立体几何垂直证明问题的解答方法（Word版 学案 练习无答案）
文档属性
| 名称 | 立体几何垂直证明问题的解答方法（Word版 学案 练习无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-24 12:47:26 | ||
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文档简介
立体几何垂直证明问题的解答方法
纵观近几年高考试题，立体几何大题的第一小题都是立体几何的证明问题，从题型来看主要涉及到平行证明或垂直证明两个考试内容。在这里着重针对垂直证明问题加以探导，垂直证明问题归纳起来主要包括：①线面垂直的证明问题；②线线垂直的证明问题；③面面垂直的证明问题等几种类型。各种类型问题结构具有各自的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答立体几何垂直证明问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列命题中正确的个数是（ ）
①如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l⊥；②如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l⊥；③如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直。
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对①，若平面内的无数条直线相互平行，则不能得到l⊥，①错误；对②，根据直线垂直平面的判定定理可知，l⊥不成立，②错误；对③，由①，②可知，命题是假命题，③错误；对④，由①可知，命题是真命题，④正确，选B。
2、如图所示，PA⊥O所在的平面，AB是O的 P
直径，C是O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于 F E
F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB； C
③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC。其中正确命题的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3 A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂
直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对①， PA⊥O所在的平面，BCO所在的平面，PABC， AB是O的直径，C是O上的一点，ACBC， PA，AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC，①正确；对②，由①知BC⊥平面PAC， AF平面PAC，AFBC， AFPC， PC，BC平面PBC，PC BC=C， AF⊥平面PBC，②正确；对③，由②知，AF⊥平面PBC，P B平面PBC，AFPB， AEPB， AE，AF平面AEF，AE AF=A， PB⊥平面AEF， EF平面AEF，EFPB，③正确；对④，条件中只有 AEPB，无法证明AE⊥平面PBC， ④错误，选D。
3、在正方体ABCD—中，以下结论不正确的是（ ）
A AB⊥平面BC B AC⊥平面CD C AC⊥平面BDD C⊥平面A
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法；④正方体的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，结合正方体的性质，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对A，B⊥平面ABCD， AB平面ABCD，ABB， ABBC， BC，B平面BC，BC B=B， AB⊥平面BC，A正确；对B，C⊥平面ABCD， AC平面ABCD，ACC，不能证明 AC⊥平面CDB错误，选B。
4、如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC， A D
CD的中点，G是EF的中点，沿AE，EF，AF把这
个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于 F
一点P，下面有5个结论：①PA⊥平面PEF；②AG⊥ G
平面PEF；③PF⊥平面AEF；④EF⊥平面PAG；⑤PG
⊥平面AEF。其中正确的是（ ） B E C
A ①③ B ②⑤ C ①④ D ②④
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法；④正方形的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，结合正方形的性质，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。 P
【详细解答】对①，如图连接PG，四边形ABCD
是正方形，E，F分别是BC，CD的中点，PA⊥PE，
P A⊥PF，PE，PF平面PEF，PE PF=P， PA F
⊥平面PEF, ①正确；可以排除B，D，对③，从条 A G
件看PF与平面AEF内的直线没有垂直关系，不能证明
PF⊥平面AEF，③错误；可以排除A，选C。 E
5、求证：过一点与已知平面垂直的直线只有一条；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③反证法的基本方法。
【解题思路】运用反证法的基本方法就可证明结论。 A
【详细解答】如图，给定平面和定点A，假设过定点
A垂直平面的直线有两条，AB，AC，垂足分别为B，
C，AB⊥平面， AC⊥平面，BC平面， B C
AB⊥BC ,AC⊥BC, BC平面ABC，在平面ABC
内过点A有AB，AC两条直线与直线BC垂直，与平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理相矛盾，过点A与平面垂直的直线只有一条。 A
6、如图有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有
一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在
地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D， B D
如果这两点都和旗杆脚的距离是6m，那么旗杆就和 C
地面垂直，为什么？
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③勾股定理逆定理及运用。
【解题思路】运用勾股定理逆定理可证AB⊥BC , AB⊥BD ,利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】如图， AB=8m，AC=10m，BC=6m，+=64+36=100=，
AB⊥BC ,同理可证 AB⊥BD , BC，BD平面，BC BD=B， AB⊥平面。
D
7、如图已知和都是以D为直角顶点
的直角三角形，且AD=BD=CD，。
（1）求证：BD⊥平面ADC； A C
（2）若M是BC的中点，求证：BC⊥平面AMD。 M
【解析】 B
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③直角三角形的定义与性质；④全等三角形的性质与判定；⑤等边三角形的定义与性质。
【解题思路】（1）运用全等三角形判定定理和方法，结合条件可证，得到AC=AB=BC，从而证明BDC，得到CD⊥BD ,利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论；（2）运用等腰三角形和等边三角形的性质，结合问题条件证明BC⊥AM , BC⊥DM , 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，和都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，，AC=AB，， AC=AB=BC，
BDC， CD⊥BD , AD⊥BD , AD，CD平面ACD，AD CD=D， BD⊥平面ACD；（2）BD=CD，M是BC的中点， BC⊥DM ,同理可证BC⊥AM , AM，DM平面ADM，AMDM=M， BC⊥平面ADM。
8、如图AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③圆的定义与性质；④三角形重心的定义与性质；⑤三角形中位线的定义与性质；⑥直线平行平面判定的基本方法；⑦平面平行平面判定的基本方法。
【解题思路】（1）运用直线垂直平面和圆的性质，结合问题条件可证BC⊥AM , BC⊥DM , 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论；（2）连接OG并延长交AC于M ，连接QM，QO，运用三角形中位线的性质可证QM//PC，得到QM//平面PBC，同理可证QO//平面PBC，从而证明平面QMO//平面PBC, 利用 P
平面平行平面的性质就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，PA⊥O所在的平面， Q
BCO所在的平面，PABC， AB是O
的直径，C是O上的一点，ACBC， PA， A B
AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC； M C
（2）连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO， G为AOC的重心，Q为PA的中点，
