第二章 §4 4．2 二次函数的性质
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一、选择题
1．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x＝， B．x＝，
C．x＝， D．x＝，
答案：B
2．函数y＝－x2＋2x＋3(0≤x≤3)的值域为( )
A．[0，4] B．[3，4]
C．[0，3] D．[2，4]
解析：对称轴为x＝1，当x＝1时取得最大值y＝4；
当x＝3时取得最小值0.
答案：A
3．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，4]
C．[0，4] D．[2，4]
解析：函数f(x)＝(x－2)2＋1，对称轴为x＝2，最小值为1，又在区间[0，m]上最小值也为1，则有m≥2，令f(x)＝(x－2)2＋1＝5，得x1＝0，x2＝4，由于函数在[0，2]，[2，4]的值域相同，故2≤m≤4.
答案：D
4．函数y＝－x2＋2x＋1在区间(－3，a]上是增函数， 则a的取值范围是( )
A．－3
C．a≥－3 D．－3解析：函数对称轴方程为x＝1.由题意可得a≤1，又a>－3，∴－3答案：A
5．函数y＝－(x－5)|x|的递减区间是( )
A．(5，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(5，＋∞) D．(－∞，0)，
解析：y＝－(x－5)|x|＝
画出函数图像，如图．观察图像，当x<0和x>时，都有y随x的增大而减小，∴f(x)的递减区间是(－∞，0)，.
答案：D
6．设函数?(x)＝g(x)＝x2?(x－1)，则函数g(x)的递减区间是( )
A．(－∞，0]
B．[0，1)
C．[1，＋∞)
D．[－1，0]
解析：由题意得g(x)＝如图，g(x)的递减区间为[0，1)．
答案：B
二、填空题
7．如果函数?(x)＝x2＋2ax＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是________．
解析：∵?(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2－a2＋2，∴－a≥4，∴a≤－4.
答案：(－∞，－4]
8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC的面积为________．
解析：y＝－x2－2x＋3＝－(x－1)(x＋3)＝－(x＋1)2＋4，由题意得A(－3，0)，B(1，0)，C(－1，4)，∴S△ABC＝×4×4＝8.
答案：8
9．如果一条抛物线的形状与y＝x2＋2的形状相同，且顶点为(4，－2)，则它的解析式为________．
解析：依题意可设解析式为y＝a(x－4)2－2，则a＝±，∴y＝±(x－4)2－2.
答案：y＝(x－4)2－2或y＝－(x－4)2－2
三、解答题
10．已知函数?(x)＝x2－2ax＋a－1在区间[0，1]上有最小值－2，求a的值．
解：?(x)＝x2－2ax＋a－1＝(x－a)2－a2＋a－1，x∈[0，1]．
当a≤0时，?(x)的最小值为?(0)＝a－1＝－2，∴a＝－1；
当0当a≥1时，?(x)的最小值为?(1)＝－a＝－2，∴a＝2.综上，a＝－1或a＝2.
11．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
解：(1)由题意得G(x)＝2.8＋x.
∴f(x)＝R(x)－G(x)＝
(2)当x>5时，∵函数f(x)递减，∴f(x)<8.2－5＝3.2(万元)．
当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)．
∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元．
12．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．
即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝，所以g(x)在[－1，1]上递减，故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，
又x∈R，f(x)≥0恒成立，∴
∴b2－4(b－1)≤0，∴b＝2，a＝1.
∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－，
当≥2或≤－2时，
即k∈{k|k≥6或k≤－2}时，g(x)是单调函数．
课件35张PPT。§4 二次函数性质的再研究
4．2 二次函数的性质自主学习 梳理知识1 课前基础梳理典例精析 规律总结2 课堂互动探究即学即练 稳操胜券3 基础知识达标word部分： 请做： 4 课时跟踪检测
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