教学案
一次函数的深度应用之二

【知识梳理】
根据实际问题建立一次函数解析式的方法：
（1）找等量关系；
（2）把已知的条件代入，变化的两个量用变量x,y来表示；
（3）求定义域：既要根据解析式又要根据实际意义求定义域.
【典型类型讲解】
题型一：文字应用
【例1】某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现．如果月初售出，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%．但要付出仓储费700元，请问根据商场的资金状况如何购销获利较多？
【分析】设商场投资x元，要比较两种获利的多少，关键是用x的关系式把两种获利方法表示出来．
【答案】设商场投资x元，在月初售出获利元，在月末售出获利元．
则,
.
(1)当时．,∴x=20 000．
(2)当时．x>20 000.
(3)当时，x<20 000．
即当商场投资两万元时，两种销售方式获利一样多．
当商场投资大于两万元时，第二种销售方式获利多．
当商场投资小于两万元时，第一种销售方式获利多.
【例2】某面粉厂有工人20名，为获取更多利润，增设加工面条项目，用本厂生产的面粉加工成面条（生产1千克面条需用面粉l千克）．已知每人每天平均生产面粉600千克，或生产面条400千克．将面粉直接出售每千克可获利润0.2元，加工成面条后出售每干克面条可获利润0.6元，若每个工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人加工面条，
(1)求一天中加工面条所获利润为（元）；
(2)求一天中剩余面粉所获利润为（元）；
(3)当x为何值时，该厂一天中所获总利润y（元）最大？最大利润为多少元？
【分析】(1)由题意得.
(2)生产面粉的工人有（）人，一天共生产面粉量为（）600 kg．生产面条用去面粉400xkg,因此每天剩余面粉量应为600()－400x．售面粉获利；
(3)总利润=，注意题中隐含条件：400x≤600()．
【答案】(l)..
(2).
(3)由题意，得．又因生产面条的千克数不超过生产面粉的千克数，即400x≤600()，解得x≤l2．因为y=40x+2 400中y随着x的增大而增大．所以当x=12时，总利润y最大，此时y=40×12+2 400=2 880（元）．
【借题发挥】
1. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月资分为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种丁种的人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，使每月所付的工资最少？
【答案】设招聘甲种工种的工人为x人，则招聘乙种工种的工人为人.
由题意，得，解得x≤50，
∴0≤x≤50．设所聘请的工人共需付月工资为y元．
则.
∵，∴y随x的增大而减小，∴当时，
y有最小值，最小值为(元)．
.
故要使每月所付工资最少，应招聘甲种工人50人，乙种工人100人，这时所付月工资总额为130 000元．
2. 我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元价格不变，而制版费900元则六折优惠，且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份．
(1)分别求两个印刷厂的收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2 000份录取通知书,那么应当选择哪一个厂？需要多少费用？
【答案】(l) (x≥500．且x为整数）．
（x≥500，且x为整数）．
(2)解法一：若，则，所以x<1 200;
若，则．所以x=1 200;
若，则．所以x>1 200;
因为2 000>1 200．所以=1.2×2 000+900=3 300．
综上所述，
当500≤x<1 200份时，选择乙厂比较合算；
当x=1 200份时，两工厂的费用相同；
当x>1 200份时，选择甲厂比较合算．
所以要印制2 000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3 300元.