QM//PC，QM平面PBC，PC平面PBC，QM//平面PBC，同理可证OM//平面PBC，
QM，OM平面QOM，QMOM=M， 平面QOM//平面PBC， QG平面QOM，QG//平面PBC。
9、如图已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形， P
M、N分别是AB、PC的中点。
（1）求证：MN⊥CD； E
（2）若PDA=，求证：MN⊥平面PCD。 N
【解析】 M A D
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线 B C
垂直平面判定的基本方法；③矩形的定义与性质；④三角形中位线的定义与性质。
【解题思路】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，运用三角形中位线的性质，结合问题条件可证四边形MNEA是平行四边形，得到AE//MN，根据直线垂直平面判定定理和判定方法证明CD⊥平面PAD ,得到CD⊥AE,由AE//MN就可证明结论；（2）由（1）知AE//MN，就好问题条件可证MN⊥PD, 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，E，N分别是PD，PC的中点，
NE//CD，NE=CD，且四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，NE//AM，NE=AM，
四边形MNEA是平行四边形，MN//AE， PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
PA⊥CD，四边形ABCD是矩形， AD⊥CD， PA，AD平面PAD，PAAD=A，
CD⊥平面PAD， CD⊥AE， MN//AE， CD⊥MN；（2） PA⊥AD，PDA=，
PA=AD，E是PD的中点， PD⊥AE， MN//AE， PD⊥MN， CD⊥MN，PD，CD平面PCD，PDCD=D，MN⊥平面PCD。
『思考问题1』
(1) 【典例1】是证明直线垂直平面的问题，解答这类问题应该根据问题的条件，选择恰当
的方法；证明直线垂直平面的常用方法有：①直线垂直平面的定义；②直线垂直平面的判定定理；③运用平行线垂直平面的传递性；④运用平面平行平面的性质2；⑤运用平面垂直平面的性质1； ⑥运用平面垂直平面的性质3；
（2）运用直线垂直平面的定义证明，一般采用反证法法；
（3）运用直线垂直平面的判定定理证明的基本方法是：①在平面内找两条相交直线；②证明直线与这两条相交直线分别垂直；③得出结论；
（4）运用平行线垂直平面的传递性证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两条直线平行；②证明其中一条直线垂直平面；③得出结论；
（5）运用平面平行平面的性质2证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面平行；②证明直线与其中的一个平面垂直；③得出结论；
（6）运用平面垂直平面的性质定理1证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面垂直，②在一个平面内找一条直线证明它与两个平面的交线垂直；③得出结论；
（7）运用平面垂直平面的性质定理3证明直线垂直平面的基本方法是：①找到以直线为交线的两个相交的平面；②分别证明这两个平面与第三个平面垂直；③得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、 给出下列条件（其中l和a是直线，为平面）①l垂直内凸五边形的两条边；②l
垂直内三条都不平行的直线；③l垂直内无数条直线；④l垂直内正六边形的三条边；⑤l垂直，a垂直。其中可以得到“l垂直”的条件的所有序号是（ ）
A ①②④ B ②③ C ①④ D ②④
2、如图所示，已知AP⊥O所在的平面，AB P
是O的直径，C是圆上的任意一点，过点A
作AE⊥PC于点E，则AE与平面PBC的关系为 A B
； C
3、拿一张矩形纸对折后略为展开，竖立在桌面上，则折痕垂直于桌面，为什么？
4、如果三条直线共点，且两两垂直，求证：其中的一条直线垂直于另两条直线确定的平面。
5、如图已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形， P
AB//CD，ABC=，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，
PA=1。 M
（1）求证：AB//平面PCD； A B
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥M—ACD的体积。 D C
【典例2】按要求解答下列各题：
1、在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A 相交 B 平行 C 异面 D 相交或平行
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②圆柱的定义与性质。
【解题思路】运用圆柱的性质和直线垂直平面的性质，结合问题条件就可作出选择。
【详细解答】垂线垂直另一个底面，圆柱的母线也垂直另一个底面，该条垂线平行圆柱的母线，B正确，选B。
2、如图所示，在ABC中，ACB=，直线 P
L过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P A C
逐渐远离点A时，PCB的大小（ ） l B
A 变大 B 变小 C 不变 D 有时变大有时变小
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可知BC⊥平面PAC，得到BCP=，当点P远离点A时，BCP=不变，这样就可作出选择。
【详细解答】直线L过点A且垂直于平面ABC，BC平面ABC，PABC，ACB=，PA，AC平面PAC，PAAC=A， BC⊥平面PAC, BC⊥PC，BCP=，当点P远离点A时，BCP=不变， C正确，选C。
3、PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是（ ）
A PA⊥BC B BC⊥平面PAC C AC⊥PB D PC⊥BC
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②圆的定义与性质；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理，可知PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可证BC⊥平面PAC，从而得到PC⊥BC，这样就可作出选择。
【详细解答】如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在， P
的平面， BCO所在的平面，PABC，A正确；
C为圆上异于A，B的任意一点，ACBC， PA，
AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC， PC
平面PAC，PCBC，B，D正确，C错误， A B
选C。 C
4、如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平 S F
面ABCD，过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥ D C
SC，交SC于F，则AF与SC的关系为（ ） E
A 垂直 B 相交但不垂直
C 异面 D 以上均不正确 A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理可证SA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件得到BC⊥平面SAB，进一步得出BC⊥AE，从而结合问题条件证明AE⊥平面SBC，得到AE⊥SC，利用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证明SC⊥平面AEF，这样就可作出选择。
【详细解答】SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SABC，ABCD是矩形， AB
BC， SA，AB平面SAB，SA AB=A， BC⊥平面SAB, AE平面SAB， AEBC， AESB， SB，BC平面SBC，SB BC=B， AE⊥平面SBC, SC平面SBC， AESC， AFSC， AE，AF平面AEF，AEAF=A， SC⊥平面AEF, EF平面AEF， EFSC，A正确，选A。
5、如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列 D C
推断不正确的是（ ）
A BC⊥平面PAB B AD⊥PC
C AD⊥平面PBC D PB⊥平面ADC A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理可证PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件得到BC⊥平面PAB，进一步得出BC⊥AD，从而结合问题条件证明AD⊥平面PBC，得到AD⊥PC，这样就可作出选择。
【详细解答】 PA⊥平面ABC，BC平面ABC， PA⊥BC， AB⊥BC，PA，AB平面PAB，PA AB=A， BC⊥平面PAB, A正确； BC⊥平面PAB, AD平面PAB，
AD⊥BC， PA=AB，D为PB的中点， AD⊥PB， PB，BC平面PBC，PB BC=B， AD⊥平面PBC, AD⊥PC, B，C正确；D错误，选D。
6、如图已知直线l⊥平面，垂足为A，直线 AP⊥l。
求证：AP在内；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法；④反证法的基本方法。
