第一章 §1 集合的含义与表示(一)
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一、选择题
1．下列各组对象构成集合的有( )
①北大附中2017届新生中比较高的同学；②北大附中2017届新生中身高不低于170 cm的同学；③(2 017，2 018)与(2 018,2 017)；④1,2,3,1.
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
解析：①中“比较高”不是一个明确的标准，不具有确定性，所以不能构成集合；②中“身高不低于170 cm”是一个明确的标准，所以能构成集合；③中是两个不同的有序实数对，能构成集合；④中1,2,3,1能构成集合，但集合中只含有3个元素．
答案：C
2．集合A由实数1，x，x2三个元素构成，则x不能取( )
A．±1 B．0
C．0，±1 D．1
解析：x≠1且x2≠1且x2≠x，即x≠±1且x≠0.
答案：C
3．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
解析：由集合A中元素的互异性知，四边形不可能是矩形或平行四边形或菱形，可能是梯形．
答案：D
4．已知集合A是不等式2x－1>3的解集，则( )
A．2∈A B．∈A
C．3∈A D．－1∈A
解析：由2x－1>3得x>2，∴3∈A．
答案：C
5．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为( )
A．0 B．1
C．－8 D．1或－8
解析：∵3∈A，∴a2＋a＋1＝3，解得a＝1或a＝－2.
当a＝1时，a3＝1；当a＝－2时，a3＝－8.
答案：D
6．设集合A是方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0的解集，且集合A中有两个元素，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－ B．a＝－
C．a>－ D．a<－
解析：由题意知方程有两个不等实根，则Δ＝(2a＋1)2－4a2>0，解得a>－.
答案：C
二、填空题
7．设直线y＝2x＋3上的点构成集合M，则点(2,7)与M的关系是(2,7)________(填“∈”或“?”)M.
解析：当x＝2时，y＝7，∴点(2,7)在直线上，∴(2，7)∈M.
答案：∈
8．若不等式ax－3<3x的解集为A，且2∈A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵2∈A，∴2a－3<3×2，解得a<.
答案：a<
9．集合A中含有5个元素0,1,2，，，若a∈A且∈A，则a的值为________．
解析：当a＝1时，＝1∈A；当a＝2时，＝∈A；当a＝时，＝2∈A；当a＝时，＝3?A．
∴a＝1或a＝2或a＝.
答案：1或2或
三、解答题
10．由实数x，－x，|x|，，所组成的集合中，最多含有多少个元素？
解：∵＝|x|，＝x，
∴当x＝0时，组成的集合中只含有一个元素；当x≠0时，|x|＝x或|x|＝－x，组成的集合中含有两个元素．
综上，由实数x，－x，|x|，，所组成的集合中，最多含有两个元素．
11．若方程ax2＋bx＋1＝0的解集与集合A相等，且集合A中的元素为1,2，求a，b的值．
解：由题意得ax2＋bx＋1＝0的解为x＝1或x＝2，
由韦达定理得解得
∴a的值为，b的值为－.
12．已知集合A中的元素满足性质：若a∈A，且a≠1，则∈A．
(1)若a＝2，试探求集合A中一定含有的另外元素；
(2)说明集合A不是单元素集．
解：(1)由题意知，若2∈A，则∈A，即－1∈A；
于是∈A，即∈A；
则∈A，即2∈A；＝－1∈A；…
∴集合A中一定含有－1，两个元素．
(2)若集合A是单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，与已知矛盾．
∴a与都为集合A的元素，A不是单元素集．
13．若集合A中有三个元素x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，求实数x的值．
解：因为A＝B，
所以或
解得x＝±1.经检验，x＝1不满足集合中元素的互异性，而x＝－1满足，所以x＝－1.
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一、选择题
1．集合{x∈N＋|x＜5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x∈N＋且x＜5，∴x＝1,2,3,4，故选B．
答案：B
2．集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：∵集合A的代表元素为y，B的代表元素是(x，y)，∴A表示数集，B表示点集，∴C正确．
答案：C
3．下列说法正确的有( )
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1?N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}；②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R；③方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集，正确的表示应为{(1,2)}或.
答案：D
4．下列集合表示空集的是( )
A．{0}
B．{(x，y)|y＝}
C．{x|x2＋3x＋2＝0，x∈N＋}
D．{x∈Z|1＜|x|≤3}
解析：由空集的定义知C正确，故选C．
答案：C
5．集合P＝{1,4,9,16，…}，若a∈P，b∈P，且a ⊕ b∈P，则运算a ⊕ b可能是( )
A．加法 B．减法
C．除法 D．乘法
解析：若a＝1，b＝4，则a＋b＝5?P，a－b＝－3?P，＝?P.则A，B，C均不正确．选D．
答案：D
6．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x－y|x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
解析：集合B中x，y的取值情况如下表：
x
0
0
0
1
1
1
2
2
2
y
0
1
2
0
1
2
0
1
2
x－y
0
－1
－2
1
0
－1
2
1
0
∵集合中的元素有互异性．
∴x－y的值可能为0，－1，－2,1,2.共5个．
答案：B
二、填空题
7．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
解析：∵A＝{－1,0,1}，∴B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{0,1}．
答案：{0,1}
8．已知集合A＝{x|1
解析：由题意知x＝2,3,4，…，2 018，∴2 018答案：2 0189．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，x＝，A中只有一个元素；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2≤0，即a≥.
∴a的取值范围是a＝0或a≥.
答案：a＝0或a≥
三、解答题
10．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|,2}，若已知5∈A，且5?B，求实数a的值．
解：∵A＝{2,3，a2＋2a－3}，且5∈A，∴a2＋2a－3＝5，即a2＋2a－8＝0，解得a＝－4或a＝2.
当a＝2时，A＝{2,3,5}，B＝{2,5}，此时5∈B，不合题意，舍去；
当a＝－4时，A＝{2,3,5}，B＝{1,2}，符合题意．∴a＝－4.
11．(1)若2?{x|x－a>0}，求实数a的取值范围，并写成集合的形式；
(2)若2∈{1，x，x2＋x}，求实数x的值，并写成集合的形式；
(3)如图，写出图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．
解：(1)∵2?{x|x－a>0}，∴2－a≤0，∴a≥2，∴实数a的取值范围是{a|a≥2}．
(2)∵2∈{1，x，x2＋x}，∴x＝2或x2＋x＝2，解得x＝±2或1.当x＝－2时，{1，x，x2＋x}＝{1，－2,2}；当x＝2时，{1，x，x2＋x}＝{1,2,6}；当x＝1时，{1，x，x2＋x}＝{1,1,2}，不满足互异性．∴x＝±2，组成的集合为{－2,2}．
(3)图中阴影部分点的横坐标为－1≤x≤3，纵坐标为0≤y≤3，∴可以用描述法表示为{(x，y)|－1≤x≤3，且0≤y≤3}．
12．已知集合A＝{x∈R|x2＋2x＋a＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：(1)方程x2＋2x＋a＝0只有一个实数解．
∴Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时x＝－1.
∴a＝1，元素为－1.
(2)方程x2＋2x＋a＝0只有一个实数解或没有实数解．
∴Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.
∴a的取值范围是a≥1.
13．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，求P＋Q中的元素．
解：集合P中的元素0与Q中的元素组成P＋Q中的元素为：1,2,6；同理P中的元素2与Q中的元素组成P＋Q中的元素为：3,4,8；集合P中的元素5与集合Q中的元素组成P＋Q中的元素为：6,7,11.综上所述，P＋Q中的元素为：1,2,6,3,4,8,7,11.
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