题型二：数形结合
【例3】某地区一种商品的需求量（万件）、供应量（万件）与价格x(元／件)分别近似满足下列函数关系式：．如图20-4-5所示，需求量为0时，即停止供应．当时，该商品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．
(1)求该商品的稳定价格与稳定需求量；
(2)价格在什么范围，该商品的需求量低于供应量？
(3)当需求量高于供应量时，政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量，现若要使稳定需求量增加4万件，政府应对每件商品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量？
【分析】(1)主要考查对稳定价格、稳定需求量的理解．由求出x即为稳定价格，把x代入或即为稳定需求量；(2)由图13-3-12知，当32【答案】(1)当时，有．
解这个方程，得x=32．此时．
所以，该商品的稳定价格为32元／件，稳定需求量为28万件．
(2)因为“需求量为0时，即停止供应”，所以，当时，有x=60.
又由图像，知x>32．
所以，当价格大于32元／件而小于60元／件时，该商品的需求量低于供应量．
(3)设政府部门对该商品每件应提供元补贴．根据题意，得
解得
所以，政府部门对该商品每件应提供6元的补贴．
【例4】有一个附有进水管和出水管的容器，每单位时间内进水、出水的量都是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水．不出水，在随后的8分钟内既进水，又出水，得到时间x（分钟）与容器内水量y（升）之间的关系如同20-4-3所示．
(1)问进水管每分钟进水多少升？
(2)当4≤x≤12时，求y关于x的函数关系式：
(3)如果12分钟后只放水，不进水，求y随x而变化的表达式.






【分析】因为从第4到第12分钟这8分钟内仅进水10升，而进水管实际进水40升，可知其中30升已通过出水管排水，所以可得出水管出水（升／分钟）．
【答案】(1)由图20-4-3可知，在第4分钟时，容器内有水20升，可知进水管进水5升/分
(2)由图20-4-3可知，当x=4时，y=20；当x=12时，y=30．
设当4≤x≤12时，，关于x的函数关系式为
则
解方程组，得
所以y关于x的函数关系式为:;
(3)因为出水管在单位时间内的排水量是一定的，所以了与x具有一次函数关系可求得出水管出水警=升／分钟，
设当x≥12时，y关于x的函数关系式为:.
由图20-4-3可知，当x=12时，y= 30．则:.
解方程，得．
因为30升水需分钟排完，所以y关于x的函数关系式为
(12≤x≤20)．
【借题发挥】
1. 某图书馆开设两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡．使用这两种方式租书，租书金额y（元）与租书时间x(天)之间的关系如图20-4-4所示，根据图中的信息回答下列问题：
(1)写出两种方式的租书金额y(元)与租书时间x（天）之间的函数关系式；
(2)求出两种租书方式下每天的收费分别是多少元；
(3)若两种卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选取这两种租书方式比较划算？
【答案】(1)设使用租书卡的金额（元）与时间x（天）的函数关系式为,
由图像可知：直线经过(100，50)．
所以，所以，即.
设使用会员卡的金额（元）与时间x（天）的函数关系式为.由图像可知：直线经过(0，20)，(100，50)．
所以，解得所以.
(2)由于使用租书卡每I00天收费50元，所以50÷l00=0.5（元／天）；由于使用会员卡每100天收费元，所以30÷100=0.3（元／天）．
(3)由图像可知：当x=100时，；当x>100时，在的上方，即；
当x<100时，在的下方，即.
故当时间为100天时，用两种卡一样划算；当时间在100天以内时，用租书卡划算；当时间在100天到一年时，用会员卡划算.



【随堂练习】
1.某人以60 km/h的速度驾驶汽车从A地出发，那么他行驶的距离y( km)和行驶的时间x(h)的函数关系式为_______________________.
2.小王带了5元去购买铅笔，铅笔每支售价0.22元，那么小王剩余的钱款数y（元）关于购买铅笔支数x的函数解析式是____________________.
3.一根蜡烛长20 cm，点燃后每一小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度 (cm)与燃烧时间t（小时）的函数关系式是__________________.
4.一水库蓄水，从开闸放水起，每小时放水那么水库蓄水量y()关于开闸时间t（时）的函数解析式是____________________.
5.如图，直角三角形ABC中，，BD是角平分线，且，那么y关于x的函数关系式是______________________.