【解题思路】运用反证法，假设AP平面，设AP，结合条件可证平面平面=AB，得到AB⊥l,从而证明l⊥平面，得出与垂直公理矛盾的结果，于是假设不成立，这样结论得证。
【详细解答】如图，假设AP平面，设AP， l
A平面，平面平面=AB， l⊥平面， P
l⊥BC；AB平面， l⊥AB， l⊥AP，PA， A B
AB平面平面，PA AB=A， l⊥平面, 过点A的直线l同时垂直平面，平面，与垂直公理矛盾，假设不成立， AP在内。
7、已知，直线l⊥AB，l⊥AC，
求证：l⊥BC；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证l⊥平面ABC，根据直线垂直平面性质定理就可证明结论。
【详细解答】如图， l⊥AB，l⊥AC，AB，AC l C
平面ABC，，A C AB=A， l⊥平面ABC，
BC平面ABC， l⊥BC。 A B
8、如图已知PA⊥O所在的平面，AB是O p
的直径，C是O上任意一点，过点A作AE⊥PC
于E。 E
求证：AE⊥平面PBC；
【解析】 A B
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；；②直线
垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法； C
④圆的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理，可知PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可证BC⊥平面PAC，得到AE⊥BC，利用直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件就可证明结论。
【详细解答】如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， BCO所在的平面，PABC，C为圆上异于A，B的任意一点，ACBC， PA，AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC， AE平面PAC，AEBC， AEPC，PC，BC平面PBC，PC BC=C， AE⊥平面PBC。
9、如图已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再通过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F。
（1）求证：AF⊥SC； S
（2）若SD∩平面AEF=G，求证：AG⊥SD。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线 F
垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基
本方法。 D E C
【解题思路】（1）运用直线垂直平面性质定理可证SA⊥
BC， 根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题A B
条件得到BC⊥平面SAB，进一步得出BC⊥AE，从而结合问题条件证明AE⊥平面SBC，得
到AE⊥SC，利用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证明SC⊥平面AEF，于是证明结论；（2）由（1）AG⊥SC,运用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证CD⊥平面SAD，得到CD⊥AG，利用直线垂直平面判定定理和判定方法证明AG⊥平面SCD，从而证明结论。
【详细解答】（1）SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SABC，ABCD是矩形， ABBC， SA，AB平面SAB，SA AB=A， BC⊥平面SAB, AE平面SAB， AEBC， AESB， SB，BC平面SBC，SB BC=B， AE⊥平面SBC, SC平面SBC， AESC， EFSC， AE，EF平面AEF，AEEF=E， SC⊥平面AEF, AF平面AEF， AFSC；（2）SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，SACD，ABCD是矩形， ADCD， SA，AD平面SAD，SA AD=A， CD⊥平面SAD, AG平面SAD， AGCD， SC⊥平面AEF, AG平面AEF， AGSC ， SC，CD平面SCD，SC CD=C， AG⊥平面SCD, SD平面SCD， AGSD 。
10、如图在直三棱柱ABC--中， A D C
=，B⊥A. B
求证：B⊥C。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法；④直三棱柱的定义与性质。
【解题思路】分别取AB，的中点D，，连接CD，，A，D，运用直三棱柱的性质可证A⊥平面,得到A⊥，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件证明⊥平面AB,得出⊥B，CD⊥B，从而可证B⊥平面A，得到B⊥A,由作图，结合问题条件可证四边形AD是平行四边形，得到A//D，推出B⊥D，利用直线垂直平面判定定理和判定方法证明B⊥平面CD，根据直线垂直平面性质就可证明结论。
【详细解答】分别取AB，的中点D，，连接CD，，A，D， ABC--是直三棱柱， A⊥平面, A⊥，=，是的中点， ⊥， A ，平面AB， A = ， ⊥平面AB， B⊥，B⊥CD，B⊥A，A，平面A，A = ， B ⊥平面A，B ⊥A， D，分别是AB，的中点，AD//，AD=， 四边形AD是平行四边形，A//D，
B ⊥D，B⊥CD，D，CD 平面CD，CD D =D， B ⊥平面CD， C平面CD，BC。
『思考问题2』
（1）【典例2】是证明线线垂直的问题，解答这类问题一般是运用直线垂直平面的性质，先证明一条直线垂直另一条直线所在的平面，再运用直线垂直平面的性质证明两直线垂直；
（2）证明直线垂直直线问题时选择证明哪一条直线垂直剩下的一条直线所在的平面（也就是哪一个平面）是解答问题的关键，针对实际问题应该根据条件作出恰当地选择。
〔练习2〕解答下列问题：
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A 垂直 B 平行 C 相交但不存在 D 不确定
2、教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线（ ）
A 平行 B 相交 C 异面 D 垂直
3、如图所示，三棱柱ABC—中，点
在平面ABC内的投影D在AC上，ACB=，
BC=1，AC=C=2，则A与B的位置关系是（ ） D C B
A 相交 B 相交垂直 C 平行 D 异面垂直 A
4、已知空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，求证：BC⊥AD； E
5、如图已知∩=CD，EA⊥，垂足为A，
EB⊥，垂足为B。 A B
求证：CD⊥AB。 P
6、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N
分别是AB，PC的中点。 N
求证：MN⊥CD。 A D
B M C
【典例3】解答下列问题： C B D
1、已知菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，
沿对角线AC将菱形折起，如图所示，则下列命题 E C E B
中正确的是（ ） D A A
A 平面ABC⊥平面ABD B 平面ABD⊥平面BDC C 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用平面垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件，利用命题真假判断的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AC，AB=BC，E是AC的中点，
BE⊥AC， BE，DE 平面BDE，BEDE =E， AC ⊥平面BDE， AC平面ABC，AC平面ACD，平面ABC平面BDE，平面ACD平面BDE，C正确，选C。
2、，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥。以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题为 ；
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用平面垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件，就可写出正确命题。
【详细解答】如图， n⊥，AB平面， A
n⊥AB， m⊥n， m，AB 平面，AB
m =B， m ⊥平面， m 平面， n B m
⊥，正确命题是：若m⊥n，n⊥，m⊥，则⊥。
3、如图为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE, E
且CE=2BD=CA，M是EA的中点。
（1）求证：DE=DA； N D
（2）求证：平面BDM⊥平面ECA； M
（3）求证：平面DEA⊥平面ECA. C B
【解析】 F
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面 A
垂直平面判定的基本方法；③正三角形的定义与性质；④等腰三角形的定义与性质；⑤全等三角形判定定理及运用；⑥全等三角形判定的基本方法。
【解题思路】（1）取CE的中点N，连接DN，AD，运用问题条件可证四边形CBDN是矩形，得到DN=BC，利用正三角形的性质，全等三角形判定定理和判定基本方法，结合问题条件，证明ENDDBA，从而证明结论；（2）取AC的中点F，连接MF，BF，运用直线垂直平面判定定理和基本方法，结合问题条件可证DM⊥平面ECA,根据平面垂直平面判定定理和基本方法就可证明结论；（3）由（2）利用平面垂直平面判定定理和基本方法可证明结论。
【详细解答】（1）如图，取CE的中点N，连接DN，AD，CE=2BD，N是EA的中点，BD∥CE, EC⊥平面ABC， CN=BD，四边形BCND是矩形，BC=DN，为正三角形，AB=DN，ENDDBA， DE=DA；（2）取AC的中点F，连接MF，BF，
DA=DE，M是AE的中点， DM⊥AE， EC⊥平面ABC，BF 平面ABC， CE⊥BF，M，F分别是AE，AC的中点，CE=2BD，MF//BD，MF=BD，四边形BDMF是平行四边形，DM//BF， CE⊥DM，AE，CE 平面ECA，AECE =E， DM ⊥平面ECA， DM平面BDM，平面BDM⊥平面ECA；（3） DM ⊥平面ECA， DM平面DEA，平面DEA⊥平面ECA。 S
4、如图过S引三条长度相等且不共面的线
段SA、SB、SC，且，
。 B D C
求证：平面ABC⊥平面BSC；
【解析】 A
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤全等三角形的定义与性质；⑥全等三角形判定的基本方法；⑦等腰直角三角形的定义与性质；⑧勾股定理逆定理及运用。
【解题思路】如图，取BC的中点D，连接SD，AD，运用全等三角形判定定理和判定方法，结合问题条件可证SABSAC，得到AB=AC，利用等腰直角三角形的性质，结合问题条件，证明+=，推出SD⊥AD，利用直线垂直平面判定定理和基本方法，结合问题条件可证SD⊥平面ABC,根据平面垂直平面判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】如图取BC的中点D，连接SD，AD， SA=SB=SC，，SABSAC，AB=AC=SA，SB=SC，，D是BC的中点，SD
=SA，SD⊥BC，同理可证AD=SA，+=+=，SDA=， SD⊥AD，AD，BC 平面ABC，ADBC =D， SD ⊥平面ABC， SD平面SBC，平面ABC⊥平面SBC。
5、如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形， P
PA=DA=a,M、N分别是AB、PC的中点。 N
（1）求证：平面MND⊥平面PCD； F
（2）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小。 D C
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定 A M B
理及运用；④矩形的定义与性质；⑤三角形中位线的定义与性质；⑥二面角的定义与确定方法；⑦求二面角大小的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，运用三角形中位线的性质，结合问题条件可证四边形AENM是矩形，得到AE//MN，AE⊥NE，根据直线垂直平面判定定理和判定基本方法，结合问题条件，证明AE⊥平面PCD，推出MN⊥平面PCD，利用平面垂直平面判定定理和基本方法，就可证明结论；（2）由问题条件可知PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，设PA=AD=a=1，根据条件证明AE=DE=PD=，求出cosPDA的值，从而求出PDA的大小。
【详细解答】（1）如图取取PD的中点E，连接AE，NE，E，N分别是PD，PC的中点，
EN//CD，EN=CD，四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，EN//AM，EN=AM，四边形AENM是矩形， AE//MN，AE⊥NE， PA=DA=a,F是PD的中点， AE⊥PD，
PD，EN 平面PCD，PDEN =E， AE ⊥平面PCD， MN ⊥平面PCD， MN平面MND，平面MND⊥平面PCD；（2） PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， PA⊥CD，四边形ABCD是矩形， AD⊥CD，PA，AD 平面PAD，PAAD =A， CD ⊥平面PAD， PD平面PAD， PD⊥CD，PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，设PA=AD=a=1， PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，PA=AD，AE=DE
=PD=，cosPDA==，PDA=。
6、如图在四棱锥P—ABCD中，AB//CD，CD=2AB，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E、F分别是CD和PC的中点，求证： P
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE//平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD。 F
【解析】 A D
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及 B E
运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤直线平行平 C
面判定定理及运用，⑥直线平行平面判定的基本方法；⑦三角形中位线的定义与性质。
【解题思路】（1）运用平面垂直平面的性质，就可证明结论；（2）运用三角形中位线的性质可知四边形ABED是平行四边形，得到BE//AD，根据直线平行平面判定定理和判定基本方法就可证明结论；（3）由（2），结合问题条件证明四边形ABED是矩形，得到CD⊥BE，根据直线垂直平面判定定理和判定基本方法证明，结合问题条件可证CD⊥平面BEF，利用平面垂直平面判定定理和判定基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PA⊥AD， PA⊥底面ABCD；（2） AB//CD，CD=2AB，E是CD的中点，AB//DE，AB=DE，四边形ABED是平行四边形，BE//AD，BE平面PAD，AD平面PAD， BE//平面PAD；（3）四边形ABED是平行四边形，AB⊥AD，四边形ABED是矩形， CD⊥AD， PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， CD⊥PA，PA，AD 平面PAD，ADPA =A， CD ⊥平面PAD， CD⊥PD， E，F分别是CD和PC的中点，EF//PD， CD⊥EF，EF，BE 平面BEF，EFBE =E， CD ⊥平面BEF， CD平面PCD，平面BEF⊥平面PCD。
7、如图在直三棱柱ABC—中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证： B//.CD；
（2）求证：平面CD⊥平面AB。
【解析】 E
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理 A C
及运用；④直三棱柱的定义与性质；⑤等腰三角形的
等腰与性质。 D B
【解题思路】（1）如图，连接A交C于点E，连接DE，运用直三棱柱的性质，结合问题条件可证DE//BC，根据直线平行平面判定定理和判定基本方法就可证明结论；（2）由问题条件可证CD⊥AB，CD⊥A，运用直线垂直平面判定定理和判定基本方法证明CD ⊥平面AB，利用平面垂直平面判定定理和判定基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）连接A交C于点E，连接DE， ABC—是直三棱柱，D，E分别是AB，A的中点，DE//B，B平面CD，DE平面CD， B //平面CD；（2） AC=BC，D是AB的中点， CD⊥AB， ABC—是直三棱柱， A⊥平面ABC， CD⊥A，AB，A平面AB，AB A =A， CD ⊥平面AB， CD平面CD，平面CD⊥平面AB。
『思考问题3』
（1）【典例3】是证明平面垂直平面的问题，解答这类一般运用证明平面垂直平面的基本方法，证明平面垂直平面的基本方法是：①平面垂直平面的定义；②平面垂直平面的判定定理；
（2）运用平面垂直平面的定义证明平面垂直平面的基本方法是：①确定两个平面所成角的 平面角；②证明这个角是直角；③得出结论；
（3）运用平面垂直平面的判定定理证明平面垂直平面的基本方法是：①在一个平面内确定一条直线；②证明这条直线垂直另一个平面；③得出结论；
（4）针对实际问题，是在哪一个平面内确定一条直线证明它与另一个平面垂直是解答这类问题的关键，解答问题时应该根据问题的条件作出恰当的选择。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB,
BCD=，BAD=，将ABD沿BD折 A D
起，时平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，
则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是（ ） B C
A 平面ABD⊥平面ABC B 平面ADC⊥平面BDC
C 平面ABC⊥平面BDC D 平面ADC⊥平面ABC
2、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长 P
为a的正方形，侧棱PA=a，PB=a，则它的五个 P
面中，互相垂直的面是 ； D C
3、如图所示，已知ABC中，ABC=，P A C A B
是ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，则面PA B (2题图)
C与面ABC （“垂直”或“不垂直”填写其中一个）（3题图）
4、如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD, P
四边形ABCD是边长为a的正方形，且PA=AB，
E是AB的中点。 D C
求证：平面PCE⊥平面PCD.