【答案】
1.；
2.（x是整数，且）；
3.；
4.；
5..
6．声音在空气中传播速度y( m/s)是气温x(℃)的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速：
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（m/s） 331 334 337 340 343

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距多远？





【答案】（1）；（2）1721米.
7．某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元，成本为60元．由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5
米的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出．已知每处理1米污水的费用为2元，且每月排污设备损耗为8000元．设现在该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式；（纯利润=总收入一总支出）
(2)当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数．







【答案】（1）；（2）6000件.
8.为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明；假设
椅子的高度（不含靠背）为x( cm)，课桌的高度为y( cm)，则y应是x的一次函数，下
表列出两套符合条件的课桌椅的高度：

第一套 第二套
椅子高度x（cm） 41 44
桌子高度y（cm） 75 81

(1)试确定y与x之间的函数关系式；
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78. 2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．为什么？





【答案】（1）；（2）当时，，所以不配套.
9．某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．





【答案】（1）；
（2）当小时两池水深相等；
（3）当3小时时甲池水全部进入乙池，此时两池的水都在乙池，它的深度为4米，因此当两池水相等时，实际上乙池的水深为2米，所以.
【课堂总结】






【课后作业】
一、基础复习巩固
填空题：
1．已知一次函数.则k=________________．
2．直线与直线相交于y轴，且与直线平行，则直线的解析式为____________________．
3．对于一次函数,当x=___________时，图像在x轴下方.
4．一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形面积是______________.
5．已知一次函数的图像不经过第二象限，则正比例函数必定经过第__________象限.
6．若直线和直线的交点坐标为(m，8)，则____________．
7．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_______________立方米．
【答案】
1. ；
2.；
3.；
4.4；
5.一，三；
6.16；
7.13.
选择题：
8．下列函数中，y随x的增大而减小的有 ( )
①②⑧④
A. 1个 B．2个 C．3个 I）．4个
9．已知一次函数的图像如图所示，则 ( )
A．k>0，b>0
B．k<0，b<0
C．k>0，b<0
D．k<0，b>0
10．弹簧的长度ycm与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图像如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是 ( )
A. 9cm B.l0cm C.10.5cm D. 11cm






11．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 ( )
A．2.5米 B．2米 C．1.5米 D. 1米


12．已知函数，当一1 A． C．≤y< D．13．已知一次函数，当x增加3时，函数值减小2，则k的值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D;D;B;C;C;A.
14．某移动公司为用户提供两种资费方式拨打市话．甲：拨打和接听市话0. 40元/min，但
每月要交50元月租费；乙：拨打和接听市话0.60元/min，不收月租费．
(l)分别写出两种资费方式下的费用y（元）与拨打或接听电话时间t(min)之间的关系式：
(2)在同一直角坐标系中画出它们的图像；
(3)若某人每月需使用手机通话200min,选择哪种付费方式能合算一些？若某人计划每月花费160元手机话费，选择哪种付费方式能多使用一些时间？



【答案】（1）；（2）略；（3）当时，，因此选择乙；当时，元，因此选择甲.
15．某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期投资200万元，每生产1台这种新家电后期还需其他投资0.3万元，已知每台新家电可实现产值0.5万元.
(1)分别求总投资(万元）和总利润（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式；
(2)当新家电的总产量为900台时，该公司的盈利情况如何？
(3)请你利用第一小题中与x的函数关系式分析该公司的盈亏情况.
（注：总投资=前期投资+后期投资。总利润=总产值一总投资）





【答案】（1）；
（2）当时，，因此亏损20万元；
（3）当时盈利，当时持平，当时亏损.
16．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为t（分）, 、与t之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了_______________吨油；将这些油全部加给运输飞机需___________钟；
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量（吨）与时间t（分）的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？说明理由



【答案】（1）30吨，10分钟；（2）；（3）运输机每小时的耗油量为（吨），因此10小时的耗油量为（吨）<69吨，因此够用.
17．教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的，两个放水管同时打开
时，他们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：








(1)求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）(x≥2)的函数关系式；
(2)如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？
(3)按(2)的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？



【答案】（1）；
（2）当时，
（3）时，人.