A E B
S
5、如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD
是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD。 D C
求证：平面SCD⊥平面SBC。
A B
6、如图已知三棱柱ABC—中，侧棱垂直于底面，，AC=BC= A，D是棱A的中点。
（1）证明：平面BD⊥平面BDC；
（2）平面BD分此棱柱为两部分，求这两部分体积之比（2012全国高考新课标卷）
7、如图AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C—PB—A的余弦值（2013全国高考辽宁卷）
O
G O
E
O
O
O
纵观近几年高考试题，立体几何大题的第一小题都是立体几何的证明问题，从题型来看主要涉及到平行证明或垂直证明两个考试内容。在这里着重针对垂直证明问题加以探导，垂直证明问题归纳起来主要包括：①线面垂直的证明问题；②线线垂直的证明问题；③面面垂直的证明问题等几种类型。各种类型问题结构具有各自的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答立体几何垂直证明问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列命题中正确的个数是（ ）
①如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l⊥；②如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l⊥；③如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直。
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对①，若平面内的无数条直线相互平行，则不能得到l⊥，①错误；对②，根据直线垂直平面的判定定理可知，l⊥不成立，②错误；对③，由①，②可知，命题是假命题，③错误；对④，由①可知，命题是真命题，④正确，选B。
2、如图所示，PA⊥O所在的平面，AB是O的 P
直径，C是O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于 F E
F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB； C
③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC。其中正确命题的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3 A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂
直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对①， PA⊥O所在的平面，BCO所在的平面，PABC， AB是O的直径，C是O上的一点，ACBC， PA，AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC，①正确；对②，由①知BC⊥平面PAC， AF平面PAC，AFBC， AFPC， PC，BC平面PBC，PC BC=C， AF⊥平面PBC，②正确；对③，由②知，AF⊥平面PBC，P B平面PBC，AFPB， AEPB， AE，AF平面AEF，AE AF=A， PB⊥平面AEF， EF平面AEF，EFPB，③正确；对④，条件中只有 AEPB，无法证明AE⊥平面PBC， ④错误，选D。
3、在正方体ABCD—中，以下结论不正确的是（ ）
A AB⊥平面BC B AC⊥平面CD C AC⊥平面BDD C⊥平面A
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法；④正方体的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，结合正方体的性质，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。
【详细解答】对A，B⊥平面ABCD， AB平面ABCD，ABB， ABBC， BC，B平面BC，BC B=B， AB⊥平面BC，A正确；对B，C⊥平面ABCD， AC平面ABCD，ACC，不能证明 AC⊥平面CDB错误，选B。
4、如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC， A D
CD的中点，G是EF的中点，沿AE，EF，AF把这
个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于 F
一点P，下面有5个结论：①PA⊥平面PEF；②AG⊥ G
平面PEF；③PF⊥平面AEF；④EF⊥平面PAG；⑤PG
⊥平面AEF。其中正确的是（ ） B E C
A ①③ B ②⑤ C ①④ D ②④
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③命题真假判断的基本方法；④正方形的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定的基本方法，结合正方形的性质，对各命题的真假分别进行判断，从而得出选项。 P
【详细解答】对①，如图连接PG，四边形ABCD
是正方形，E，F分别是BC，CD的中点，PA⊥PE，
P A⊥PF，PE，PF平面PEF，PE PF=P， PA F
⊥平面PEF, ①正确；可以排除B，D，对③，从条 A G
件看PF与平面AEF内的直线没有垂直关系，不能证明
PF⊥平面AEF，③错误；可以排除A，选C。 E
5、求证：过一点与已知平面垂直的直线只有一条；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③反证法的基本方法。
【解题思路】运用反证法的基本方法就可证明结论。 A
【详细解答】如图，给定平面和定点A，假设过定点
A垂直平面的直线有两条，AB，AC，垂足分别为B，
C，AB⊥平面， AC⊥平面，BC平面， B C
AB⊥BC ,AC⊥BC, BC平面ABC，在平面ABC
内过点A有AB，AC两条直线与直线BC垂直，与平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理相矛盾，过点A与平面垂直的直线只有一条。 A
6、如图有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有
一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在
地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D， B D
如果这两点都和旗杆脚的距离是6m，那么旗杆就和 C
地面垂直，为什么？
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③勾股定理逆定理及运用。
【解题思路】运用勾股定理逆定理可证AB⊥BC , AB⊥BD ,利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】如图， AB=8m，AC=10m，BC=6m，+=64+36=100=，
AB⊥BC ,同理可证 AB⊥BD , BC，BD平面，BC BD=B， AB⊥平面。
D
7、如图已知和都是以D为直角顶点
的直角三角形，且AD=BD=CD，。
（1）求证：BD⊥平面ADC； A C
（2）若M是BC的中点，求证：BC⊥平面AMD。 M
【解析】 B
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③直角三角形的定义与性质；④全等三角形的性质与判定；⑤等边三角形的定义与性质。
【解题思路】（1）运用全等三角形判定定理和方法，结合条件可证，得到AC=AB=BC，从而证明BDC，得到CD⊥BD ,利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论；（2）运用等腰三角形和等边三角形的性质，结合问题条件证明BC⊥AM , BC⊥DM , 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，和都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，，AC=AB，， AC=AB=BC，
BDC， CD⊥BD , AD⊥BD , AD，CD平面ACD，AD CD=D， BD⊥平面ACD；（2）BD=CD，M是BC的中点， BC⊥DM ,同理可证BC⊥AM , AM，DM平面ADM，AMDM=M， BC⊥平面ADM。
8、如图AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线垂直平面判定的基本方法；③圆的定义与性质；④三角形重心的定义与性质；⑤三角形中位线的定义与性质；⑥直线平行平面判定的基本方法；⑦平面平行平面判定的基本方法。
【解题思路】（1）运用直线垂直平面和圆的性质，结合问题条件可证BC⊥AM , BC⊥DM , 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论；（2）连接OG并延长交AC于M ，连接QM，QO，运用三角形中位线的性质可证QM//PC，得到QM//平面PBC，同理可证QO//平面PBC，从而证明平面QMO//平面PBC, 利用 P
平面平行平面的性质就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，PA⊥O所在的平面， Q
BCO所在的平面，PABC， AB是O
的直径，C是O上的一点，ACBC， PA， A B
AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC； M C
（2）连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO， G为AOC的重心，Q为PA的中点，
QM//PC，QM平面PBC，PC平面PBC，QM//平面PBC，同理可证OM//平面PBC，
QM，OM平面QOM，QMOM=M， 平面QOM//平面PBC， QG平面QOM，QG//平面PBC。
9、如图已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形， P
M、N分别是AB、PC的中点。
（1）求证：MN⊥CD； E
（2）若PDA=，求证：MN⊥平面PCD。 N
【解析】 M A D
【知识点】①直线垂直平面判定定理及运用；②直线 B C
垂直平面判定的基本方法；③矩形的定义与性质；④三角形中位线的定义与性质。
【解题思路】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，运用三角形中位线的性质，结合问题条件可证四边形MNEA是平行四边形，得到AE//MN，根据直线垂直平面判定定理和判定方法证明CD⊥平面PAD ,得到CD⊥AE,由AE//MN就可证明结论；（2）由（1）知AE//MN，就好问题条件可证MN⊥PD, 利用直线垂直平面的判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，E，N分别是PD，PC的中点，
NE//CD，NE=CD，且四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，NE//AM，NE=AM，
四边形MNEA是平行四边形，MN//AE， PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
PA⊥CD，四边形ABCD是矩形， AD⊥CD， PA，AD平面PAD，PAAD=A，
CD⊥平面PAD， CD⊥AE， MN//AE， CD⊥MN；（2） PA⊥AD，PDA=，
PA=AD，E是PD的中点， PD⊥AE， MN//AE， PD⊥MN， CD⊥MN，PD，CD平面PCD，PDCD=D，MN⊥平面PCD。
『思考问题1』
(1) 【典例1】是证明直线垂直平面的问题，解答这类问题应该根据问题的条件，选择恰当
的方法；证明直线垂直平面的常用方法有：①直线垂直平面的定义；②直线垂直平面的判定定理；③运用平行线垂直平面的传递性；④运用平面平行平面的性质2；⑤运用平面垂直平面的性质1； ⑥运用平面垂直平面的性质3；
（2）运用直线垂直平面的定义证明，一般采用反证法法；
（3）运用直线垂直平面的判定定理证明的基本方法是：①在平面内找两条相交直线；②证明直线与这两条相交直线分别垂直；③得出结论；
（4）运用平行线垂直平面的传递性证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两条直线平行；②证明其中一条直线垂直平面；③得出结论；
（5）运用平面平行平面的性质2证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面平行；②证明直线与其中的一个平面垂直；③得出结论；
（6）运用平面垂直平面的性质定理1证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面垂直，②在一个平面内找一条直线证明它与两个平面的交线垂直；③得出结论；
（7）运用平面垂直平面的性质定理3证明直线垂直平面的基本方法是：①找到以直线为交线的两个相交的平面；②分别证明这两个平面与第三个平面垂直；③得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、 给出下列条件（其中l和a是直线，为平面）①l垂直内凸五边形的两条边；②l
垂直内三条都不平行的直线；③l垂直内无数条直线；④l垂直内正六边形的三条边；⑤l垂直，a垂直。其中可以得到“l垂直”的条件的所有序号是（ ）
A ①②④ B ②③ C ①④ D ②④
2、如图所示，已知AP⊥O所在的平面，AB P
是O的直径，C是圆上的任意一点，过点A
作AE⊥PC于点E，则AE与平面PBC的关系为 A B
； C
3、拿一张矩形纸对折后略为展开，竖立在桌面上，则折痕垂直于桌面，为什么？
4、如果三条直线共点，且两两垂直，求证：其中的一条直线垂直于另两条直线确定的平面。
5、如图已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形， P
AB//CD，ABC=，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，
PA=1。 M
（1）求证：AB//平面PCD； A B
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥M—ACD的体积。 D C
【典例2】按要求解答下列各题：
1、在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）
A 相交 B 平行 C 异面 D 相交或平行
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②圆柱的定义与性质。
【解题思路】运用圆柱的性质和直线垂直平面的性质，结合问题条件就可作出选择。
【详细解答】垂线垂直另一个底面，圆柱的母线也垂直另一个底面，该条垂线平行圆柱的母线，B正确，选B。
2、如图所示，在ABC中，ACB=，直线 P
L过点A且垂直于平面ABC，动点Pl，当点P A C
逐渐远离点A时，PCB的大小（ ） l B
A 变大 B 变小 C 不变 D 有时变大有时变小
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可知BC⊥平面PAC，得到BCP=，当点P远离点A时，BCP=不变，这样就可作出选择。
【详细解答】直线L过点A且垂直于平面ABC，BC平面ABC，PABC，ACB=，PA，AC平面PAC，PAAC=A， BC⊥平面PAC, BC⊥PC，BCP=，当点P远离点A时，BCP=不变， C正确，选C。
3、PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是（ ）
A PA⊥BC B BC⊥平面PAC C AC⊥PB D PC⊥BC
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②圆的定义与性质；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理，可知PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可证BC⊥平面PAC，从而得到PC⊥BC，这样就可作出选择。
【详细解答】如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在， P
的平面， BCO所在的平面，PABC，A正确；
C为圆上异于A，B的任意一点，ACBC， PA，
AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC， PC
平面PAC，PCBC，B，D正确，C错误， A B
选C。 C
4、如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平 S F
面ABCD，过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥ D C
SC，交SC于F，则AF与SC的关系为（ ） E
A 垂直 B 相交但不垂直
C 异面 D 以上均不正确 A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理可证SA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件得到BC⊥平面SAB，进一步得出BC⊥AE，从而结合问题条件证明AE⊥平面SBC，得到AE⊥SC，利用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证明SC⊥平面AEF，这样就可作出选择。
【详细解答】SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SABC，ABCD是矩形， AB
BC， SA，AB平面SAB，SA AB=A， BC⊥平面SAB, AE平面SAB， AEBC， AESB， SB，BC平面SBC，SB BC=B， AE⊥平面SBC, SC平面SBC， AESC， AFSC， AE，AF平面AEF，AEAF=A， SC⊥平面AEF, EF平面AEF， EFSC，A正确，选A。
5、如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列 D C
推断不正确的是（ ）
A BC⊥平面PAB B AD⊥PC
C AD⊥平面PBC D PB⊥平面ADC A B
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理可证PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件得到BC⊥平面PAB，进一步得出BC⊥AD，从而结合问题条件证明AD⊥平面PBC，得到AD⊥PC，这样就可作出选择。
【详细解答】 PA⊥平面ABC，BC平面ABC， PA⊥BC， AB⊥BC，PA，AB平面PAB，PA AB=A， BC⊥平面PAB, A正确； BC⊥平面PAB, AD平面PAB，
AD⊥BC， PA=AB，D为PB的中点， AD⊥PB， PB，BC平面PBC，PB BC=B， AD⊥平面PBC, AD⊥PC, B，C正确；D错误，选D。
6、如图已知直线l⊥平面，垂足为A，直线 AP⊥l。
求证：AP在内；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法；④反证法的基本方法。
【解题思路】运用反证法，假设AP平面，设AP，结合条件可证平面平面=AB，得到AB⊥l,从而证明l⊥平面，得出与垂直公理矛盾的结果，于是假设不成立，这样结论得证。
【详细解答】如图，假设AP平面，设AP， l
A平面，平面平面=AB， l⊥平面， P
l⊥BC；AB平面， l⊥AB， l⊥AP，PA， A B
AB平面平面，PA AB=A， l⊥平面, 过点A的直线l同时垂直平面，平面，与垂直公理矛盾，假设不成立， AP在内。
7、已知，直线l⊥AB，l⊥AC，
求证：l⊥BC；
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证l⊥平面ABC，根据直线垂直平面性质定理就可证明结论。
【详细解答】如图， l⊥AB，l⊥AC，AB，AC l C
平面ABC，，A C AB=A， l⊥平面ABC，
BC平面ABC， l⊥BC。 A B
8、如图已知PA⊥O所在的平面，AB是O p
的直径，C是O上任意一点，过点A作AE⊥PC
于E。 E
求证：AE⊥平面PBC；
【解析】 A B
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；；②直线
垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法； C
④圆的定义与性质。
【解题思路】运用直线垂直平面性质定理，可知PA⊥BC，根据直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件可证BC⊥平面PAC，得到AE⊥BC，利用直线垂直平面判定定理和方法，结合问题条件就可证明结论。
【详细解答】如图， PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， BCO所在的平面，PABC，C为圆上异于A，B的任意一点，ACBC， PA，AC平面PAC，PA AC=A， BC⊥平面PAC， AE平面PAC，AEBC， AEPC，PC，BC平面PBC，PC BC=C， AE⊥平面PBC。
9、如图已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再通过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F。
（1）求证：AF⊥SC； S
（2）若SD∩平面AEF=G，求证：AG⊥SD。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线 F
垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基
本方法。 D E C
【解题思路】（1）运用直线垂直平面性质定理可证SA⊥
BC， 根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题A B
条件得到BC⊥平面SAB，进一步得出BC⊥AE，从而结合问题条件证明AE⊥平面SBC，得
到AE⊥SC，利用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证明SC⊥平面AEF，于是证明结论；（2）由（1）AG⊥SC,运用直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件可证CD⊥平面SAD，得到CD⊥AG，利用直线垂直平面判定定理和判定方法证明AG⊥平面SCD，从而证明结论。
【详细解答】（1）SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，SABC，ABCD是矩形， ABBC， SA，AB平面SAB，SA AB=A， BC⊥平面SAB, AE平面SAB， AEBC， AESB， SB，BC平面SBC，SB BC=B， AE⊥平面SBC, SC平面SBC， AESC， EFSC， AE，EF平面AEF，AEEF=E， SC⊥平面AEF, AF平面AEF， AFSC；（2）SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，SACD，ABCD是矩形， ADCD， SA，AD平面SAD，SA AD=A， CD⊥平面SAD, AG平面SAD， AGCD， SC⊥平面AEF, AG平面AEF， AGSC ， SC，CD平面SCD，SC CD=C， AG⊥平面SCD, SD平面SCD， AGSD 。
10、如图在直三棱柱ABC--中， A D C
=，B⊥A. B
求证：B⊥C。
【解析】
【知识点】①直线垂直平面性质定理及运用；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面判定的基本方法；④直三棱柱的定义与性质。
【解题思路】分别取AB，的中点D，，连接CD，，A，D，运用直三棱柱的性质可证A⊥平面,得到A⊥，根据直线垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件证明⊥平面AB,得出⊥B，CD⊥B，从而可证B⊥平面A，得到B⊥A,由作图，结合问题条件可证四边形AD是平行四边形，得到A//D，推出B⊥D，利用直线垂直平面判定定理和判定方法证明B⊥平面CD，根据直线垂直平面性质就可证明结论。
【详细解答】分别取AB，的中点D，，连接CD，，A，D， ABC--是直三棱柱， A⊥平面, A⊥，=，是的中点， ⊥， A ，平面AB， A = ， ⊥平面AB， B⊥，B⊥CD，B⊥A，A，平面A，A = ， B ⊥平面A，B ⊥A， D，分别是AB，的中点，AD//，AD=， 四边形AD是平行四边形，A//D，
B ⊥D，B⊥CD，D，CD 平面CD，CD D =D， B ⊥平面CD， C平面CD，BC。
『思考问题2』
（1）【典例2】是证明线线垂直的问题，解答这类问题一般是运用直线垂直平面的性质，先证明一条直线垂直另一条直线所在的平面，再运用直线垂直平面的性质证明两直线垂直；
（2）证明直线垂直直线问题时选择证明哪一条直线垂直剩下的一条直线所在的平面（也就是哪一个平面）是解答问题的关键，针对实际问题应该根据条件作出恰当地选择。
〔练习2〕解答下列问题：
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A 垂直 B 平行 C 相交但不存在 D 不确定
2、教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线（ ）
A 平行 B 相交 C 异面 D 垂直
3、如图所示，三棱柱ABC—中，点
在平面ABC内的投影D在AC上，ACB=，
BC=1，AC=C=2，则A与B的位置关系是（ ） D C B
A 相交 B 相交垂直 C 平行 D 异面垂直 A
4、已知空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，求证：BC⊥AD； E
5、如图已知∩=CD，EA⊥，垂足为A，
EB⊥，垂足为B。 A B
求证：CD⊥AB。 P
6、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N
分别是AB，PC的中点。 N
求证：MN⊥CD。 A D
B M C
【典例3】解答下列问题： C B D
1、已知菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，
沿对角线AC将菱形折起，如图所示，则下列命题 E C E B
中正确的是（ ） D A A
A 平面ABC⊥平面ABD B 平面ABD⊥平面BDC C 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤命题真假判断的基本方法。
【解题思路】运用平面垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件，利用命题真假判断的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AC，AB=BC，E是AC的中点，
BE⊥AC， BE，DE 平面BDE，BEDE =E， AC ⊥平面BDE， AC平面ABC，AC平面ACD，平面ABC平面BDE，平面ACD平面BDE，C正确，选C。
2、，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥。以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题为 ；
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法。
【解题思路】运用平面垂直平面判定定理和判定方法，结合问题条件，就可写出正确命题。
【详细解答】如图， n⊥，AB平面， A
n⊥AB， m⊥n， m，AB 平面，AB
m =B， m ⊥平面， m 平面， n B m
⊥，正确命题是：若m⊥n，n⊥，m⊥，则⊥。
3、如图为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE, E
且CE=2BD=CA，M是EA的中点。
（1）求证：DE=DA； N D
（2）求证：平面BDM⊥平面ECA； M
（3）求证：平面DEA⊥平面ECA. C B
【解析】 F
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面 A
垂直平面判定的基本方法；③正三角形的定义与性质；④等腰三角形的定义与性质；⑤全等三角形判定定理及运用；⑥全等三角形判定的基本方法。
【解题思路】（1）取CE的中点N，连接DN，AD，运用问题条件可证四边形CBDN是矩形，得到DN=BC，利用正三角形的性质，全等三角形判定定理和判定基本方法，结合问题条件，证明ENDDBA，从而证明结论；（2）取AC的中点F，连接MF，BF，运用直线垂直平面判定定理和基本方法，结合问题条件可证DM⊥平面ECA,根据平面垂直平面判定定理和基本方法就可证明结论；（3）由（2）利用平面垂直平面判定定理和基本方法可证明结论。
【详细解答】（1）如图，取CE的中点N，连接DN，AD，CE=2BD，N是EA的中点，BD∥CE, EC⊥平面ABC， CN=BD，四边形BCND是矩形，BC=DN，为正三角形，AB=DN，ENDDBA， DE=DA；（2）取AC的中点F，连接MF，BF，
DA=DE，M是AE的中点， DM⊥AE， EC⊥平面ABC，BF 平面ABC， CE⊥BF，M，F分别是AE，AC的中点，CE=2BD，MF//BD，MF=BD，四边形BDMF是平行四边形，DM//BF， CE⊥DM，AE，CE 平面ECA，AECE =E， DM ⊥平面ECA， DM平面BDM，平面BDM⊥平面ECA；（3） DM ⊥平面ECA， DM平面DEA，平面DEA⊥平面ECA。 S
4、如图过S引三条长度相等且不共面的线
段SA、SB、SC，且，
。 B D C
求证：平面ABC⊥平面BSC；
【解析】 A
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤全等三角形的定义与性质；⑥全等三角形判定的基本方法；⑦等腰直角三角形的定义与性质；⑧勾股定理逆定理及运用。
【解题思路】如图，取BC的中点D，连接SD，AD，运用全等三角形判定定理和判定方法，结合问题条件可证SABSAC，得到AB=AC，利用等腰直角三角形的性质，结合问题条件，证明+=，推出SD⊥AD，利用直线垂直平面判定定理和基本方法，结合问题条件可证SD⊥平面ABC,根据平面垂直平面判定定理和基本方法就可证明结论。
【详细解答】如图取BC的中点D，连接SD，AD， SA=SB=SC，，SABSAC，AB=AC=SA，SB=SC，，D是BC的中点，SD
=SA，SD⊥BC，同理可证AD=SA，+=+=，SDA=， SD⊥AD，AD，BC 平面ABC，ADBC =D， SD ⊥平面ABC， SD平面SBC，平面ABC⊥平面SBC。
5、如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形， P
PA=DA=a,M、N分别是AB、PC的中点。 N
（1）求证：平面MND⊥平面PCD； F
（2）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小。 D C
【解析】
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定 A M B
理及运用；④矩形的定义与性质；⑤三角形中位线的定义与性质；⑥二面角的定义与确定方法；⑦求二面角大小的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取PD的中点E，连接AE，NE，运用三角形中位线的性质，结合问题条件可证四边形AENM是矩形，得到AE//MN，AE⊥NE，根据直线垂直平面判定定理和判定基本方法，结合问题条件，证明AE⊥平面PCD，推出MN⊥平面PCD，利用平面垂直平面判定定理和基本方法，就可证明结论；（2）由问题条件可知PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，设PA=AD=a=1，根据条件证明AE=DE=PD=，求出cosPDA的值，从而求出PDA的大小。
【详细解答】（1）如图取取PD的中点E，连接AE，NE，E，N分别是PD，PC的中点，
EN//CD，EN=CD，四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，EN//AM，EN=AM，四边形AENM是矩形， AE//MN，AE⊥NE， PA=DA=a,F是PD的中点， AE⊥PD，
PD，EN 平面PCD，PDEN =E， AE ⊥平面PCD， MN ⊥平面PCD， MN平面MND，平面MND⊥平面PCD；（2） PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， PA⊥CD，四边形ABCD是矩形， AD⊥CD，PA，AD 平面PAD，PAAD =A， CD ⊥平面PAD， PD平面PAD， PD⊥CD，PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，设PA=AD=a=1， PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，PA=AD，AE=DE
=PD=，cosPDA==，PDA=。
6、如图在四棱锥P—ABCD中，AB//CD，CD=2AB，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E、F分别是CD和PC的中点，求证： P
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE//平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD。 F
【解析】 A D
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理及 B E
运用；④直线垂直平面判定的基本方法；⑤直线平行平 C
面判定定理及运用，⑥直线平行平面判定的基本方法；⑦三角形中位线的定义与性质。
【解题思路】（1）运用平面垂直平面的性质，就可证明结论；（2）运用三角形中位线的性质可知四边形ABED是平行四边形，得到BE//AD，根据直线平行平面判定定理和判定基本方法就可证明结论；（3）由（2），结合问题条件证明四边形ABED是矩形，得到CD⊥BE，根据直线垂直平面判定定理和判定基本方法证明，结合问题条件可证CD⊥平面BEF，利用平面垂直平面判定定理和判定基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PA⊥AD， PA⊥底面ABCD；（2） AB//CD，CD=2AB，E是CD的中点，AB//DE，AB=DE，四边形ABED是平行四边形，BE//AD，BE平面PAD，AD平面PAD， BE//平面PAD；（3）四边形ABED是平行四边形，AB⊥AD，四边形ABED是矩形， CD⊥AD， PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， CD⊥PA，PA，AD 平面PAD，ADPA =A， CD ⊥平面PAD， CD⊥PD， E，F分别是CD和PC的中点，EF//PD， CD⊥EF，EF，BE 平面BEF，EFBE =E， CD ⊥平面BEF， CD平面PCD，平面BEF⊥平面PCD。
7、如图在直三棱柱ABC—中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证： B//.CD；
（2）求证：平面CD⊥平面AB。
【解析】 E
【知识点】①平面垂直平面判定定理及运用；②平面
垂直平面判定的基本方法；③直线垂直平面判定定理 A C
及运用；④直三棱柱的定义与性质；⑤等腰三角形的
等腰与性质。 D B
【解题思路】（1）如图，连接A交C于点E，连接DE，运用直三棱柱的性质，结合问题条件可证DE//BC，根据直线平行平面判定定理和判定基本方法就可证明结论；（2）由问题条件可证CD⊥AB，CD⊥A，运用直线垂直平面判定定理和判定基本方法证明CD ⊥平面AB，利用平面垂直平面判定定理和判定基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）连接A交C于点E，连接DE， ABC—是直三棱柱，D，E分别是AB，A的中点，DE//B，B平面CD，DE平面CD， B //平面CD；（2） AC=BC，D是AB的中点， CD⊥AB， ABC—是直三棱柱， A⊥平面ABC， CD⊥A，AB，A平面AB，AB A =A， CD ⊥平面AB， CD平面CD，平面CD⊥平面AB。
『思考问题3』
（1）【典例3】是证明平面垂直平面的问题，解答这类一般运用证明平面垂直平面的基本方法，证明平面垂直平面的基本方法是：①平面垂直平面的定义；②平面垂直平面的判定定理；
（2）运用平面垂直平面的定义证明平面垂直平面的基本方法是：①确定两个平面所成角的 平面角；②证明这个角是直角；③得出结论；
（3）运用平面垂直平面的判定定理证明平面垂直平面的基本方法是：①在一个平面内确定一条直线；②证明这条直线垂直另一个平面；③得出结论；
（4）针对实际问题，是在哪一个平面内确定一条直线证明它与另一个平面垂直是解答这类问题的关键，解答问题时应该根据问题的条件作出恰当的选择。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB,
BCD=，BAD=，将ABD沿BD折 A D
起，时平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，
则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是（ ） B C
A 平面ABD⊥平面ABC B 平面ADC⊥平面BDC
C 平面ABC⊥平面BDC D 平面ADC⊥平面ABC
2、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长 P
为a的正方形，侧棱PA=a，PB=a，则它的五个 P
面中，互相垂直的面是 ； D C
3、如图所示，已知ABC中，ABC=，P A C A B
是ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，则面PA B (2题图)
C与面ABC （“垂直”或“不垂直”填写其中一个）（3题图）
4、如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD, P
四边形ABCD是边长为a的正方形，且PA=AB，
E是AB的中点。 D C
求证：平面PCE⊥平面PCD.
A E B
S
5、如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD
是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD。 D C
求证：平面SCD⊥平面SBC。
A B
6、如图已知三棱柱ABC—中，侧棱垂直于底面，，AC=BC= A，D是棱A的中点。
（1）证明：平面BD⊥平面BDC；
（2）平面BD分此棱柱为两部分，求这两部分体积之比（2012全国高考新课标卷）
7、如图AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C—PB—A的余弦值（2013全国高考辽宁卷）
O
G O
E
O
O
O